函数与导数解答题特训-2024高考数学总复习压轴题（解析版）

专题13函数与导数解答题特训(5年高考+3年模拟)

―最新模拟精练

1.(2024•广东广州•一模)已知函数/'(x)=cosx+尤sinx,xe(-7i,兀).

(1)求/(尤)的单调区间和极小值；

(2)证明：当xe[0,兀)时，2/(x)<e'+e-\

【答案】⑴递增区间为(-私-]),(0,$,递减区间为(-宗0),《㈤，极小值为1;

⑵证明见解析.

【分析】

(1)求出函数f(x)的导数，利用导数求出单调区间及极值.

(2)根据给定条件，构造函数，利用导数结合基本不等式推理即得.

【详解】(1)函数/(%)=cos%+xsinx,xe(-7i,7i),求导得了'(%)=-sinx+sin%+xcosx=xcosx,

jrjr

当一兀<%<-5时，/(x)>0"(%)单调递增；当一5<%<。时，/(%)<o,/(x)单调递减；

当0<%苦时，/(x)>0,/(x)单调递增；当£<%<兀时，/(x)<0,/(x)单调递减,

所以/(X)的递增区间为(-兀,-5，(0弓)；递减区间为(-，0),(，兀)，”X)的极小值为"0)=1.

(2)当xe[0,兀)时，令F⑶=e*+―-2(cosx+xsinx),

求导得F'(x)=ex-e~x-2.xcosx>ex-e*A-2x,

xxxxx

令0(x)=e-e--2x,求导得"(x)=e+e^-2>2-Je-e--2=0，

函数以尤)在[0,兀)上单调递增，则0(x)之0(0)=0,尸(x)20,/。)在[0㈤上单调递增，

因此尸⑺。尸(0)=。所以"(x)«e'+eT.

2.(2024•河南•一模)已知函数”无)=勿11%一元2+。(4€卬.

⑴求函数的单调区间；

⑵若/(X)有两个零点，求实数。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)["

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【分析】

（1）首先求函数的导数，再分和。>0两种情况讨论函数的单调性;

（2）首先根据（1）的结果可知。>0且/（x）V,再结合零点存在性定理，即可证明.

【详解】⑴根据条件贝！J/'（x）=g-2x（x>0）

X

当aVO时，尸（“<。在定义域（0,+动内恒成立，因此/（X）在（0,+时递减;

当°>0时，由掰^）>0,解得0<x<字；/'（“<0,解得x>与

因此：当aVO时，〃x）的单调减区间为（0,+8）,无增区间；

〃>0时，的单调减区间为］字,+8）增区间为［。,呼J；

注：区间端点苫=叵处可以是闭的

2

（2）若“X）有两个零点，有（1）可知。>0且/（尤）《/［容）

则必有/警=aln容一［浮+。>0

/7?

BPln-+l>0,解得

2e

又因/（J=--T<°，/（4〃）=<2In4a-16a2+a=Q（ln4Q-16a+l）

（8、1i-4r

即g（。=ln^-4r+ll［=4q〉一Jngr（t）=--4=----,

当,J|,+j时，g‘⑺<0恒成立，即g⑺在（|,+：|单调递减，

（QAQ3232

可得_=ln-----+I=ln8——<0,

eee

也即得g（r）<0在，e［g，+co：恒成立，

从而可得〃x）在,'於,4。区间上各有一个零点，

综上所述，若/（无）有两个零点实数a的范围为（I，+8）

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3.(23-24高二下•重庆•阶段练习)已知函数了(幻=三+(。-2)/+(1-2。》+1(。€1i).

(I)若曲线y=〃尤)在(2,7(2))处的切线斜率为-1,求函数/(X)的单调递减区间；

⑵若函数f(x)在(0,+8)内有且仅有一个极值点且对于任意x>0均有/(X)20,求。的取值范围.

【答案】⑴(l，g);

(2)：W。W1

【分析】

(1)利用导数的几何意义求出“，再利用导数求出函数的单调减区间.

(2)由(1)的信息求出函数的极值点，结合已知可得再求出极小值即可得解.

【详解】(1)函数/(%)=兀'+(〃-2)/+(1-2〃)x+l的定义域为R,求导得广(%)=3%2+2(。一2)%+(1-2。),

由曲线>=/(%)在(2"(2))处的切线斜率为—1,得1(2)=5+2Q=—1,解得々=—3,

f\x)=3x2-10x+7=(3x-7)(x-1),由/''(尤)<0,解得

7

所以函数“%)的单调递减区间是(lq).

