广州市2023级高一（下）数学期中考试含答案

广州市第六中学2023级高一（下）数学期中考试

单选题（共8小题，每题5分，共40分）

1.若集合卜|--214。},2={x|2'<8,xeN*},则A「8的子集的个数为（）

A.1B.2C.4D.8

2.若ii为虚数单位，复数2满足2（1+»）=|3++|,则z的虚部为（)

A.-iB.-C.--iD.--

2222

3冗、

cos(-—+a)2

3.已矢口一；----------------二一,则tana=()

2sin(万一a)+3cos(-cr)5

22

A.-6B.--C.-D.6

33

4.已知向量a=（2,-1）]=（1,2）,则。+匕在b上的投影向量的坐标为（）

A.(2,1)B.(1,1)C.(1,2)D.(-2,1)

5.已知函数/（》）=bg。"一万‘°<”<1在（0,+oo）上单调递增，则实数。的取值范围是（）

2x2-ax+1,x>l

A.（0,1）B.（1,3]C.（1,1]D.（1,4]

6.已知正四棱台ABC。-A4G2的上、下底面边长分别为1和2,且则该棱台的体积为（）

A.逑B.述c.ZD.Z

2662

7.某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原来的1%,已知在过滤过程

中的污染物的残留数量尸（单位：毫克/升）与过滤时间f（单位：小时）之间的函数关系为：尸=6.e"（人为

正的常数，稣为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%,那么要能够按规定排放废气,

至少还需要过滤（）

A.工小时B.*小时C.5小时D.之小时

292

—x-I-4V,丫<4

8.设函数/（%）=〈—，若关于X的方程/（%）=，有四个实根不，%，%3，%4（玉〈%2V%3V%4），

|log2（x-4）|,x>4

1

则玉+W+2七+g%4的最小值为（）

3133

A.—B.16C.—D.17

22

二.多选题（共3小题，每题6分，共18分，部分选对得部分分，选错不得分）

9.设a,P,7为三个平面，I,m,〃为三条直线，则下列说法不正确的是（）

A.若机ua,11Im,则///a

B.若/上有两点到0的距离相等，贝i"//a

C.a,/3,7两两相交于三条直线/,m,n,若I〃m,则〃/Mt

D.若机ua,nua，mlI（3,〃///7,则a///7

10.对于AABC中，有如下判断，其中正确的判断是（）

A.若〃=9,c=10,A=60。，则符合条件的AABC有两个

B.若acosA=〃cosB,则AABC为等腰三角形

C.若S行c=/sinA,则cosA的最小值为:

D.点P在AABC所在平面且。尸=0'+℃+”———+———）,Ae[0,+oo）,则点P的经过AABC

2|AB|cosB|AC\cosC

的外心

11.如图，在直四棱柱ABCD-A耳GR中，底面ABCD为菱形，ZBAD=60°,AB=AD=AAl=2,尸为CQ

的中点，点。满足DQ=4r>C+〃£）A（2e[0,1],〃e[0,1]）,则下列结论中正确的是（）

A.若％+〃=：,则四面体ABPQ的体积为定值

B.若△ABQ的外心为。，则为定值2

C,若4。=如，则点。的轨迹长度为华

D.若2=1且〃=；,则存在点E使得AE+EQ的最小值为49+2M

三.填空题（共3小题，每题5分，共15分）

12.若指数函数/（无）="（〃>0,。*1）过（2,4）,则“Iog25）=.（将结果化为最简）

13.已知正三棱锥S-MC的所有顶点都在球。的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为

2

2后，则球。的表面积为.

14.已知AABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足。，则sin24=______.

2cosA3cos86cosC

四.解答题(共4小题，共77分，其中15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分)

15.如图，在直三棱柱ABC—A4G中，AB^BC,AB=BC=BBl=2,M,N,P分别为人与，AC,BC

的中点.

(1)判断直线MN与平面BCG用的位置关系，并说明理由；

(2)求三棱锥B-PMN的体积.

BiMA,

16.已知函数/(x)=Asin(0x+e)(其中A>0,G>0,|47|〈生)的图象如图所示.//；

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)若将函数y=f(x)的图象上的所有点向右平移土，再将横坐标伸长到原来的C—〜图

12

象，若函数y=g(x)-左在［0,1万］有零点，求实数改的取值范:围.

