《解直角三角形》名师教案

28.2.1解直角三角形（刘佳）一、教学目标1．核心素养:通过解直角三角形的学习，初步形成基本的运算能力、推理能力、应用意识.2．学习目标（1）1.1.1在实际问题中体会解直角三角形的方法；（2）1.1.2掌握直角三角形各元素间的关系，理解解直角三角形的含义；（3）1.1.3会解直角三角形，并能运用其解决简单问题.3．学习重点解直角三角形．4．学习难点三角函数在解直角三角形中的灵活运用．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P72-P73，思考：什么是解直角三角形？如何解直角三角形？任务2阅读教材P72-P73，思考：如何解直角三角形？2．预习自测一、选择题1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最适宜的做法是（）A．计算tanA的值求出B．计算sinA的值求出C．计算cosA的值求出D．先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出答案：C解析：因为AC＝3是∠A的邻边，AB＝4是∠A的斜边，所以计算cosA的值求出∠A.故选C.2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是（）A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案：D解析：在Rt△ABC中，cosA=.故选D.二、解答题3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形．答案：见解析解析：设b=,在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,所以∠A＝45°，所以a=b=，据勾股定理，所以a=b=.（二）课堂设计1．知识回顾（1）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠C=90°，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，若∠C=90°，则，cosA＝＝，tanA＝＝.（2）勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.（3）直角三角形两锐角互余.（4）含30°角的直角三角形的三边比为；含45°角的直角三角形的三边比为.（5）30°、45°、60°角的三角函数值：，，，，，，，，.2．问题探究问题探究一已知直角三角形中的两个元素能求出其他元素吗？重点知识★ ●活动一创设情境，引入新知问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足，如图现有一个长6m的梯子，问：(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1m)

(2)当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o)？

这时人是否能够安全使用这个梯子

？分析：对于问题（1），当梯子与地面所成的角为时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度.问题（1）可以归结为：在Rt△ABC中，已知∠A=，斜边AB=6，求∠A的对边BC的长.对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC=2.4，斜边AB=6，求锐角的度数.详解：（1）由得，.由计算器求得，所以.因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m.（2）由于，利用计算器求得.因此当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是.由可知，这时使用这个梯子是安全的.●活动二探究思考，理论提升思考：在上面问题的Rt△ABC中，（1）根据∠A=，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？（2）根据AC=2.4，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？结论：可以，过程略.问题探究二什么是解直角三角形？依据是什么？重点知识★ ●活动一解直角三角形1．一般地，我们把三角形的三个角∠A，∠B，∠C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，即三角形共有六个元素.2.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形.3.在直角三角形中，除直角外共有5个元素，即3条边和2个锐角，如果已知两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素.即解直角三角形满足“知二推三”. ●活动二直角三角形各元素间的关系直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？（1）三边之间的关系

a2+b2=c2(勾股定理)（2）两锐角之间的关系∠A+∠B=90°．（3）边角之间的关系，；，；，.以上三点就是解直角三角形的依据．问题探究三怎样解直角三角形？重点、难点知识★▲ ●活动一应用新知，巩固练习例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=，，，解这个直角三角形.【知识点：解直角三角形】详解：，...点拨：已知两边，用三角函数求出一角是突破口.例2：如图，在Rt△ABC中，，，解这个直角三角形（精确到0.1）【知识点：解直角三角形】详解：.，.，.点拨：已知一边一角，用三角函数求出第二条边是突破口.另外，解直角三角形的方法很多，在做题中要善于比较归纳、灵活处理.●活动二应用新知，回顾引言