(2)由(1)得，/z(x)=(3x+2^-l)(x-l),由广(乃=。，得冗=1-£9^/71或％=1,

显然V1-2/7,1是函数/W的变号零点，即石1-9也/7」是函数八%)的极值点，

由函数"X)在(0,+◎内有且仅有一个极值点，得上色4。，解得a2；；

当0<x<l时，f'(x)<0,Ax)单调递减，当x>l时，八x)>0,了⑴单调递增，

因此函数"X)在(0,+8)上有最小值/(1)=1-。，由对于任意x>0均有/(x)NO,得/(1)20,

即解得aVI,于是:WaWl,

所以。的取值范围是;WaWl

4.(2024•安徽合肥•一模)已知函数当x=l时，"力有极大值?

(1)求实数a，b的值；

(2)当x>0时，证明：

1+X

【答案】(l)a=l力=0

⑵证明见解析

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【分析】

(1)根据题中条件列出方程组，解出验证即可；

(2)变形不等式，构造函数利用函数单调性证明即可.

【详解】⑴函数"X)的定义域为(F,+"),且广(X)—：*

因为x=l时，“X)有极大值；，

所以I'e,解得a=l,6=0,

广⑴=。

经检验，当。=1*=。时，〃X)在x=l时有极大值：，

所以〃=1,〃=0；

(2)由(1)知，/(x)=4>

当x>0时，要证〃x)<4，即证5<白，即证：e>x+i.

设g(x)=e"—元一1,贝ljg[x)=e*-l,

因为x>0,所以g，(x)=e"-l>0,

所以g(x)在(0,+动上单调递增，

所以g(x)>g(O)=O,即e*-x-1>0,即e，>龙+1,

故当x>0时，/(x)<-^.

1+X

2

5.(23-24高三下•内蒙古赤峰•开学考试)已知函数〃x)=lnx+(-q.

(1)若a=l,求曲线y=在。"(功处的切线方程；

⑵若天«0,+8),/(力之0恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1"+>-2=0

(2)«<ln2+l

【分析】

(1)求导，再根据导数的几何意义即可得解；

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(2)xe(O,+8),〃x丝O恒成立，即%«0,+8),"耳120,利用导数求出函数〃x)的最小值即可.

【详解】(Q若“=1,则〃x)=lnx+：-L,=故〃1)="⑴=T,

所以曲线y=/(x)在(1,〃1))处的切线方程为丫-1=一(》一1),即尤+y-2=0；

(2)x«0,+8),/(x)N0恒成立,即xw(O,+凿)J(x)1rfli20,

又尸(x)=「/?(x>2),

当0<x<2时，/r(x)<0,当x>2时，/1x)>0,

所以函数/'(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+力)上单调递增，

所以〃x)m1n=〃2)=ln2+l--

所以ln2+l—所以a41n2+L

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造

的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放

缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

6.(2024・四川成都•二模)己知函数/(x)=(x+a)lnx的导函数为尸(x).

(1)当“=1时，求尸(x)的最小值；

⑵若/(X)存在两个极值点，求。的取值范围.

【答案】(1)2

(2)(0,e-2)

【分析】

(1)求导判断函数的单调性即可求解，

(2)求导，分类讨论导函数的正负，结合零点存在性定理即可求解.

【详解】(1)

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当a=l时，/(x)=(x+l)lnx,XG(0,+OO),/z(x)=lnx+-+l,

令函数W=lnX+'+l,XG(0,H-OO),则有/(%)='--y=

XXXX

当X£(O,1)时，M犬)为减函数；当％£(l,+co)时，/ir(x)>0,力⑺为增函数,

所以以也向=川1)=2,即以G)的最小值为2；

因为x«0,+oo),W/r(x)=lnx+—+1,

令g(x)=7'(x)，有g'(x)=L一3=上；，

XXX

①当aWO时，因为x-a>0,所以g'(x)>0,即r(x)在(0,+力上为增函数，

所以至多存在一个修«0,”)，使得:(同=0,故〃x)不存在两个极值点，

②当a>0时，解g,x)=O,得x=。，

故当xe(O,a)时,g/(x)<0,1(无)为减函数，当时x«a,+°o),g'(x)>0,

/'(X)为增函数，所以r(x)1rfti=7'(a)=lna+2,

(回).当lna+220,即心e.时，f'(x)>f\x)^n>Q,〃x)在(0,+少)上为增函数,

故不存在极值点，

(回).当lna+2v0,即Ovave"时，

2/2>299

又因为—所以/‘二二山式"*---Fl=21n«—ln2dFl,

21212aa

又由第(1)问知lnx+」+lN2,故21na+2》2,所以尸23-ln2>0,

xaI2J

又因为1>。，又/")=a+l>0,

所在为%«a，l)使得((x)=。，

且〃x)在(0,为)，(孙+oo)上为增函数，在(%,超)上为减函数，

所以不，巧分别是丫="%)的极大值点和极小值点，

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综上所述，。的取值范围为(OW).

