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文档简介
辽宁凌源市高三下学期联考押题卷新高考数学试题试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.双曲线的一条渐近线方程为,那么它的离心率为()A. B. C. D.2.在中,角所对的边分别为,已知,.当变化时,若存在最大值,则正数的取值范围为A. B. C. D.3.如图所示,在平面直角坐标系中,是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于,两点,且,则该椭圆的离心率是()A. B. C. D.4.已知集合,集合,则A. B.或C. D.5.如图,这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图,则下列说法不正确的是()A.甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B.甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C.甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D.甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1036.已知,椭圆的方程,双曲线的方程为,和的离心率之积为,则的渐近线方程为()A. B. C. D.7.设为非零向量,则“”是“与共线”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数且,则实数的取值范围是()A. B. C. D.9.执行下面的程序框图,若输出的的值为63,则判断框中可以填入的关于的判断条件是()A. B. C. D.10.已知集合,则为()A.[0,2) B.(2,3] C.[2,3] D.(0,2]11.已知棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的四个面中,最大面积为()A. B. C. D.12.已知复数,则的虚部为()A. B. C. D.1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若,则__________.14.已知函数,则函数的极大值为___________.15.已知数列满足,则________.16.某班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、31号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某调查机构为了了解某产品年产量x(吨)对价格y(千克/吨)和利润z的影响,对近五年该产品的年产量和价格统计如下表:x12345y17.016.515.513.812.2(1)求y关于x的线性回归方程;(2)若每吨该产品的成本为12千元,假设该产品可全部卖出,预测当年产量为多少时,年利润w取到最大值?参考公式:18.(12分)已知函数(,),.(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)已知函数有两个零点.(1)求的取值范围;(2)是否存在实数,对于符合题意的任意,当时均有?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.20.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若函数的最大值为,且,求的最小值.21.(12分)已知点、分别在轴、轴上运动,,.(1)求点的轨迹的方程;(2)过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点,,求的取值范围.22.(10分)已知函数.(1)若,求函数的单调区间;(2)若恒成立,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
根据双曲线的一条渐近线方程为,列出方程,求出的值即可.【详解】∵双曲线的一条渐近线方程为,可得,∴,∴双曲线的离心率.故选:D.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法,属于基础题.2、C【解析】
因为,,所以根据正弦定理可得,所以,,所以,其中,,因为存在最大值,所以由,可得,所以,所以,解得,所以正数的取值范围为,故选C.3、A【解析】
联立直线方程与椭圆方程,解得和的坐标,然后利用向量垂直的坐标表示可得,由离心率定义可得结果.【详解】由,得,所以,.由题意知,所以,.因为,所以,所以.所以,所以,故选:A.【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点,考查了向量垂直的坐标表示,考查了椭圆的离心率公式,属于基础题.4、C【解析】
由可得,解得或,所以或,又,所以,故选C.5、D【解析】
计算两班的平均值,中位数,方差得到正确,两班人数不知道,所以两班的总平均分无法计算,错误,得到答案.【详解】由题意可得甲班的平均分是104,中位数是103,方差是26.4;乙班的平均分是102,中位数是101,方差是37.6,则A,B,C正确.因为甲、乙两班的人数不知道,所以两班的总平均分无法计算,故D错误.故选:.【点睛】本题考查了茎叶图,平均值,中位数,方差,意在考查学生的计算能力和应用能力.6、A【解析】
根据椭圆与双曲线离心率的表示形式,结合和的离心率之积为,即可得的关系,进而得双曲线的离心率方程.【详解】椭圆的方程,双曲线的方程为,则椭圆离心率,双曲线的离心率,由和的离心率之积为,即,解得,所以渐近线方程为,化简可得,故选:A.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用,椭圆与双曲线离心率表示形式,双曲线渐近线方程求法,属于基础题.7、A【解析】
根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若,则与共线,且方向相同,充分性;当与共线,方向相反时,,故不必要.故选:.【点睛】本题考查了向量共线,充分不必要条件,意在考查学生的推断能力.8、B【解析】
构造函数,判断出的单调性和奇偶性,由此求得不等式的解集.【详解】构造函数,由解得,所以的定义域为,且,所以为奇函数,而,所以在定义域上为增函数,且.由得,即,所以.故选:B【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式,属于中档题.9、B【解析】
