2023-2024学年高一数学2019单元复习试题单元复习09平面向量提高题

单元复习09平面向量一、单选题1．下列命题中正确的个数是（

）①起点相同的单位向量，终点必相同；②已知向量，则四点必在一直线上；③若，则；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，【解析】对于A，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误，对于B，向量，则四点共线或，故B错误，对于C，若，当时，不一定平行，故C错误，对于D，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D错误，故选：A2．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意得，再由，即可得到答案.【解析】由于是边上的中点，则..故选：B.3．关于向量，，下列命题中，正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】B【分析】根据平面向量的相关定义，判断选项.【解析】A.由平面向量的定义可知，向量的模相等，向量不一定相等，故A错误；B.两个向量是相反向量，则两个向量平行，故B正确；C.向量不能比较大小，故C错误；D.当向量时，与不一定平行，故D错误；故选：B4．若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则力的大小为（

）．A．7 B． C． D．1【答案】D【分析】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案.【解析】根据三力平衡得，即，两边同平方得，即即,解得故选：D.5．设向量均为单位向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】将两边平方转化为，从而得到与之间的关系.【解析】若，则，所以，，所以，满足充分性；若，两边平方得，所以，满足必要性．故选：B．6．在平行四边形中，，，.对角线AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.设，，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意可证明，则，根据向量的分解、模长和数量积的运算，即可判断正误.【解析】解：对于A，取OB的中点G，连接CG，则且，即，则，A选项正确；对于B，，则，B选项正确；对于C，，则，C选项错误；对于D，，D选项正确；故选：C.7．已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据向量的数量积为正数且两向量不同向即可根据坐标运算求解.【解析】由题意得，，若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们数量积为正值，即，且，解得，且，所以实数的取值范围为．故选:A8．设是平面直角坐标系中两两不同的四点，若，，且，则称调和分割.已知点，调和分割点，，则下面说法正确的是（

）A．可能是线段的中点B．可能是线段的中点C．可能同时在线段上D．不可能同时在线段上【答案】D【分析】先根据题目定义，向量的坐标运算，推出之间的关系，然后四个选项每个代入验证，用排除法解决.【解析】根据题意可知，，即，，得，，即，得，根据，得.线段的方程是，.若C是线段的中点，则，代入，得，此等式不可能成立，故选项A的说法不成立；同理选项B的说法也不成立；若同时在线段上，则，，此时，，，与矛盾，故选项C错误；当同时不在线段上时，若，，则，与矛盾，若，，则是负值，与矛盾，若，，则，，此时，与矛盾，若，，则，，此时，与矛盾，故选项D的说法成立.故选：D.二、多选题9．下列说法中正确的是（

）A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线C．零向量的长度为0 D．方向相反的两个非零向量必不相等【答案】ACD【分析】利用零向量的定义及性质判断选项A和选项C，利用共线向量的定义判断选项B，利用相等向量的定义判断选项D.【解析】解：零向量与任一向量平行，零向量的方向不确定，但模确定为0，故A与C都是正确的；根据共线向量的定义，方向相反的两个非零向量一定共线，故B错误；对于D，因为向量相等的定义是长度相等且方向相同的向量，所以方向相反的两个非零向量必不相等，故D正确．故选：ACD．10．已知平面向量，，则下列说法正确的是（

）A． B．C．向量与的夹角为 D．向量在上的投影向量为【答案】BD【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断A，根据数量积的坐标运算可判断B,由夹角公式可判断C，由投影向量的求解公式可判断D.【解析】，所以，故A错误；，故B正确；，，，，故C错误；向量在上的投影向量为，故D正确．故选：BD11．在△ABC中，下列结论错误的是（

）A．B．C．若，则是等腰三角形D．若则是锐角三角形【答案】ABD【分析】由向量减法法判断A项错误；利用数量积公式判断B项错误；将已知化简利用三线合一得到是等腰三角形判断C项正确；D项得到是锐角，不能得到是锐角三角形，判断D项正确.【解析】由向量减法法则可得，故A项错误；，故B项错误；设中点为，，则，因为,所以由三线合一得，所以是等腰三角形，故C项正确；可以得到是锐角，不能得到是锐角三角形，故D项错误；故选：ABD.12．已知向量，则下列说法正确的是（