【点睛】方法点睛：

1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问

题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)

值问题处理.

2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论

和数形结合思想的应用.

3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这

种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

7.(23-24高三下•江苏苏州•阶段练习)已知函数g(x)=x3+/+6xg,beR)有极值，与函数〃x)=(x+a)e”

的极值点相同，其中e是自然对数的底数.

⑴直接写出当。=1时，函数“X)在x=l处的切线方程；

(2)通过计算用a表示b；

7

⑶当a>0时，若函数*尤)=〃%)—g⑺的最小值为"(a),证明：

［答案］(l)y=3ex_e

(2)Z?=-a2-4a-3,("一万］

⑶证明过程见解析

【分析】⑴将a=1代入解析式得/(x)=(X+1广，求导得尸(x)=(x+2)e*,分别求得"1)=2e和(⑴=3e,

利用点斜式求得切线的方程；

(2)推导出了'(x)=(x+a+l)e3令八尤)=0,得x=—a—1,求出g'(x)=3d+2办+b,从而可得，(一。-1)=0,

由此即可求解；

(3)尸(x)=/(x)_g(尤)=(x+a)e*—(A3+依2+6尤)，求得

尸'(x)=(尤)一g'(尤)=(x+a+l)e*—(3f+2依+匕)=(尤+°+1乂1—3x+a+3),令力(x)=e"—3x+a+3,则

//(x)=e*-3,令〃(x)=0,得到x=ln3,Zz(ln3)=6-31n3+c为〃(x)最小值，推导出厂(一。一1)为尸(x)的最

小值，从而证得结果.

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【详解】(1)当a=l时，/(x)=(x+l)e\/,(x)=(x+2)e\

从而〃l)=2e,/")=3e,

所以函数〃x)在x=l处的切线方程为y=3ex-e；

(2)因为无)=(x+a+l)e",令尸(x)=0,得x=-a-l,

当一时,r(x)＜o,/(X)单调递减,

当彳＞一4一1时，/^X)＞0,/(无)单调递增，

故彳=-4-1是函数〃尤)的极小值点；

又因为g,mhBx2+2ax+b,

所以g'(-a-1)=3(a+1)~—2a(a+1)+6,

整理得6=-4-4a-3,

又当6=—a2—4a—3时，g'(x)=3x2+2ax-(a+l)(a+3)=(x+a+l)(3x-a-3),

若要使得函数g(x)=x3+ax2+bx(a,beR)有极值，

则还需一a—lw等，即aw—T，

_

综上所述，b=—a2-4a—3_j；

(3)因为尸(%)=/(%)—g(x)=(x+a)e"—(%3+av2+区)，且由(？)可知且，(%)=(%+〃+1)(3无一〃一3),

所以尸(%)=/'(%)-g'(x)=(%+Q+l)e，一(X+〃+1)(3%—〃一3)=(%+〃+D(e*-3x+a+3),

令力(x)=e"—3无+a+3,则/(％)=e"-3,

令〃(x)=0,得到尤=ln3,

当尤＜ln3时，”(x)v。,网%)单调递减,

当力＞如3时,人(力单调递增，

所以〃(力.=介(1113)=1一3九+〃+3=3(2—1113)+々＞〃＞0,

所以

从而令尸'(犬)=0,得X=-〃一1,

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当-1时，F,(x)<0,〃尤)单调递减，

当彳>一。一1时，F(x)>0,/(无)单调递增，

a-12

所以A/(°)=尸(x)1nhi=F(-a-l)=一片°7—[(-a—I]+a(—。-+6(-q—1)]=-e--(a+l)(o+2),

令/'=—<2—1,贝Ur<—1,记〃z(f)=—e'一»(1—r),r<—1,

贝！]7”(f)――e'+3/—2t,t<—1,

因为<-ef<0,3产一2/>5,

所以加⑺>0,祖(/)单调递增，

177

所以机=gpM(a)<--.

8.(2024■福建漳州■一模)已知函数〃x)=alnx-x+a,aeR且a#0.

⑴证明：曲线y=〃龙)在点。，/⑴)处的切线方程过坐标原点.

