大学文科数学第二章教案(极限)

章节第二章微积分的基础——极限课时4学时教学目的理解极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限之间的关系；2.熟练掌握函数极限存在的充要条件；3.理解无穷大、无穷小的概念；4.掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求极限；5.会用重要极限求极限.教学重点及突出方法1.重点掌握函数极限与数列极限的概念；无穷大量与无穷小量的概念及性质.2.会用重要极限求极限3.突出方法是采取讲练结合.教学难点及突破方法1.函数极限的定义；2.无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用3.会用重要极限求极限4.突破方法是让学生首理解什么是极限，然后会求函数的极限.相关内容素材教学过程第一节数列的极限1.1数列的概念1.数列定义定义1当函数的定义域为全体自然数时，称此函数为数列，记作，，又可以记作，则数列也可以按照数列中的数排序为：，，，…，，…，或简记为，其中第项称为该数列的通项.2.数列的有界性设数列，若存在常数，使得对一切自然数，都有()，则称数列上（下）有界，并称数列为上（下）有界数列，称为数列的一个上（下）界.若这样的不存在，则称数列无上（下）界，并称为无上（下）界数列.若存在正常数，使得对一切自然数，都有，则称数列有界，并称数列为有界数列，称为数列的一个界.若这样的不存在，则称数列无界，并称为无界数列.3.数列的单调性单调增加(上升)数列：单调减少(下降)数列：单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。例1判断数列的单调性（1）（2）（3）解：（1）单调递减数列；（2）单调递增数列；（3）不是单调数列教学过程第一节数列的极限1.2数列的极限定义2对于数列，如果当无限增大时，通项无限接近于某个确定的常数A，则称A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为=A或A（）定义3对于数列，如果对任意正数，总存在相应的正整数，当时，总有成立，则称A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为=A或A（）注：1）当时，不以任何常数为极限，则称数列发散.2）数列收敛或发散的性质统称为数列的敛散性.3）常数列的极限仍为该常数.定理1(单调有界原理)：单调有界数列必有极限。例2证明：第二节函数极限2.1时的极限定义1如果当时,函数无限趋近于一个确定的常数,则称为函数当时的极限,记作或(当时).此时也称存在。如果当时,函数不趋近于任何一个确定的常数,则称不存在.定义2设函数在点的去心领域内有定义，若果对任意的正数，总存在相应的正数，当时，总有成立，则称函数当以为极限，或称函数在点有极限，记为或（）.注：1）具有二重性，固定性和任意性；2）依赖于，由确定；3）有无定义，均可求极限；4）若这样的找不到，则称函数在点无极限.如：，又如=22.2时的极限定义3设函数在内有定义，是一个确定的数，若果对任意给定的正数，总存在某个正数，使得当时，总有成立，则称函数当以为极限，记为或（）.总结：1、理解数列和函数极限的实质2、会求数列和函数的极限作业：1.（1）（3）（4）2.3函数极限的性质1.唯一性若，，则2.有界性若，则存在的某一去心邻域N(，)，在N(，)内函数有界.3.保号性若且，则存在某个去心邻域N(，)，在N(，)内4、夹逼准则这个定理称为夹逼定理，它同样适用于的情况2.4无穷小量与无穷大量1、无穷小量概念定义4极限为0的量称为无穷小量，简称无穷小；注:1)无穷小量不是很小的数,它也是极限的概念。2)数零是唯一可作为无穷小的常数。3)无穷小指量的变化状态，而不是量的大小。4)当（或∞）时，如果函数的极限为0，则称当（或∞）时，是无穷小量。5)若数列{}的极限为0，则{}是无穷小量。例如：，所以，当x→0时，sinx是无穷小量教学过程第二节函数的极限2.极限与无穷小之间的关系：定理2的充要条件为，其中3.无穷小量的性质定理3有限个无穷小量的代数和是无穷小量。定理4无穷小量与有界量之积是无穷小量。推论1：任一常数与无穷小量之积是无穷小量。推论2：有限个无穷小量之积是无穷小量。（注：两个无穷小之商未必是无穷小）4.无穷大量当x→（或±∞）时，如果函数f(x)的绝对值无限增大，则称当x→（或±∞）时，f(x)是无穷大量。记作f(x)=∞,或f(x)→∞。定义5若（或）,则称为当（或）时的无穷大量,简称无穷大。如=，表示当时,为无穷大..5.无穷大量与无穷小量的关系定理5无穷大量的倒数为无穷小量，非零的无穷小量的倒数为无穷大量.2.5极限的四则运算为叙述方便，我们用“”代表“”或“”，假设c是常数，并且极限和都存在，则有：1）教学过程第二节函数的极限2.；；其中C为常数3.（）．例3求极限（1）（2）求（3）求2.6两个重要极限（1）变