）A．若，则的值为B．若则的值为C．若，则与的夹角为锐角D．若，则【答案】AB【分析】根据向量的数量积、向量的模的坐标表示及向量共线的坐标表示一一判断即可；【解析】解：对于A：若，则，解得，故A正确；对于B：若，则，解得，故B正确；对于C：当时与同向，此时与的夹角为，故C错误；对于D：若，则，即，即，解得，当时，，，显然，当时，，，此时，故D错误；故选：AB三、填空题13．已知，，，则与的夹角是___________.【答案】【分析】根据平面向量的模和数量积计算，即可直接得出结果.【解析】，因为，所以，与的夹角是.故答案为：.14．若平面向量､满足条件：､，则向量在向量的方向上的数量投影为___________.【答案】【分析】根据数量投影的知识求得正确答案.【解析】向量在向量的方向上的数量投影为.故答案为：15．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是___________.【答案】【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小.【解析】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东，，在中，有，所以，所以，所以，所以小货船航行速度的大小为．故答案为：16．在中，，分别是边，上的点，且，，点是线段上异于端点的一点，且满足，则_________．【答案】8【分析】用、表示出、，从而得到，再根据，，三点共线，得到，解得即可.【解析】解：因为，，所以，，即，，因为，所以，即，即，因为，，三点共线，故，解得．故答案为：四、解答题17．已知与的夹角为．(1)求的值；(2)设，求的夹角．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据可以得到答案；（2）计算即可.【解析】（1）由已知，得：，∴，∴；（2）∵，，∴，由（1）得：，∴，∵，∴.18．已知D为等边所在平面内的一点，，且线段BC上存在点E，使得．(1)试确定点E的位置，并说明理由；(2)求的值．【答案】(1)E为靠近点B的一个三等分点，理由见解析(2)【分析】（1）用平面向量的线性关系找出点所在的位置；（2）用向量分别表示出向量利用向量数量积公式计算.【解析】（1）因为，所以，所以，从而，故点E为靠近点B的一个三等分点．（2）因为，所以，，．19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量，，．(1)若，且，求向量的坐标；(2)若，且，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意，根据共线的坐标表示可得，又根据得，解方程组即可求出答案；（2）由（1）得，由此得，再根据二次函数的性质即可求出答案．(1)解：（1）∵，又，∴，∴，①又∵，∴，②由①②得，解得，当t＝1时，（舍去），当t＝－1时，，∴，∴．(2)解：（2）由（1）可知，，，∵，∴，∴当时，．20．某公园有三个警卫室A､B､C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时.(1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x､y的值；(2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？【答案】(1)(2)两人约有小时不能通话【分析】（1）先根据勾股定理确定这是一个直角三角形，然后可以建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据坐标运算可以计算出实数x､y的值；（2）表示出点的坐标之后可以把坐标表示，立出不等式解不等式即可.【解析】（1）因为，所以，因此建立如图所示的平面直角坐标系，，设保安甲从C出发小时后达点D，所以有，设，由，即，当时，，由；（2）设保安乙从B出发小时后达点E，所以点E的坐标为，于是有，因为对讲机在公园内的最大通话距离超过2千米，两人不能通话，所以有，所以解之：或，又所以两人约有小时不能通话.一、单选题1．若为任一非零向量，的模为1，给出下列各式：①；②﹔③；④.其中正确的是（