⑵讨论函数〃x)的单调性.

【答案】⑴证明见解析

(2)答案见解析

【分析】

(1)先利用导数的几何意义求得f(无)在(1,/。))处的切线方程，从而得证；

(2)分类讨论aWO与a>0,利用导数与函数的单调性即可得解.

【详解】(1)因为/(x)=aln尤一无+a(x>0),所以f(x)=@-1=生，

贝i]/(l)=alnl_l+a=〃_l,f(I)=a-l,

所以f(x)在(I"⑴)处的切线方程为:y-3-l)=(a-l)(x-l),

当％=0时，y-(a-l)=(«-1)(0-1)=-(6/-1),故y=0,

所以曲线>=/(尤)在点(L〃1))处切线的方程过坐标原点.

(2)由(1)得/(尤)=@一1=匕，

XX

当〃W0时，a-x<Q,则/故“%)单调递减；

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当〃>0时，令—食)=。贝!)X=〃，

当0<x<〃时，//(x)>0,/(%)单调递增；

当时，f(x)<0,〃犬)单调递减；

综上：当时，/(九)在(。,+00)上单调递减；

当a>0时，/(%)在(0,。)上单调递增，在3收)上单调递减.

3

9.(2024・安徽黄山•一模)已知函数〃元)=y2-4办+”21nx在尤=1处取得极大值.

(1)求。的值；

(2)求“X)在区间1,e上的最大值.

【答案】⑴3

【分析】

(1)求导，然后令ra)=o求出x,代入》=1验证是否符合题意即可；

(2)求导，确定函数在区间-,e上的单调性，进而可求最大值.

e_

【详解】(1)由已知［(x)=3x-4a+且=3/-4"+/=(3x-a)(X-a)

XXX

令r(x)=o得』或了=与，

当“=1时，令/(x)>0得0c或x>l,令r(x)<0得g<x<l,

故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

此时函数/'(X)在x=；处取极大值，在X=1处取极小值，与函数/(X)在X=1处取得极大值不符;

当■|=1,即“=3时，令r(x)>。得。<彳<1或》>3,令/'(x)<0得l<x<3,

故函数”X)在(-8,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增，

此时函数“X)在X=1处取极大值，在x=3处取极小值，符合题意；

所以4=3;

(2)由(1)得/'(司二^/—管工+叼皿，尸(元)=3(.DU3),”1,e

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令/'(x)>0,得:<x<l,函数单调递增，

令/'(x)<0,得l<x<e,函数/(x)单调递减，

371

所以八同皿*=41)=5-12一万・

10.(23-24高三下•陕西安康•阶段练习)记函数”力的导函数为数为),尸(X)的导函数为尸(X),设。是

外”的定义域的子集，若在区间。上尸(x)40,则称〃尤)在。上是"凸函数".已知函数〃x)=asinxr2.

(1)若〃x)在0,|上为"凸函数〃，求”的取值范围；

⑵若a=2,判断g(x)=〃x)+l在区间(0,兀)上的零点个数.

【答案】(1)［一2,内)

(2)1个

【分析】

7T

(1)根据"凸函数"定义对函数求导，由不等式-asinx-24。在0,万恒成立即可求得。的取值范围；

(2)易知g(x)=2sinx-/+l,由导函数求得其在(0,兀)上的单调性，利用零点存在定理可知零点个数为1

个.

【详解】(1)由〃x)=asinx—/可得其定义域为R,且尸(x)=acosx—2尤，

所以/'"(%)=-asinx-2,

若〃x)在0段上为"凸函数"可得/(x)=-asinx-2W0在0,1恒成立，

当。20时，显然符合题意；

7T

当时，需满足一asin,—2W0,可得一2Wa<0；

综上可得a的取值范围为［-2,+8)；

(2)若〃=2,可得g(x)=2sinx—九2+1,所以短(九)=2cosx—2%,

令/I(X)=2COSJV-2X,则//(九)=-2sinx-2；

易知"(X)=-2sinX-2Vo在区间(0,兀)上恒成立，

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因此可得人（九）=g'（%）=2cos2%在（0,兀）上单调递减；

显然gH=2cos£-2x£=若一4>。，gd=2cos：_2x：=V^_]<0；

根据零点存在定理可得存在x。e"使得g'（x0）=2cosx0-2x0=0,

因此可知当Xu®,%）时,g,（x）>0,即g（x）在（0,与）上为单调递增；

当无€伉,兀）时,g[x）<0,即g（尤）在（七,兀）上为单调递减；

Xg（0）=2sin0-02+l=l,显然在（O,x。）上g（x）不存在零点；

而g（兀）=2sin兀-兀2+1=1-7?<0,结合单调性可得在小,兀）上g⑺存在一个零点；

综上可知，g（x）=〃尤）+1在区间（0㈤上仅有1个零点.