我们一起来解决关于比萨斜塔倾斜的问题.例3：如图，始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜.1972年比萨发生地震，这座高54.5m的斜塔大幅度摇摆22分之后，仍巍然屹立.可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，而且还以每年倾斜1cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险.为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm.根据上面的信息，你能用“塔身中心线偏离垂直中心线的角度”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？【知识点：解直角三角形的应用；数学思想：数形结合】详解：先看1972年的情形：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．sinA=≈0.0954．所以∠A≈5°28′．类似地，可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角.●活动三常见类型，归纳提升当图形中没有需要的直角三角形时，常常通过添加辅助线来构造直角三角形.例1：如图，在△ABC中，已知BC＝1＋eq\r(3)，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长．【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合】详解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD·tanB＝x·tan60°＝eq\r(3)x.在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴∠CAD＝90°－∠C＝45°.∴∠C＝∠CAD.∴CD＝AD＝eq\r(3)x.∵BC＝1＋eq\r(3)，∴eq\r(3)x＋x＝1＋eq\r(3).解得x＝1，即BD＝1.在Rt△ABD中，∵cosB＝eq\f(BD,AB)，∴AB＝eq\f(BD,cosB)＝eq\f(1,cos60°)＝2.点拨：无直角的三角形常常作高，作高一般不破坏特殊角.例2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合】详解：如图，延长BC，AD交于点E.∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°.在Rt△ABE中，BE＝eq\f(AB,tanE)＝eq\f(2,tan30°)＝2eq\r(3)，在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2.∴DE＝EC·cos30°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).∴S四边形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD＝eq\f(1,2)AB·BE－eq\f(1,2)CD·ED＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)－eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(3\r(3),2).点拨：有直角、无三角形的图形常常延长某些边.本题看似是四边形问题，但注意到∠B＝90°，∠A＝60°，不难想到延长BC，AD，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决．例3：如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，sin∠BCD＝eq\f(1,3)，求tanA的值．【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合】详解：如图，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E.∵点D是AB的中点，∴AD＝DB.又∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，∴△ACD≌△BED，∴CD＝DE，AC＝BE.在Rt△CBE中，sin∠BCE＝eq\f(BE,BC)＝eq\f(1,3)，∴BC＝3BE.∴CE＝eq\r(BC2－BE2)＝2eq\r(2)BE.∴CD＝eq\f(1,2)CE＝eq\r(2)BE＝eq\r(2)AC.∴tanA＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(\r(2)AC,AC)＝eq\r(2).点拨：有三角函数值不能直接利用时常常作垂线构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键．例4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝eq\f(1,2)∠BAC，求tan∠BPC的值．【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合】详解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC＝5，∴BE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×8＝4，∠BAE＝eq\f(1,2)∠BAC.∵∠BPC＝eq\f(1,2)∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE.在Rt△BAE中，由勾股定理得 AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(52－42)＝3， ∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝eq\f(BE,AE)＝eq\f(4,3).点拨：求角的三角函数值，若角不在直角三角形中、也不好构造直角三角形时，可以尝试将角转化到容易构造直角三角形的位置求解.3．课堂总结【知识梳理】（1）直角三角形各元素间的关系：三边关系------勾股定理；角的关系-----两锐角互余；边角关系----锐角三角函数.（2）解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形.（3）解直角三角形的一般方法 【重难点突破】（1）熟练掌握直角三角形边的关系、角的关系、边角关系是解直角三角形的关键.（2）在做题过程中，抓住三角函数这一工具来求解，往往是简单可行的办法.4．随堂检测一、选择题1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(4,5)，AC＝6cm，则BC的长为（）A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm答案：C解析：因为sinA＝eq\f(4,5)，AC＝6cm，所以AB=10，所以BC的长为8cm.故选C.【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合】2.如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6cm，那么这个三角形的面积为（）A．4.5cm2B．9eq\r(3)cm2C．18eq\r(3)cm2D．36cm2答案：B解析：设顶点为A，过A作BC的垂线，垂足是D，在Rt△ABD中，AD为30度所对边，所以AD长为3cm，即高为3cm.由三角函数或勾股定理得BD为3eq\r(3)，所以底边为6eq\r(3)，根据S＝0.5底高＝9eq\r(3)，故选B.【知识点：解直角三角形，三角形的面积公式，等腰三角形的性质；数学思想：数形结合】二、填空题3.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AB=10，∠A=30°，则BC的长为______.答案：5解析：直径所对的圆周角是直角，直角三角形中30o所对的直角边等于斜边的一半，因此∠C=90o，而∠A=30o,AB=10，所以BC=AB/2=5.【知识点：解直角三角形，直径所对的圆周角是直角；数学思想：数形结合】4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝20eq\r(2)，则∠A＝_________，∠B＝_________，b＝_________.答案：45°、45°、20解析：cos∠B=，所以∠B＝4