）A．①④ B．③ C．①②③ D．②③【答案】B【分析】根据向量的定义、向量的模、平行向量的定义判断．【解析】对于①，的大小不能确定；对于②，两个非零向量的方向不确定；对于④，向量的模是一个非负实数，只有③正确．故选：B．2．如图，在平行四边形中，点在线段上，且（），若（，）且，则（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】方法1：由可得，由代入可反解得，最后根据且即可求得的值.方法2：建立平面直角坐标系，表示出点的坐标转化为坐标运算可求得结果.【解析】方法1：在平行四边形中，因为，所以，所以，又∵，∴，∴，又∵，∴，，（平面向量基本定理的应用）又∵，∴，解得，故选：B.方法2：如图，以A为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，设，，∵则，又∵，设，则即：∴，，，又∵，∴∴∴由②得，将其代入①得，故选：B.3．已知三角形外接圆的半径为1为圆心，且，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得三角形是以角为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边，利用数量积几何意义计算得答案．【解析】因为三角形外接圆的半径为1为圆心，为的中点，故是直角三角形，为直角．又，,,故选:A.4．已知O为坐标原点，，则（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最小值为1 D．的最大值为2【答案】D【分析】首先根据向量的几何意义判断点的轨迹，再利用数形结合，以及向量数量积的几何意义，判断选项.【解析】由，可得点A的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，根据向量减法的几何意义，由，可得点B的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆，如图所示．当点B在坐标原点位置时，取最小值0，A选项错误；当点B在直线与圆A的交点位置且不是原点时，取最大值2，B选项错误；根据向量数量积的几何意义，当点B在坐标原点位置时，在方向上的投影取最小值0，此时取最小值0，C选项错误，当点B在直线与圆A的交点位置且不是原点时，在方向上的投影取最大值2，此时取最大值2，D选项正确．故选:D5．如图，在中，O为线段BC上一点，且，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根据向量的线性运算的几何表示及向量共线可得，然后利用基本不等式即得.【解析】因为，所以，即，又因为G为线段AO的中点，所以，因为，，所以，因为D、G、E三点共线，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号．故选：C.6．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：①与的夹角为；②；③；④向量在向量上的投影向量为（其中是与同向的单位向量）.其中正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用正八边形的特征，结合向量的线性运算及投影向量的定义逐一分析各个命题即可求解.【解析】对于①，因为八边形为正八边形，所以，所以与的夹角为，①错误；对于②，，显然不成立，②错误；对于③，，所以，，所以，③正确；对于④，，向量在向量上的投影向量为，④正确，故选：B.7．已知是单位向量，向量满足，且，其中x、，且，则下列结论中，①；②；③存在x、y，使得；④当取最小值时，.其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据数量积运算可判断①；由题可得，进而得可判断②；结合基本不等式求得可判断③；结合条件可得到，同时平方即得可判断④.【解析】由可得，即，①正确；又且，则，即，所以，又，则，同理，则，即，②错误；由知至少一正，若一正一负，则，显然不满足，故均为正，则，当且仅当时等号成立，则，当且仅当时等号成立，则存在x，y，使得，③正确；当取最小值2时，，由可得，则，即，则，④正确.所以正确结论的个数为3.故选：C.【点睛】本题关键点在于由结合得到，进而得，再结合基本不等式求得，最后由平方即可求解.8．点O是平面α上一定点，A，B，C是平面α上的三个顶点，，分别是边，的对角.有以下五个命题：①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足，则，的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根据的外心、内心、重心、垂心分别是三边中垂线的交点、角平分线的交点、中线的交点、高的交点，这些几何特征与向量建立联系，进而判断每个命题的正误．【解析】①当动点P满足时，则点P是的重心，所以①不正确；②显然在的角平分线上，而与的平分线所在向量共线，所以的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确；③变形为，而，表示点A到边的距离，设为，所以，而表示边的中线向量，所以表示边的中线向量，因此的重心一定在满足条件的P点集合中，所以③正确；④当时，的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不正确；正确答案序号为②③．故选：C二、多选题9．下列叙述中错误的是（

）A．若，则B．若，则与的方向相同或相反C．若，，则D．对任一非零向量，是一个单位向量【答案】ABC【分析】根据向量不能比较大小可判断A；根据共线向量的定义可判断B；当时可判断C；根据单位向量的定义可判断D，进而可得答案.【解析】对于A，因为向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；对于B，零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，则对于非零向量，必有，但与的方向不一定相同或相反，故B错误；对于C，若，则零向量与任意向量平行，所以对任意向量与，均有，，故此时与不一定平行，故C错误；对于D，由单位向量的定义可得，对任一非零向量，其单位向量为，故D正确.故选：ABC.10．已知向量，，则（

）A．与的夹角余弦值为B．C．向量在向量上的投影向量的模为D．若，则【答案】ACD【分析】对于A：由已知得，根据向量夹角的计算公式计算可判断；对于B：由已知得，由此可判断；对于C：由已知得向量在向量上的投影，从而可判断；对于D：由，可判断.【解析】解：对于A：因为向量，，所以，所以与的夹角余弦值为，故A正确；对于B：因为，所以，所以，故B不正确；对于C：向量在向量上的投影为，所以向量在向量上的投影向量的模为，故C正确；对于D：因为，所以，所以，故D正确，故选：ACD.11．设均为单位向量，对任意的实数有恒成立，则（

）A．与的夹角为 B．C．的最小值为 D．的最小值为【答案】BD【分析】根据已知条件求得的夹角以及数量积，对每个选项进行逐一分析即可判断和选择.【解析】对：设的夹角为，，两边平方可得：，即对任意的恒成立，故可得：，即，则，又，故，故错误；对：，故正确；对：，当且仅当时取得等号，故错误；对：，对，当且仅当时取得最小值，故的最小值为，故正确.故选：.12．对于，其外心为O，内心为P，垂心为H，则下列结论正确的是（