11.（23-24高三下•江苏南通・开学考试）已知函数/（x）=alnxr+l,其中aeR.

⑴若曲线y=/（x）在x=i处的切线在两坐标轴上的截距相等，求。；

（2）求函数“X）的单调区间.

【答案】⑴1

（2）答案见解析

【分析】

（1）借助导数的几何意义及截距的定义计算即可得；

（2）借助导数分类讨论即可得.

【详解】（1）贝=/（l）=«lnl-l+l=0,

X1

故曲线y=〃x）在X=1处的切线为y-o=（aT）（尤一1），

即y=（a-l）x-（a-1）,

当awl时，令x=0,有y=—（a—l）,

令y=。，有%=1,故一（。-1）=1,即a=0,

此时〃无）=-%+1,无切线，故不符合要求，故舍去；

当a=l时，此时切线为>=。，符合要求，故a=l

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/、「，(、Q—x+a八

(2)f(x)=1=--------,x>0,

XX

则当aWO时，/(x)=E^V0在(O,+s)上恒成立，

故〃尤)在(0,+动上单调递减；

当a>0时，令尸(x)=0,贝［|x=a,

当xe(0,4)时，制x)>0,当xe(a,+co)时，/,(x)<0,

故〃尤)在(0,“)上单调递增，在(a,内)上单调递减；

综上所述，当aWO时，〃尤)在(0,+8)上单调递减，

当a>0时，/(尤)在(O,a)上单调递增，在(a,内)上单调递减.

12.(2024•重庆・模拟预测)已知函数f(x)=a(x+a)-Inx(aeR)

(1)讨论函数的单调性；

(2)证明：当a>0时，/(x)>31nfl+2

【答案】⑴答案见解析

(2)证明见解析

【分析】

(1)根据题意，求导可得尸(x),然后分与。>0讨论，即可得到结果；

(2)根据题意，由(1)可得的最小值为了(1,构造函数g(x)=f-21nx-l(x>0),转化为乳龙)的

最小值大于等于零，即可证明.

【详解】(1)

依题意x>。，/'(尤)=〃，

当a«0时，/'(九)<0,

当a>0时，由/«x)>0得无>：,由/'(x)<0得0<x<：,

即当a40时函数在(。,+8)是减函数；

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当a>0时在(。,£|是减函数，〃x)在，+，|是减函数；

(2)

由(1)知当。>0时，的最小值为=1+/+lna,

1+a?+Inci—(3Ina+2)=—2Ina—1,

设g(x)=X2-21nx-l(x>0),

贝Ug(x)=2x——=----------,

XX

回函数g(x)在(0,1)是减函数，在。,+°°)是减函数，

即g(x)的最小值为g⑴=f—21nl—1=0,即g(x)Ng(l)=0,

0g(a)>O,即的最小值/[£|=l+a2+lna231na+2,

E/(x)>31na+2.

13.(2024高三•全国•专题练习)已知°>0,函数“x)=ox-xe，证明〃x)存在唯一的极值点.

【答案】证明见解析

【分析】

求导，构造函数g(x)=(x+l)e"判断函数的单调性，结合函数单调性作出函数图象，即可判断求解了(盼的

单调性，进而可求.

【详解】

令/'(x)=a-(尤+l)e*=0,贝ija=(x+l)e*,

令g(x)=(x+l)e，,则g'(x)=(x+2)e*,

当xe(-oo,-2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当xe(-2,+oo)时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

当x--8时，g(x)<0,g(-l)=0,当x-+8时，g(x)>0,

画出g(x)大致图像如下：

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所以当。>0时，y=a与y=g(x)仅有一个交点，令g(力2)=。，贝S.fXrn)=a-g(m)=0,

当xe(—o,附时，a>g(x),则/'(x)>0,单调递增，

当无«机,+功时，a<g(x),则/'(x)<0,单调递减，

x=m为/(%)的极大值点,故f(x)存在唯一的极值点；

14.(23-24高三下•上海•开学考试)已知函数

⑴讨论函数〃尤)的单调性和极值；

⑵记曲线c：y=〃x)在x=0处的切线为/,求证：/与C有且仅有1个公共点.

【答案】①答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)利用函数单调性、极值与导数的关系进行求解即可；

(2)根据导数的几何意义，结合导数的性质进行运算证明即可.