6

17.如图，在边长为4的正三角形ABC中，石为AB的中点,。为中点，AF=-AD,^AB=a,AC=b.

3

(1)试用表示向量£F;A

(2)求所-BC的值.

(3)延长线段EF交AC于P,设AP=2AC,求实数2的值./\

BD

3

18.在AABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足acosC+招asinC-6-c=0.

(1)求角A；

(2)若a=6，求AABC周长的最大值;

(3)求吐丝二竺的取值范围.

a

19.已知函数〃力和g(x)的定义域分别为2和2,若对任意飞©2,恰好存在"个不同的实数

再，％-,"3,使得g&)=/®)(其中i=则称g(x)为〃尤)的""重覆盖函数”.

⑴试判断g(x)=N(-24x42)是否为〃x)=l+sinx(xeR)的"2重覆盖函数"？请说明理由；

⑵若g(无"卜+(2：-3"+1'-2"""1为bg,2^+2的"重覆盖函数"，求实数a的取值范围；

(3)函数[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]=1,[2]=2,[-1.2]=-2.若/?(尤)=依-[闵,xe[0,2)为

/(尤)=£，,xe[0,+8)的"2024重覆盖函数”，求出正实数。的取值范围.

4

广州市第六中学高一数学期中考试参考答案及评分标准

题号1234567891011

答案CDDCCBCBABDACDACD

37n

12.513.25%14

10

6.解：如图,延长正四棱台ABCD-A4G2的侧棱交于点尸，设上下底面正方形的中心分别为E，F,

BB]±DD},.•.MPD为等腰直角三角形，又上、下底面正方形的边长分别为1和2,

:.ED=^-,

lFD=PF=y[2,且E为。F的中点,

口口1n^2

/.EF=—F17D=——，

22

该棱台的体积9(12+22+卜2)义¥=乎

故选：B.

7.解：由题意，前5个小时消除了90%的污染物,

P=P。*,(1-90%)^,=,:.0.1=e-5k,即一5左=历0.1,:.k=-hnOA.

lt-InOA„,,I-InOA-InOAt

:P=P.e-^=pe5,则由—P=,即0.01=/,；.-ln0A=ln0.01,得，=10.

°°100005

要能够按规定排放废气，至少还需要过滤10-5=5小时.故选：C.

-A-+4x,x4的图象如图所示，由图可知，+%

8.解：作出函数y(x)=

|log2(x-4)|,x>4

Efe|log2(x-4)|=/(2)=4,

可得彳=国或x=20,故5<%<20,

16

又因为log?%-4)+k>g2(X-4)=0,

所以(%3—4)(*4—4)=1,

-^—+4,

故无3

%4-4

士+4)+/=4+士+如一4)+10

以为+%2+2%3+万Z=4+2(-

=14+—^+%4-4).214+2

i=16

x4-42

5

71

当且仅当^^=上(％-4),即％=6时取等号，

%-42

所以石+%2+2迅+g%4的最小值为16.

故选：B.

9.解：若mua,HIm,则///a或/u&,故A错误；

若/上有两点到。的距离相等，贝l1///a或/ua或/与a相交，故5错误；

a,P,/两两相交于三条直线/,m,n,不妨设。(力=/,尸八7=机，a,]/=n,

若11/m,则////,又lua,a1]/=n,:.lIIn,则〃///故。正确;

若也ua,及ua,mlIB,〃//〃，且相与几相交，则a///7,当相与〃不相交时，不一定有a///7,故。错

'口

陕.

故选：ABD.

10.解：对于A,a=9,c=10,A=600丁csin>1=5若<9<10.,•此三角形有两个解，故A正确;

对于5,由QCOSA=/?COS5,结合正弦定理可化为sinAcosA=sinBcos5,则有sin2A=sin25,

故2A=25或者2A=»-26,即有A=B或者A+B=生，则AABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误;

2

22

对于C，SMBC=asinA=-bcsmA?则有a=—bc?