）A． B．C．向量与共线 D．【答案】BC【分析】由为外心，则，仅当时，可判定A错误；根据向量的数量积的运算公式，可得判定B正确；由，得到与垂直，再由，可判定C正确；连接，设分别是的中点，连接，分别证得和，，得到P是的垂心，可判定D错误.故选：BC.【解析】对于A中，因为为外心，则，仅当时，才有，所以A错误；对于B中，由，又由，所以，所以B正确；对于C中，由，即与垂直，又由，所以与共线，所以C正确；对于D中，如图所示，为的外接圆，连接，设分别是的中点，连接，则，又由，所以，即，所以与共线，因为为的外接圆的圆心，所以，所以，同理得，所以P是的垂心，所以D错误.故选：BC.13．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE=CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（

）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．满足λ+μ=3的点P有且只有一个D．λ+μ=的的点P有且只有一个【答案】C【分析】建立坐标系，讨论，，，四种情况，依次求出的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果.【解析】如图建系，取，∵，∴，动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，当时，有且，∴，∴，当时，有且，则，∴，∴，当时，有且，则，∴，∴，当时，有且，则，∴，∴，综上，，选项A，取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误；选项B，当点取点或的中点时，均满足，此时点有两个，故B错误；选项C，当点取点时，且，解得，为，故C正确；选项D，当点在上时，均可能满足，此时点有三个，故D错误；故选：C.【点睛】关键点睛：求解本题的关键在于根据题中所给条件，利用建系的方法，讨论的位置，根据，确定的范围，即可求解.（向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化）14．已知O，N，P，I在△ABC所在的平面内，则下列说法正确的是（

）A．若，则O是△ABC的外心B．若，则P是△ABC的垂心C．若，则N是△ABC的重心D．若，则I是△ABC的垂心【答案】ABCD【分析】根据三角形外心、垂心、重心和内心的定义，结合平面向量的运算即可求得答案.【解析】对A，根据外心的定义，易知A正确；对B，，同理可得：，所以P是垂心，故B正确；对C，记AB、BC、CA的中点为D、E、F，由题意，则，同理可得：，则N是重心，故C正确；对D，由题意，，则I是垂心，故D正确故选：ABCD.三、填空题15．在三角形ABC中，若，且，则_______【答案】1【分析】根据，即可得出，从而可求出x，y，进而得出【解析】，又，，故答案为：1．16．如图，在矩形中，，分别为线段，的中点，若，，则的值为___________.【答案】##【分析】利用向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解.【解析】因为，分别为线段，的中点，所以,,,所以,所以，解得，所以，所以的值为.故答案为：.四、解答题17．设，是两个不共线的向量，如果，，.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定的值，使和共线；(3)若与不共线，试求的取值范围.【答案】(1)证明过程见解析(2)(3)【分析】（1）要证明A，B，D三点共线，只需证明向量与共线；（2）两向量与（）共线，所以存在唯一实数实数，使.由此列方程组可解；（3）知两向量不共线，求参数.可先求两向量共线时的参数值，实数集中去除这些值，即为不共线的参数值或范围.（1）证明：因为，所以与共线.因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线.（2）因为与共线，所以存在实数，使.因为，不共线，所以所以.（3）假设与共线，则存在实数m，使.因为，不共线，所以所以.因为与不共线，所以.18．已知向量.(1)求与平行的单位向量；(2)设，若存在，使得成立，求k的取值范围.【答案】(1)或(2)【分析】（1）待定系数法设坐标后列方程组求解（2）由数量积的坐标运算化简，转化为方程有解问题（1）设，根据题意得解得或或.（2）..，.问题转化为关于t的二次方程在内有解.令，①当，即时，在内为增函数，方程在内无解.②当，即时，由，解得或.③当，即时，在内为减函数，由得.解得.综上，实数k的取值范围为.19．如图，在中，为线段上的一个动点（不含端点），且满足.(1)若，用向量表示；(2)若，且，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的线性运算即可求解；（2）利用数量积的运算律求解即可.【解析】（1）因为，所以，所以，当时，.（2）由（1）可知，所以因为，，所以，因为，所以，所以，即的取值范围为.20．在梯形中，，，P，Q分别为线段BC和CD上的动点．(1)求与的数量积；(2)若，求；(3)若，求的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据数量积的运算求得与的数量积.（2）利用平方的方法求得.（3）求得的表达式，利用导数求得最大值.（1）.（2），，所以.（3）,.，设，，所以递减；递增，，所以在上的最大值为.即的最大值为.21．已知平面直角坐标系中，点，点（其中a，b为常数，且），点O为坐标原点.如图所示，设点是线段的n等分点，其中，(1)当时，求的值（用含a，b的式子表示）；(2)当时，求的最小值.（说明：可能用到的计算公式：.）【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得，进而推出，代入题中的等式即可；（2）当a=b=1，n=10时，，，进而得到，从而得，列出i的取值即可得到对应的函数值.(1)由题意得，，所以，事实上，对任意正整数m，n，且m+n=2022，有，，所以所以当时，.(2)当a=b=1，n=10时，，同理当i=6，7，8，9时，，当i=7时，上式有最小值当i=5时，当i=1，2，3，4时，，当i=3时，上式有最小值综上，的最小值是.一、单选题1．（2021·全国·校联考模拟预测）已知向量，为非零向量，则“向量，的夹角为180°”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】判断命题“若向量，的夹角为180°，则”和命题“若，则向量，的夹角为180°”的真假即可得解.【解析】因向量，为非零向量，则当向量，的夹角为180°时，与方向相反，即成立，当时，与方向相同或者方向相反，即向量，的夹角为0°或者180°，可以不为180°，所以“向量，的夹角为180°”是“”的充分不必要条件.故选：A2．（2021·云南昆明·统考模拟预测）下列有关四边形的形状判断错误的是（