【详解】(1)因为〃尤)=^^,则尸⑺」-1,

ee

4/^)>0,得令/'(x)<0,得或X>竽；

则“X)在［匕*，上卓］上单调递增，在匕卢］，［上?，+］上单调递减.

I22JI27I27

从而“X)的极小值、极大值分别为

第15页共47页

由⑴可知/'(0)=1,〃0)=0,所以曲线c：y=/(x)在x=0处的切线的方程为：y=x；

2

令〃x)=x,即X+X=X,得x=0或x+l=e",

ex

当尤=0时，y=0,此时，/与C有公共点(0,0),

当时x+l=e*，设g(x)=e'-xT=/(x)=e*-l,

当x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

当x>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以g(x)n>in=g(°)=°，

EPg(%)=eA-x-l>0^er>x+l,当且仅当x=0时取等号，

所以由尤+l=yox=0,即y=o,此时/与C有公共点，

综上所述：/与C有唯一公共点.

15.(2024高三・全国・专题练习)已知二次函数/(耳=炉-2(0-1卜+4

⑴若了⑺为偶函数，求/⑺在[T,2]上的值域；

(2)当xe[l,2]时，/(*)>办恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)[4,20]

(2)a<2

【分析】(1)利用偶函数的定义求出。，再利用二次函数求出值域即可得;

(2)变形给定不等式，分离参数构造函数，求出函数最小值即可得解.

【详解】(1)

函数〃无)定义域为R，由人龙)是偶函数，得+〃尤)=0,

即(--2(a-1)(-x)+4--2(a-l)x+4]=0,

整理得4(a-l)x=0,而x不恒为0,

因此a=l,函数/(尤)=V+4,

当尤e[-4,2]时，/(x)在(T,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，

于是AM疝n=〃°)=4,又/1)=20，42)=8,则y(x)1mx=20，

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所以Ax)在［T2］上的值域是［4,20］；

(2)

不等式>QOx?-2(。一1卜+4>ox<=>3ox<x?+2x+4,

依题意，Vxe［l,2］,3a<x+-+2,而对勾函数y=x+4在(1,2)上单调递减，

XX

当x=2时，/。=4,

即当x=2时，|x+—+2|=6,则3“<6,解得a<2,

I%Jmin

所以实数。的取值范围是。<2.

16.(2024•江苏南通•二模)设函数/(x)=sin(0x+e)(0>O,O<e<7r).已知〃无)的图象的两条相邻对称轴间

的距离为，且

(1)若〃尤)在区间(0,m)上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；

⑵设/为曲线y=/Q)在x=处的切线，证明：/与曲线y=/(x)有唯一的公共点.

O

【答案］⑴五<,工五

⑵证明见解析

【分析】

(1)根据周期以及/(1)=-g可求解/(x)=sin(2x+3,进而根据整体法即可求解，

(2)求导，根据点斜式求解切线方程，进而构造函数8(*)=2,+0-而12天+。，利用导数判断函数的

单调性，即可求解.

【详解】(1)由题意可得周期T=@=2xg,故。=2,

CD2

,,无、.(无)11

/(--)=sin--+(5l=-cos^=--=>cos(5=-,

由于°€(0,兀)，故e=g,

故〃x)=sin(2x+|J,

当xe(O,m)时，2x+］e［5,2m+1^,

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由于〃尤)在区间(。,加)上有最大值无最小值，故5＜2加+々4¥，解得已＜加4号,

71/7兀

故一<m<——

1212

(2)/(x)=2cosf2x+y

故直线/方程为＞=21+巳

令g(x)=21x+^]-sin[2x+1J,则g,(x)=2-2cos^2x+-|j>0,

故g(x)在定义域内单调递增，又g,E[=°，

因此g(x)有唯一的的零点

故/与曲线y=/(x)有唯一的交点，得证.

17.(2024•内蒙古呼和浩特•一模)已知函数/(x)=(x-2)e*-x2+2x+3

(1)求函数〃x)的单调区间；

⑵令g(x)=/'(x)，求g(x)在X=ln2处的切线/的方程，并证明g(x)的图象在直线/的上方.

【答案】①增区间是(-通比2)和(1,+8)1⑺的减区间是(ln2,l)

(2)y=(21n2-2)(x-ln2),证明见解析

【分析】

(1)对函数f(x)求导并根据导函数符号可得其单调区间；

(2)利用导函数的几何意义可求得切线/的方程，构造函数Mx)=g(x)-(21n2—2)(x—ln2),求出其最值可

证明人(力20恒成立即可得出结论.

