高考数学专题 三角函数的图像与性质讲学案理数(原卷)

【2016考纲解读】1.三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是高考热点．2.备考时应掌握y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象与性质，并熟练掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．【重点知识梳理】1．任意角和弧度制(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(3)弧长公式：l＝|α|r，扇形的面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2.2．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．诱导公式公式一sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，tan(2kπ＋α)＝tanα公式二sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα公式三sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα公式四sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα公式五sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα公式六sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα口诀奇变偶不变，符号看象限4.同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα)(cosα≠0)．5．正弦、余弦、正切函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数最小正周期2π2ππ单调性在[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上递增．在[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增．在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减在(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上递增最值当x＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.当x＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1当x＝2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.当x＝π＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1无最值对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)．对称轴：x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)对称中心：(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)．对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)6.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0、eq\f(π,2)、π、eq\f(3π,2)、2π，求出x的值与相应的y的值，描点连线可得．【高频考点突破】考点一三角函数的性质例1、(1)(2015·天津卷)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．(2)已知函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))sineq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o(\s\up7(),\s\do5())))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(π,4))).①求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；②求函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,2)))上的值域．【规律方法】求解三角函数性质常用结论与技巧(1)运用整体换元法求解单调区间与对称性：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．①令ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可求得对称轴方程；②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；(3)周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝eq\f(2π,|ω|)，注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T＝eq\f(π,|ω|).(4)最值(或值域)：求最值(或值域)时，一般要确定u＝ωx＋φ的范围，然后结合函数y＝sinu或y＝cosu的性质可得函数的最值(值域)．【变式训练】已知函数f(x)＝sin(2x＋α)在x＝eq\f(π,12)时有极大值，且f(x－β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为()A.eq\f(π,6)，－eq\f(π,12)B.eq\f(π,6)，eq\f(π,12)C.eq\f(π,3)，－eq\f(π,6)D.eq\f(π,3)，eq\f(π,6)考点二三角函数的图象例2、将函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的eq\f(1,ω)(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，已知函数y＝g(x)是周期为π的偶函数，则ω，φ的值分别为()A．4，eq\f(π,3)B．4，eq\f(2π,3)C．2，eq\f(π,3)D．2，eq\f(2π,3)【变式训练】函数f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的部分图象如图所示．(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,12)))上的最大值和最小值．考点三函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质的综合问题例3、函数f(x)＝cos(πx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x0的值；(2)设g(x)＝f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))，求函数g(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))上的最大值和最小值．【规律方法】1．解y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质的综合问题的思路先正确运用相应的三角公式，通过准确的三角恒等变换，将所给函数f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再确定与应用其图象和性质．2．图象与性质的几个对应关系对y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A>0，ω≠0)结合函数图象可观察出如下几点：(1)函数图象的对称轴都经过函数的最值点，对称中心的横坐标都是函数的零点．(2)相邻两对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期．(3)图象上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期．3．指定闭区间上三角函数图象的作法(1)确定关键点：区间端点、最高(低)点、与坐标轴的交点．(2)建立直角坐标系：标出需要的单位．(3)描点绘图：描出关键点，用平滑曲线连接．【变式训练】已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\r(3)))和点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2)).(1)求m，n的值；(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．【经典考题精析】【2015高考新课标1，理2】=()（A）（B）（C）（D）【2015江苏高考，8】已知，，则的值为_______.【2015高考福建，理19】已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解．（1)求实数m的取值范围；（2)证明：【2015高考山东，理16】设.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.【2015高考重庆，理9】若，则（）A、1B、2C、3D、4【2015高考山东，理3】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）（A）向左平移个单位

（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位

（D）向右平移个单位【2015高考新课标1，理8】函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为()(A)(B)(C)(D)1.【2014高考湖南卷第9题】已知函数且则函数的图象的一条对称轴是()A.B.C.D.2.【2014高考江苏卷第5题】已知函数与函数，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是.3.【2014辽宁高考理第9题】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增4.【2014四川高考理第3题】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度5.【2014全国1高考理第6题】如图，图O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数，则的图像大致为（）6.【2014高考北卷理第14题】设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为.7.【2014高考安徽卷理第11题】若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是________.8.【2014浙江高考理第4题】为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位9.【2014陕西高考理第2题】函数的最小正周期是（）10.【2014大纲高考理第16题】若函数在区间是减函数，则的取值范围是.11.【2014高考江西理第16题】已知函数，其中（1）当时，求在区间上的最大值与最小值；（2）若，求的值.12.(2014·福建卷)已知函数f(x)＝2cosx(sin