28.1.2 余弦、正切 提升训练（解析版）

28.1.2余弦、正切提升训练1．如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，cos∠AOB=反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（）A．15 B．20 C．30 D．40【答案】B【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，设OA=a,通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出，结合菱形的面积公式即可得出结论．【详解】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．设OA=a，在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，cos∠AOB=，∴OM=OA•cos∠AOB=a，AM==a，∴点A的坐标为（a，a）．∵点A在反比例函数y=的图象上，∴a×a=24，解得：a=5，或a=-5（舍去）．∴OM=3，AM=4，OB=OA=5．∵四边形OBCA是菱形，点F在边BC上，∴．故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出．2．如图，在中，，，将绕顶点C旋转得到，且使得恰好落在AB边上，与AC交于点D，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图（见解析），设，先根据余弦三角函数得出BE的长，再根据等腰三角形的三线合一可得的长，从而可得的长，然后根据旋转的性质可得，，最后根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．【详解】如图，过点C作于点E在中，，可设，则，是等腰三角形（等腰三角形的三线合一）由旋转的性质可知，，在中，，即解得在和中，故选：B．【点睛】本题考查了余弦三角函数、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、旋转的性质等知识点，通过作辅助线，运用余弦三角函数求出BE的长是解题关键．3．如图，在矩形ABCD中，BC=6，E是BC的中点，连接AE，，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】根据矩形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，∠B＝90°，根据勾股定理求得AE，当△APD'是直角三角形时，分两种情况①当∠AD'P＝90°时②当∠APD'＝90°时分类计算即可；【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝90°，∵BC=6，E是BC的中点，∴BE＝3，∵，∴，∴CD＝4，在Rt△ABE中，AE，∵四边形ABCD是矩形，，由折叠可知，PD＝PD'，设PD＝x，则PD'＝x，AP＝6﹣x，当△APD'是直角三角形时，①当∠AD'P＝90°时，∴∠AD'P＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠PAD'＝∠AEB，∴△ABE∽△PD'A，∴，∴，∴x，∴PD；②当∠APD'＝90°时，∴∠APD'＝∠B＝90°，∵∠PAE＝∠AEB，∴△APD'∽△EBA，∴，∴，∴x，∴PD；综上所述：当△APD'是直角三角形时，PD的值为或；故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，牢固掌握以上知识点并准确计算是解题的关键．4．如图，是的直径，，与相切于点，若，则的正切值为______．【答案】2【分析】根据切线长定理得到，，根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质得到，根据正切的定义计算即可．【详解】解：连接，，，与相切于点A、C，，，，，是的直径，，，∴，在中，，

∴，故答案为：【点睛】本题考查的是切线的性质、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．5．如图所示，，，于点B，点D是线段BC上一个动点，且于点D，，连接CE，则CE长的最小值是______．【答案】3【分析】在BC上截取，构造相似，可得出，过C点作CH⊥EQ可得出即可求出CE的长【详解】解：在BC上截取，则，中，，∵，∴在中，，∴∴，，∴，∴，∴，∴的角度固定不变，∴CH为CE的最小值．过C点作CH⊥EQ∴∠CHQ=∠ABQ=90°∵∴∠CQH=∠QAB∴，∵，∴，CE的最小值是3.【点睛】本题主要考查相似的性质与性质，正确作出辅助线是解题的关键．20．如图所示，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若，则k的值为___________．【答案】【分析】由，可设，表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．【详解】解：∵，∴设，则，点D坐标为，∵，∴，∵，∴点，∵反比例函数经过点D、E，∴，解得：或（舍），则，故答案为：．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．7．如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AEBD，交CB的延长线于点E．(1)求证：AE=AC；(2)若cos∠E=，CE=12，求矩形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)矩形ABCD的面积为48【分析】（1）由矩形的性质，可得AC=BD，ADBC，故可证四边形AEBD是平行四边形，从而得出AC=AE的结论；（2）首先根据等腰三角形的性质得到EB的长，然后利用锐角三角函数求得AE的长，从而利用勾股定理求得AB的长,最后求得面积即可．（1）证明：在矩形ABCD中，AC=BD，ADBC，又∵，∴四边形AEBD是平行四边形，∴BD=AE，∴AC=AE；（2）解：在矩形ABCD中，∴AB⊥EC，∵AE=AC，∴EB=BC，∵CE=12，∴EB=6，∵，∴AE=10，由勾股定理得：．∴矩形ABCD的面积为．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识．解此题的关键是能灵活运用矩形的性质，以及能利用锐角三角函数求线段．8．如图，AB为的直径，点C在上，过点C作切线CD交BA的延长线于点D，过点O作交切线DC于点E，交BC于点F．(1)求证：；(2)若，，求OE的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接OC，利用圆周角定理及切线的性质定理求出，由圆的半径相等求出，利用平行线的性质求出，即可得到结论；（2）由，求出，，证明即可求出【详解】（1）证明：连接OC，如图所示：∵为