【详解】(1)

“X)的定义域为R,

则/'(尤)=(无一1"工―2x+2=(x—l乂e*—2),xeR

当无＞1或x＜ln2时，((司＞04(力在(1,包)上单调递增；

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当In2c<1时，r(x)<O,/(x)在(ln2,l)上单调递减；

所以〃尤)的增区间是(—Un2)和(l,+8)J(x)的减区间是(ln2,l).

(2)

由(1)知g(x)=F'(x)=(xT)(e"-2),xeR,

则§'(x)=xe*-2,xeR,

又g'(ln2)=ln2eln2-2=21n2-2,g(ln2)=(ln2-l)(eln2-2)=0,

所以g(x)在x=ln2处的切线方程/为y=(21n2-2)(x-ln2)

令=g(x)-(21n2_2)(x-ln2)=(x_f)(e*_2)_(21n2_2)(x-ln2),xeR,

则〃'(x)=xex—21n2,xeR,

令〃(zx)=h'(x)=%er-21n2,xeR,可得加(x)=(x+1)e*,xeR

当x>-l时，加(x)>O,/z'(x)在(T+oo)上单调递增；

当x<-1时，加在(Y°,-1)上单调递减；

所以当x=-l时，力'(力取得最小值“⑴=—T-21n2<0,

当x趋近于-8时，/(x)趋近于0,又/l)=e—21nZAOM'OZblnZeSZ—ZlnZuO；

故当x>ln2时，〃'(》)>。,/2(%)在(1112,+00)上单调递增；

当x<ln2时，"(尤)<0,〃(x)在(-jln2)上单调递减；

因此当x=ln2时,囚x)取得最小值/z(ln2)=0,

即h(x)>/?(ln2)=。恒成立，所以g(x)“21n2-2)(x-ln2)恒成立

所以g(x)的图象在直线/的上方.

18.(2024•浙江金华•模拟预测)已知函数〃x)=(cosx-l)e-1

⑴求函数在x=0处的切线方程；

(2)当xe(O,兀)时,求函数的最小值.

【答案】(i)y=o

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【分析】

(1)由导数的几何意义得出切线方程；

(2)对函数求导，用导数方法判断函数在(0,兀)上的单调性，即可得出结果.

【详解】(1)由〃x)=(cosx—1)。

得r⑴=(一sinx)e「(：osx-l)e'-sinx-cosx+1

(1)2

所以〃0)=0,尸(0)=0,

函数/(X)在x=o处的切线方程y=o

当0<丁<二时，—<x+—<~,则-04-夜sin[x+工]<一1,

2444I4)

所以y=-sinx-cosx+l=-V5sin[x+：j+l<0,所以/

所以〃x)在0个单调递减；

当工<尤<兀时，—<x+—<—,贝lj-l<0sin(x+巴]41,

2444V4J

止匕时y=-sinx-cosx+l=-0sin[x+：)+l>O,

所以〃尤)在看冗单调递增，

所以当x=]时，函数f(x)取得最小值；

所以当x«0㈤时，函数“X)的最小值为/[J=-e^

19.(2024・四川成都・二模)记5“(元)=尤+尤2+/++X"-2(XWR,〃CN*).

⑴当x=2时，、(2)为数列｛见｝的前〃项和，求｛4｝的通项公式;

⑵记当期(%)是S2024(x)的导函数，求S£(2).

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▼由冷、..[0,n=l,

【答案】⑴凡

[2,n>l.

⑵％24⑵=2023x22024+1

【分析】

[5,,n=1

(1)由S”与。”的关系凡={、。求解即可.

IS"-5"T，〃N2

(2)先求导，再根据错位相减求解即可.

【详解】(1)当”=1时，0(=5](2)=0.

2zn

当“22时，a„=S„(2)-S„_1(2)=(2+2+2"-2)-(2+2+2"-'-2)=2.

又当〃=1时，1=0不满足上式，

所以"[0,，，心n=l

(2)$2024(x)=X+X?+x，++x~°~4-2,

22023

.­.S^24(X)=1+2X+3X++2O24%.

S；必⑵=1+2x2+3x22++2O24X22023①

2S；o24(2)=2+2x2?+3x23+-+2O24x22024@

220232024

①-②得，-S；024(2)=1+1X2+1X2++1X2-2024X2

i_Q2024

=—-----2024x22024=-2023x22024-1.

1-2

2024

.•.S^024(2)=2023X2+1.

20.(23-24高三下•四川雅安•开学考试)已知函数f(x)=x(lnx—a)+lnx+a.