221

〃一次2bc--bc3

由余弦定理可得,cosA--------=----------勺----------=-

2bc2bc2bc4

当且仅当〃=c时取等号，故。正确;

对于。，设3C的中点为。，由OP=O8+OC+〃_"_+_”_

)

2|AB|cosB|AC|cosC

得SPDP=A(r^+^rl^b

DP-BC=M'Be+)=X(-|BC|+|2C|)=0.

|AB|cosB|AC|cosC

:.DP±BC,即点P在3c的垂直平分线上，则点P的轨迹经过AABC的外心，故D错误.

故选：BCD.

11.解：对于A选项，取£>口，ZX7的三等分点分别为M,N,如图所示,

因为2+〃=；,所以34+3〃=1,

^-DM=-DC,DN=-DD,,则。Q=32DM+3〃£W,所以。eMV.

33i-~

6

因为MN"CD1,CDt//A,B,所以脑V//AB,

所以△ABQ的面积为定值，点P到平面A3。的距离也是定值，故A选项正确.

对于3选项，如图，

若△AB。的外心为。，过点。作于点〃，则〃是的中点.

因为IAtB\=&+2=2A/2,

12

所以AB.AO=4B,（A”+HO）=A8.A”=5AB=4，故3选项错误.

对于c选项，如图，

在平面A片£2中作4K±£2,

显然AK_L平面CG2。，由长度和角度，可得AK=6.

在RfZ\A|KQ中，AQ=6，

所以KQ=g,则点。在以K为圆心，应为半径的圆上运动.

设此圆与2。交于点&，因为必_3=0且K2=1，

所以则点。的轨迹长度是:x^=字.故C选项正确.

对于。选项，若2=1且〃=g,则点。与点尸重合.

把△AA2沿着AB进行翻折，使得A，A,B,P四点共面，

此时AE+EQ有最小值AP（这里和后面的A均为翻折后的点）.

在△4尸8中，4尸=/，PB=^5,&B=2近,

所以尸=A尸:所以NP8A=g，从而/尸班=：万，

在AAPB中，由余弦定理得：

3万AB?+PB。-AP?（府+22-A尸

42AB-PB2XA/5X2

故选：ACD.

13.解：如下图所示,

延长SO交球。于点D,设AABC的外心为点E,

由正弦定理得2AE=*=4,:.AE=2,

sin60°

7

易知SE_L平面ABC,由勾股定理可知，三棱锥S-ABC的高为SE=在曾-■=J（2后-2?=4,

由于点A是以SD为直径的球O上一点，则ZSW=90。,

q.2

由射影定理可知，球O的直径为2R=SO="-=5,

SE

因此，球O的表面积为4"2=M（2尺）2=25万.故答案为：25%.

々刀入…八』abc.A-r.sinAsin3sinC

14.解：AABC中，----=------=------,由正弦定理知------二------=------

2cosA3cos36cosC2cosA3cos36cosC

即工tanA=』tanB二工tanC,设tanA=2左，tan5=3左，tanC=6kJ且左>0,

236

tanA+tanB

由tan(A+B)=

1-tanAtanB

得tanA+tanB=tan(A+B)•(1—tanAtanB)；

在AABC中，tan(A+B)=-tanC,

/.tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC,

可得左=巫，则tanA=巫，

63

又sin2A+cos2A=1,

1

两边都除以cc^A,Wtan2A+l=

cos2A

又tanA>0,A为锐角，解得cosA=双羽，sinA=,

20720

...sin2A=2sinAcosA=

10

故答案为：叫

四.解答题（共4小题）

15.【解答】此题除作辅助线利用平行四边形外，采用建立坐标系依然给分

解：（I）•.•直三棱柱ABC-AqG中，M为劣耳的中点，

所以与1.BtM//AB.....................................................1分

因为尸，N分别BC,AC的中点，

PN//AB,PN=-AB

2

PN//B\M,PN=B{M.............................................................................3分（平行1分，相等1分）

.•.四边形用MNP为平行四边形，二皿//用尸4分

8

又•「MNU平面BXCXCB,与Pu平面BGCB,

故肱V//平面BGCB........................................................................................6分

(II)PN±BC,BP=PN=\,5ABPiV=|xlxl=l............................8分

点M到平面BPN的距离为d=2.............................................................10分

三棱锥3-PMN的体积为:

=^M-BPN

VB—PMH-]XS^BPNx"-g*/X2-g...........................................13分

16.【解答】解：(1)由图可知A=1...................................................................................1分

〃x)=sin(2x+9),/^j=/(x)=sin^+^j=-l...........................................3分

[7i712兀7兀5兀广广.＞77r371兀八

由于一彳＜。＜彳，不＜2+。＜牙，所以丁+e=k，e=w...................................5分

22363623

所以/(x)=sin(2x+T................................................................................................7分

7T

(2)将函数了=/(尤)的图象上的所有点向右平移二，得到

y=sin[2^-^+j=sin[2x+6]..................................................................8分

再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)=sin(x+gj...................................9分

.„771.71兀471,./\＜..

由工£0,—得兀+工£,此时tg(x)£--丁」.....................12分

O0032

所以要使函数y=g(x)-左在0,171有零点，则左C-乌,1...............................15分

_oJ2

17.【解答】解：(1)EF=EA+AF=--AB+-AD=--AB-^-x-(AB+AC)

23232

=--AB+-AB+-AC=--AB+-AC

26636

11,。八

36

(2)因为5C=AC-=。........................................4分

所以砂衣=(」。+为.(6_a)=L2+j_62_j_a.6

36362

=—x42+—x42——x4x4xcos60°=4....................................................................8分

362

9

(3)设"=2AC"e(0,l),

EP=EA+AP=EA+AAC=--AB+AAC=--a+Ab........................................9分

22

由于£F与EP共线，则=.....................................11分

即——d+—b=k(---a+Ab).........................................................................................12分

362

11,

—二—k

即32........................................................14分

—=kA,

16

解得4」.............................................................15分

4

18.【解答】解：(1)acosC+43asinC-b-c=0,由正弦定理得，

sinAcosC+y/3sinAsinC-sinB-sinC=0.........................................................1分

因为sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

所以sinAcosC+6sinAsinC—sinAcosC—cosAsinC—sinC=0,

即百sinAsinC—cosAsinC—sinC=0,

因为。£（0,%），所以sinCwO,故石sinA—cosA=l.............................................2分

所以sin（A一令=g............................................................................................................3分

因为Ae（0"）,所以A-ee（-生,亚），

666

故A-*=工，解得4=2..............................................................................................4分

663

（2）（此题还可采用正弦定理，也可得分）

由（1）知4=生，

3

又。=百，由余弦定理得cosA="+c?一优=S+°)-一&c-cr,

2bc2bc

1(b+c)2-2bc-3

即Rt1——二------------------

22bc

所以(/?+c)2—3=3bc........................................................................................................6分

由基本不等式可知be<

10

所以0+C)2—3〈；3+C)2,解得6+CW2会...........................8分

当且仅当6=c=退时，等号成立，

故NABC的周长最大值为3百............................................10分

(3)由(1)知4=工,

3

71.•厂•4•«sinBsinC------(sinB+sinC)

r-1,,be—ab-acsinBsinC—sinAsinn—sinAsinCo.,八

贝----------=------------------------------=------------4.............................................11分

/sin2A3

4

=：sin5sinC-2f(sin5+sinC)=gsin(-1-+C)sinC-~~~[sin(y+C)+sinC]

4小-1.i「2⑸6人1.”.…

=—(-^-cosC+—sinC)sinC----(-^-cosC+—sine+sinC)

1

=22f3sinQcosc+2sir1c-cosC-6sinC............................................................................12分

33

=^-sin2C+-~0°s2c-cosC-sinC

33

271171

=——cos(2C+-)+——2sin(C+-)

3336

2o7T171

=一一[1-2s历2(C+—)]+——2sin(C+-)

3636

=-sin2(C+-)-2sin(C+-.................................................................................................13分

3663

因为红)，所以)

Ce(0,C+^e3,2,r=sin(C+-)e(-,l]............................................14分

366662

be—ab—ac42c14/3、213

则2-2t——=-(t——)-----,

a233412

故当得时，一£取得最小值，最小值为噂

........................................................15分

当『=］时，上”二竺取得最大值，最大值为t................................................................16分

a

故土W二竺的取值范围是..........................................17分

a12

19.【解答】(1