根据程序框图,逐步执行,直到的值为63,结束循环,即可得出判断条件.【详解】执行框图如下:初始值:,第一步:,此时不能输出,继续循环;第二步:,此时不能输出,继续循环;第三步:,此时不能输出,继续循环;第四步:,此时不能输出,继续循环;第五步:,此时不能输出,继续循环;第六步:,此时要输出,结束循环;故,判断条件为.故选B【点睛】本题主要考查完善程序框图,只需逐步执行框图,结合输出结果,即可确定判断条件,属于常考题型.10、B【解析】
先求出,得到,再结合集合交集的运算,即可求解.【详解】由题意,集合,所以,则,所以.故选:B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算,其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.11、B【解析】
由三视图可知,该三棱锥如图,其中底面是等腰直角三角形,平面,结合三视图求出每个面的面积即可.【详解】由三视图可知,该三棱锥如图所示:其中底面是等腰直角三角形,平面,由三视图知,因为,,所以,所以,因为为等边三角形,所以,所以该三棱锥的四个面中,最大面积为.故选:B【点睛】本题考查三视图还原几何体并求其面积;考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.12、C【解析】
先将,化简转化为,再得到下结论.【详解】已知复数,所以,所以的虚部为-1.故选:C【点睛】本题主要考查复数的概念及运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
因为,由二倍角公式得到,故得到.故答案为.14、【解析】
对函数求导,通过赋值,求得,再对函数单调性进行分析,求得极大值.【详解】,故解得,,令,解得函数在单调递增,在单调递减,故的极大值为故答案为:.【点睛】本题考查函数极值的求解,难点是要通过赋值,求出未知量.15、【解析】
项和转化可得,讨论是否满足,分段表示即得解【详解】当时,由已知,可得,∵,①故,②由①-②得,∴.显然当时不满足上式,∴故答案为:【点睛】本题考查了利用求,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算,分类讨论的能力,属于中档题.16、18【解析】
根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号.【详解】解:根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,已知其中三个个体的编号为5,31,44,故还有一个抽取的个体的编号为18,故答案为:18【点睛】本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于简单题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)当时,年利润最大.【解析】
(1)方法一:令,先求得关于的回归直线方程,由此求得关于的回归直线方程.方法二:根据回归直线方程计算公式,计算出回归直线方程.方法一的好处在计算的数值较小.(2)求得w的表达式,根据二次函数的性质作出预测.【详解】(1)方法一:取,则得与的数据关系如下123457.06.55.53.82.2,,,.,,关于的线性回归方程是即,故关于的线性回归方程是.方法二:因为,,,,,所以,故关于的线性回归方程是,(2)年利润,根据二次函数的性质可知:当时,年利润最大.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的求法,考查利用回归直线方程进行预测,考查运算求解能力,属于中档题.18、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)求导得到,讨论和两种情况,得到答案.(Ⅱ)变换得到,设,求,令,故在单调递增,存在使得,,计算得到答案.【详解】(Ⅰ)(),当时,在单调递减,在单调递增;当时,在单调递增,在单调递减.(Ⅱ)(),即,().令(),则,令,,故在单调递增,注意到,,于是存在使得,可知在单调递增,在单调递减.∴.综上知,.【点睛】本题考查了函数的单调性,恒成立问题,意在考查学生对于导数知识的综合应用能力.19、(1);(2).【解析】
(1)对求导,对参数进行分类讨论,根据函数单调性即可求得.(2)先根据,得,再根据零点解得,转化不等式得,令,化简得,因此,,最后根据导数研究对应函数单调性,确定对应函数最值,即得取值集合.【详解】(1),当时,对恒成立,与题意不符,当,,∴时,即函数在单调递增,在单调递减,∵和时均有,∴,解得:,综上可知:的取值范围;(2)由(1)可知,则,由的任意性及知,,且,∴,故,又∵,令,则,且恒成立,令,而,∴时,时,∴,令,若,则时,,即函数在单调递减,∴,与不符;若,则时,,即函数在单调递减,∴,与式不符;若,解得,此时恒成立,,即函数在单调递增,又,∴时,;时,符合式,综上,存在唯一实数符合题意.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.20、(1)(2)【解析】
(1)化简得到,分类解不等式得到答案.(2)的最大值,,利用均值不等式计算得到答案.【详解】(1)因为,故或或解得或,故不等式的解集为.(2)画出函数图像,根据图像可知的最大值.因为,所以,当且仅当时,等号成立,故的最小值是3.【点睛】本题考查了解不等式,均值不等式求最值,意在考查学生的计算能力和转化能力.21、(1)(2)【解析】
(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程,用坐标表示出,得到,所以,代入韦达定理即可求解.【详解】(1)设,,则,设,由得.又由于,化简得的轨迹的方程为.(2)设直线的方程为,与的方程联立,消去得,,设,,则,,由已知,,则,故直线.,令,则,由于,,.所以,的取值范围为.【点睛】此题考查轨迹问题,椭圆和直线相交,注意坐标表示向量进行转化的处理技巧,属于较难题目.22、(1)增区间为,减区间为;(2).【解析】
(1)将代入函数的解析式,利用导数可得出函数的单调区间;(2)求函数的导数,分类讨论的范围,利用导数分析函数的单调性,求出函数的最值可判断是否恒成立,可得实数的取值范围.【详解】(1)当时,,则,当时,,则,此时,函数为减函数;当时,,则,此时,函数为增函数.所以,函数的增区间为,减区间为;(2),则,.①当时,即当时
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