(1)若a=l,当x>l时，证明：/(x)>0.

(2)若。<2,证明:〃尤)恰有一个零点.

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

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【分析】

(1)根据题意，求导可得用勾>0,即可得到“X)在。,内)上单调递增，再由〃x)>〃l)=O,即可证

明；

(2)根据题意，构造函数g(x)=lnAa+—+/,求导可得g'(x)>0,即g(x)在(0,+s)上单调递增，再

结合g(l)=O,即可证明.

【详解】(1)

证明：因为4=1,所以/'(x)=xlnx-x+lnx+l,f'[x)=\nx+—.

当x>l时，制x)>0,则〃x)在。,包)上单调递增，

所以当x>l时，，(龙)>/(1)=0.

(2)

1Inxa

/(x)=x(inx-a)+\nx+a=xInx-ciH-----1—

xx

令g(x)=ln%_Q+^^+@,贝|g1%)」十1—Inxax+l-\nx-a

ix—A

令/?(无)=x+l-lnx-17,贝！|〃(尤)=]——=---.

当xe(O,l)时，〃(x)<0,从尤)在(0,1)上单调递减，当x«l,+8)时,〃⑺>0,无⑺在(1,+8)上单调递增,

所以/?(x)2/z(l)=2-a>0,所以g'(x)=x

则g(x)在(0,+8)上单调递增.

因为g(l)=o,所以g(x)恰有一个零点，则f(元)恰有一个零点.

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真题实战演练

1.(2022•全国•高考真题)已知函数

(1)当。=1时，讨论了(X)的单调性；

(2)当x>0时，J(x)<-1,求。的取值范围；

111,,八

(3)设〃eN",证明：「+/,++/,>ln(w+l).

V1+1V22+2-Jn2+n

【答案】⑴的减区间为(F,0),增区间为(0,y).

⑵*

⑶见解析

【分析】(1)求出尸(力，讨论其符号后可得f(x)的单调性.

(2)设Mx)=xem-ex+l,求出先讨论a>g时题设中的不等式不成立，再就0<a«g结合放缩法

讨论”⑺符号，最后就aW0结合放缩法讨论网%)的范围后可得参数的取值范围.

(3)由(2)可得21nf<一；对任意的"1恒成立，从而可得ln(〃+l)-ln1

n</2一对任意的HGN*恒成立,

7n+n

结合裂项相消法可证题设中的不等式.

【详解】(1)当a=l时，/(x)=(x-l)e\贝1」1(力=胧，,

当％<0时，yr(x)<o,当％>o时，

故〃力的减区间为(-8,0)，增区间为(0,+。).

(2)设/z(x)=xe依一e*+l,则,(0)=0,

又“(%)=(1+依)产—e",设g(x)=(l+ax)e以—e*,

则短(%)=(2〃+〃2X)产一/,

若*,贝/(0)=2。-1>0,

因为g'(x)为连续不间断函数，

故存在飞e(0,+°o),使得Vxe(O,%),总有g'(x)>0,

第23页共47页

故g(x)在(0,%)为增函数,故g(x)>g(o)=o,

故无(x)在(0,飞)为增函数,故/i(x)>M0)=。，与题设矛盾•

若0<a4；,贝I"/(x)=(1+依)——/=U"。+狗一

下证：对任意x>0,总有ln(l+x)<x成立,

证明：设S(x)=ln(l+x)—x,故S'(x)=^----1=-——<0,

故S(x)在(0,+功上为减函数,故s(x)<s(o)=o即ln(l+x)<x成立.

由上述不等式有em+，n(l+ar)-ex<eai+ar-ex=e2av-e*<0，

故h'(x)<。总成立，即力⑴在(0,+s)上为减函数，

所以/z(x)<M0)=0.

当aVO时，有//(x)=e"、一e"+6zxe"‘<1—1+0=0,

所以/z(x)在(0,+oo)上为减函数，所以<〃(0)=0.

综上，a~^,'

(3)取。=g，则Vx>。，总有xe3_e,+l<0成立，

令/则》>1，/=e=x=21nr,

故2rhn<〃_i即2int<r-；对任意的r>i恒成立.

所以对任意的"cN*,有21%尸<、尸一、工,

VnVnVn+1

整理得到：ln(n+l)-lnn</1,

7rl+n

故/]:+pJ_^++,>In2-In1+In3-In2++ln(n+l)-lnn

Vl2+1A/22+2\ln2+n

=ln(n+l),

故不等式成立.

【点睛】思路点睛：函数参数的