《解直角三角形》名师课件

28.2.1解直角三角形（2）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．（1）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，若∠C=90°，则，

，

.（4）含30°角的直角三角形的三边比为；含45°角的直角三角形的三边比为.（3）直角三角形两锐角互余.（5）30°、45°、60°角的三角函数值：30°45°60°sinαcosαtanα创设情境，引入新知活动1探究一:已知直角三角形中的两个元素能求出其他元素吗？重点知识★问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°＜α＜75°，如图现有一个长6m的梯子，问：(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1m)(2)当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人是否能够安全使用这个梯子？分析：对于问题（1），当梯子与地面所成的角α为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度。问题（1）可以归结为：在Rt△ABC中，已知∠A=75°，斜边AB=6，求∠A的对边BC的长。分析：对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角α的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC=2.4，斜边AB=6，求锐角α的度数。创设情境，引入新知活动1问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°＜α＜70°，如图现有一个长6m的梯子，问：(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1m)(2)当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人是否能够安全使用这个梯子？解：（1）由,得.由计算器求得，所以.因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m.探究一:已知直角三角形中的两个元素能求出其他元素吗？重点知识★创设情境，引入新知活动1问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°＜α＜70°，如图现有一个长6m的梯子，问：(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1m)(2)当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人是否能够安全使用这个梯子？探究一:已知直角三角形中的两个元素能求出其他元素吗？重点知识★解：（2）由于，利用计算器求得.因此当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66°

.由可知，这时使用这个梯子是安全的.探究思考，理论提升活动2思考：在上面问题的Rt△ABC中，（2）根据AC=2.4，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？（1）根据∠A=75°，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？结论：可以，过程尝试自己写一下.探究一:已知直角三角形中的两个元素能求出其他元素吗？重点知识★解直角三角形活动1探究二:什么是解直角三角形？依据是什么？1．一般地，我们把三角形的三个角∠A，∠B，∠C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，即三角形共有六个元素.2.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形.3.在直角三角形中，除直角外共有5个元素，即3条边和2个锐角，如果已知两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素.即解直角三角形满足“知二推三”.重点知识★直角三角形各元素间的关系活动1直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？（1）三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)（2）两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．（3）边角之间的关系：以上三点就是解直角三角形的依据.探究二:什么是解直角三角形？依据是什么？重点知识★应用新知，巩固练习活动1例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=，AC=，解这个直角三角形.解：点拨：已知两边，用三角函数求出一角是突破口.探究二:什么是解直角三角形？依据是什么？重点知识★应用新知，巩固练习活动1例2：如图，在Rt△ABC中，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（精确到0.1）解：点拨：已知一边一角，用三角函数求出第二条边是突破口.另外，解直角三角形的方法很多，在做题中要善于比较归纳、灵活处理.探究二:什么是解直角三角形？依据是什么？重点知识★应用新知，回顾引言活动2探究三:怎样解直角三角形？重点、难点知识★▲例3：如图，始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜.1972年比萨发生地震，这座高54.5m的斜塔大幅度摇摆22分之后，仍巍然屹立.可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，而且还以每年倾斜1cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险.为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm.根据上面的信息，你能用“塔身中心线偏离垂直中心线的角度”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？我们一起来解决关于比萨斜塔倾斜的问题.应用新知，回顾引言活动2解：先看1972年的情形：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的交点为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．

sinA=≈0.0954．所以∠A≈5°28′．类似地，可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角.我们一起来解决关于比萨斜塔倾斜的问题.探究三:怎样解直角三角形？重点、难点知识★▲常见类型，归纳提升活动3当图形中没有需要的直角三角形时，常常通过添加辅助线来构造直角三角形.例1：如图，在△ABC中，已知BC＝

，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长．D解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.

设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD·tanB＝x·tan60°＝x.在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴∠CAD＝90°－∠C＝45°.∴∠C＝∠CAD.∴CD＝AD＝x.∵BC＝

，∴x＋x＝.解得x＝1，即BD＝1.在Rt△ABD中，∵cosB＝

，∴AB＝.点拨：无直角的三角形常常作高，作高一般不破坏特殊角.探究三:怎样解直角三角形？重点、难点知识★▲常见类型，归纳提升活动3例2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．解：如图，延长BC，AD交于点E.∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°.在Rt△ABE中，BE＝

，在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2.∴DE＝EC·cos30°＝.∴S四边形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD＝E点拨：有直角、无三角形的图形常常延长某些边.本题看似是四边形问题，但注意到∠B＝90°，∠A＝60°，不难想到延长BC，AD，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决．探究三:怎样解直角三角形？重点、难点知识★▲常见类型，归纳提升活动3例3：如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，sin∠BCD＝，求tanA的值．解：如图，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E.E∵点D是AB的中点，∴AD＝DB.又∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，∴△ACD≌△BED，∴CD＝DE，AC＝BE.在Rt△CBE中，sin∠BCE＝

，∴BC＝3BE.∴CE，∴∴tanA＝

点拨：有三角函数值不能直接利用时常常作垂线构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键．探究三:怎样解直角三角形？重点、难点知识★▲常见类型，归纳提升活动3例4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，求tan∠BPC的值.解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，E∵AB＝AC＝5，∴BE，∠BAE＝∠BAC.∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE.在Rt△BAE中，由勾股定理得 AE＝

， ∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝.点拨：求角的三角函数值，若角不在直角三角形中、也不好构造直角三角形时，可以尝试将角转化到容易构造直角三角形的位置求解.探究三:怎样解直角三角形？重点、难点知识★▲

（1）直角三角形各元素间的关系：三边关系------勾股定理；