北京市十五中高三下学期第六次检测新高考数学试卷及答案解析

北京市十五中高三下学期第六次检测新高考数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数的值判断拟合效果，越小，模型的拟合效果越好；③若数据的方差为1，则的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据，其线性回归方程，则“满足线性回归方程”是“，”的充要条件；其中真命题的个数为()A．4 B．3 C．2 D．12．的内角的对边分别为，若，则内角（）A． B． C． D．3．执行如图所示的程序框图，则输出的（）A．2 B．3 C． D．4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则；其中真命题的个数为（）A． B． C． D．5．已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（）A．圆，但要去掉两个点 B．椭圆，但要去掉两个点C．双曲线，但要去掉两个点 D．抛物线，但要去掉两个点6．函数与在上最多有n个交点，交点分别为（，……，n），则（）A．7 B．8 C．9 D．107．若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为()A．2 B． C． D．8．四人并排坐在连号的四个座位上，其中与不相邻的所有不同的坐法种数是（）A．12 B．16 C．20 D．89．若点是角的终边上一点，则（）A． B． C． D．10．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，aβ，bα，则“ab“是“αβ”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（）A． B． C． D．12．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量、、满足，则实数的值为_______．14．已知复数，且满足（其中为虚数单位），则____.15．已知为椭圆内一定点，经过引一条弦，使此弦被点平分，则此弦所在的直线方程为________________．16．已知函数，则不等式的解集为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数；（2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：抗倒伏易倒伏矮茎高茎（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，.（1）求cosC；（2）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为，求sin∠ADB.19．（12分）已知函数，.（1）证明：函数的极小值点为1；（2）若函数在有两个零点，证明：.20．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，面.（1）在线段上是否存在点，使面，说明理由；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：分组频数（1）求的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？（2）从甲、乙两家公司旅游总收人在(单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为，求的分布列及数学期望.22．（10分）已知函数，.（1）若对于任意实数，恒成立，求实数的范围；（2）当时，是否存在实数，使曲线：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

①根据线性相关性与r的关系进行判断,

②根据相关指数的值的性质进行判断,

③根据方差关系进行判断,

④根据点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断.【详解】①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;

②用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故②错误;

③若统计数据的方差为1,则的方差为,故③正确;

④因为点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，即，不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当，时，点必满足线性回归方程；因此“满足线性回归方程”是“，”必要不充分条件.故④错误;

所以正确的命题有①③.

故选：C.【点睛】本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题.2、C【解析】

由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得．【详解】∵，由正弦定理可得，∴，三角形中，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．3、B【解析】

运行程序，依次进行循环,结合判断框，可得输出值.【详解】起始阶段有，，第一次循环后，，第二次循环后，，第三次循环后，，第四次循环后，，所有后面的循环具有周期性，周期为3，当时，再次循环输出的,，此时，循环结束，输出，故选：B【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.4、C【解析】

利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.【详解】如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线平行于平面与平面的交线时也有，，故②错误；若，则垂直平面内以及与平面平行的所有直线，故③正确；若，则存在直线且，因为，所以，从而，故④正确.故选：C.【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.5、A【解析】

根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上.【详解】,，,又，,平面,又平面，故在以为直径的圆上，又是内异于的动点，所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B故选：A【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.6、C【解析】

根据直线过定点，采用数形结合，可得最多交点个数，然后利用对称性，可得结果.【详解】由题可知：直线过定点且在是关于对称如图通过图像可知：直线与最多有9个交点同时点左、右边各四个交点关于对称所以故选：C【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数的性质，属难题.7、C【解析】

利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离等于1，即，所以，.故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.8、A【解析】

先将除A，B以外的两人先排，再将A，B在3个空位置里进行插空，再相乘得答案.【详解】先将除A，B以外的两人先排，有种；再将A，B在3个空位置里进行插空，有种，所以共有种.故选：A【点睛】本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题.9、A【解析】

根据三角函数的定义，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，点是角的终边上一点，根据三角函数的定义，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10、D【解析】

根据面面平行的判定及性质求解即可．【详解】解：a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，由a∥b，不一定有α∥β，α与β可能相交；反之，由α∥β，可得a∥b或a与b异面，∴a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件．故选：D.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题．11、D【解析】

由，可求出等比数列的通项公式，进而可知当时，；当时，，从而可知的最小值为，求解即可.【详解】设等比数列的公比为，则，由题意得，，得，解得，得.当时，；当时，，则的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12、A【解析】

易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.【详解】由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，又所以，即，所以双曲线的离心率.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据图示分析出、、的坐标表示，然后根据坐标形式下向量的数量积为零计算出的取值.【详解】由图可知：，所以，又因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查向量的坐标表示以及坐标形式下向量的数量积运算，难度较易.已知，若，则有.14、【解析】

计算出，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解.【详解】，所以，所以.故答案为：-8【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.15、【解析】

设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，利用点差法可求得直线的斜率，进而可求得直线的点斜式方程，化为一般式即可.【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，由于点为弦的中点，则，得，由题意得，两式相减得，所以，直线的斜率为，所以，弦所在的直线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程，一般利用点差法，也可以利用韦达定理设而不求法来解答，考查计算能力，属于中等题.16、【解析】

，，分类讨论即可.【详解】由已知，，，若，则或解得或，所以不等式的解集为.故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用，涉及到解一元二次不等式，考查学生的计算能力，是一道中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）190（2）见解析（3）可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．【解析】

（1）排序后第10和第11两个数的平均数为中位数；（2）由茎叶图可得列联表；（3）由列联表计算可得结论．【详解】解：（1）．（2）抗倒伏易倒伏矮茎154高茎1016（3）由于，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．【点睛】本题考查茎叶图，考查独立性检验，正确认识茎叶图是解题关键．18、（1）；（2）.【解析】

（1）根据诱导公式和二倍角公式，将已知等式化为角关系式，求出，再由二倍角余弦公式，即可求解；（2）在中，根据面积公式求出长，根据余弦定理求出，由正弦定理求出，即可求出结论.【详解】（1），，；（2）在中，由（1）得，，由余弦定理得，，在中，，.【点睛】本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.19、（1）见解析（2）见解析【解析】

(1)利用导函数的正负确定函数的增减.(2)函数在有两个零点，即方程在区间有两解，令通过二次求导确定函数单调性证明参数范围.【详解】解：（1）证明：因为，当时，，，所以在区间递减；当时，，所以，所以在区间递增；且，所以函数的极小值点为1（2）函数在有两个零点，即方程在区间有两解，令，则令，则，所以在单调递增，又，故存在唯一的，使得，即，所以在单调递减，在区间单调递增，且，又因为，所以，方程关于的方程在有两个零点，由的图象可知，，即.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,确定函数的极值,利用二次求导,零点存在性定理确定参数范围,属于难题.20、（1）存在；详见解析（2）【解析】

（1）利用面面平行的性质定理可得，为上靠近点的三等分点，中点，证明平面平面即得；（2）过作交于，可得两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出长，写出各点坐标，用向量法求二面角．【详解】解：（1）当为上靠近点的三等分点时，满足面.证明如下，取中点，连结.即易得所以面面，即面．（2）过作交于面，两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图，设面法向量，则，即取同理可得面的法向量综上可知锐二面角的余弦值为．【点睛】本题考查立体几何中的存探索性命题，考查用空间向量法求二面角．线面平行问题可通过面面平行解决，一定要掌握：立体几何中线线平行、线面平行、面面平行是相互转化、相互依存的．求空间角一般是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角．21、（1），乙公司影响度高；（2）见解析，【解析】