）A．若，则四边形为平行四边形B．若，则四边形为梯形C．若，且，则四边形为菱形D．若，且，则四边形为正方形【答案】D【分析】根据向量共线、相等的知识确定正确答案.【解析】A选项，，则，所以四边形为平行四边形，A正确.B选项，，则，所以四边形为梯形，B正确.C选项，，则，四边形是平行四边形；由于，所以四边形是菱形，C正确.D选项，，则，所以四边形为平行四边形；由于，所以四边形为菱形，D选项错误.故选：D3．（2022·上海普陀·统考一模）设，若向量、、满足，且，则满足条件的k的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据题意可得，利用平面向量的数量积的定义和三角函数的性质可得，进而，结合选项即可求解.【解析】由，得，所以，又，所以，即，得，又，所以，所以k的取值可以是2.故选：B.4．（2022·陕西安康·统考一模）已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由确定点的位置，再利用与的面积之比列方程来求得的值.【解析】由得，设，则.由于，所以A，B，D三点共线，如图所示，∵与反向共线，，∴，∴，∴.故选：D5．（2021·浙江金华·统考三模）半径为1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C为弧上的动点，已知，记，则（

）A．若m+n=3，则M的最小值为3B．若m+n=3，则有唯一C点使M取最小值C．若m·n=3，则M的最小值为3D．若m·n=3，则有唯一C点使M取最小值【答案】A【分析】设，以为原点，以、与所在直线垂直的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，把转化为关于的表达式，可解决此题．【解析】：设，如图：以为原点，以、与所在直线垂直的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则，，，，，，．①若，取，，则，，，，，,，此时，、两点重合，所以正确；取，，则，当时取最小值，此时、两点重合，所以点不唯一，故B错误；②若，取，则，当时，，故C错误；取，时，则，当时，取最小值，点不唯一，故D错误.故选：A．【点睛】本题考查平面向量的线性运算的意义和模的意义，涉及与圆有关的最值问题，关键是题目中的参数较多，故而应当想到直接解决困难较大，应用特值排除的方法解决较为方便，这是在解决一些选择题是常常需要用到的思想方法.二、多选题6．（2022·浙江嘉兴·校考模拟预测）设是两个非零向量，若，则下列结论正确的是（

）A． B．C．在方向上的投影向量为 D．【答案】ABC【分析】利用平面向量的垂直关系，然后对选项一一验证即可.【解析】因为，所以，所以，所以选项A正确；因为，所以，即有，所以，所以选项B正确；因为，所以在方向上的投影向量为，所以选项C正确；由向量数量积的定义可知，，所以，所以选项D错误.故选：ABC.7．（2021·全国·统考模拟预测）下列说法正确的是（

）A．若为平面向量，，则B．若为平面向量，，则C．若，，则在方向上的投影为D．在中，M是AB的中点，＝3，BN与CM交于点P，＝+，则λ＝2μ【答案】CD【分析】利用向量共线的概念判断A、B，；利用向量数量积的定义可判断C；利用向量共线的推论即可判断D.【解析】A，若，则与任意向量共线，所以与不一定平行，故A错误；B，若，则，，当共面时，，若不共面时，与不平行，故B错误；C，若，则，所以，在方向上的投影为，故C正确；D，，设,则，设，则，即，①