2024年山东省菏泽市单县八校联考中考二模数学试题(含解析)

二。二四年初中学业水平考试（中考）模拟

数学试题（二）

注意事项：

1.本试题共24个题，满分120分，考试时间120分钟.

2.请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色签

字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其他区域不得分.

一、选择题本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合

题目要求.

1.J话的算术平方根是（）

A.2B.±2C.4D.±4

2.中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”

地区覆盖总人口约为4600000000人，这个数用科学记数法表示为（）.

A.46xl08B.4.6xl08C.4.6xl09D.4.6xlO10

3.下列计算正确的是（）

A."户+_"尸+B.m4-m3=mi2

「448

C.m+m=mD.（加B=m

3

4.如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为a,sma=-f堤坝高=15m,则迎水坡面AB

C.30mD.35m

5.用小立方块搭成的几何体；从正面看到的图形和从上面看到的图形如图，问搭成这样的

几何体最多需要个小立方块，最少需要个小立方块.（）

从正面看从上面看

A.8,6B.7,6C.8,7D.7.5

一x+3<2%

6.不等式组，x+2”的解集，在数轴上表示正确的是（）

------＜4-x

2

A.__B.,11.

02012

7.若点/（-1,弘），8（1,%）,。（5,力）都在反比例函数了='的图象上，则,，%,%的

X

大小关系是（）

A.B.必＜%＜%C.力＜%＜必D.%＜必＜%

8.4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动.小明随机调查了本

校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：

人数67107

课外书数量（本）67912

则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（）

A.8,9B.10,9C.7,12D.9,9

9.如图，点/为等边。8c的内心，连接/并延长交。8C的外接圆于点。，已知外接圆

的半径为2,则线段的长为（）

A

»

■

A.2B.3C.4D.273

10.对于分式夕=三，我们把分式。=丁叫做尸的伴随分式.若分式［=匕，分式巴是

6的伴随分式，分式心是心的伴随分式，分式与是心的伴随分式，以此类推…，则分式鸟以

等于（）

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.

11.因式分解：m3-25m—.

12.W(-0.125)2023X(-8)2°24=.

13.代数式「Y匚的值比代数式二2■的值大4,则工=___.

2x-33-2无

[5-3x27

14.已知关于x的不等式组n无解，则a的取值范围是—.

15.定义:若x,y满足x2=4y+t,丁=以+»且xwy为常数)，则称点，(x,y)为“和谐

点”.若尸(3,加)是“和谐点”，则加=

16.如图，在中，48=10,BC=6,/C=8,点尸为线段48上的动点，以每秒1个

单位长度的速度从点A向点8移动，到达点8时停止.过点尸作于点作

PN1BC于点、N,连结MN,线段血W的长度了与点尸的运动时间4秒)的函数关系如图所

示，则函数图象最低点E的坐标为.

三、解答题：本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

17.计算或化简

(l)2cos45°+|V2-3|-Qj+(2024-^-)°

(1x-211

⑵[二FQI卜二I

18.某校运动会需购买/,8两种奖品，若购买/种奖品3件和3种奖品2件，共需60元;

若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元.

(1)求4、8两种奖品的单价各是多少元？

(2)学校计划购买/,8两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且/种奖品的数量不

大于8种奖品数量的3倍，设购买/种奖品〃?件，购买费用为少元，写出少(元)与加

(件)之间的函数关系式.求当“为何值时，总费用最少，并确定最少费用用的值.

19.“勤能补拙，俭以养德”.我校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于

是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性,

校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成

了如图所示的不完整的统计图.

本人数

450

400

350

300

250

200

150

100

50

-------------------------------------------------——---------------------►

0

没有剩剩少量剩一半剩大量类型

(1)这次被调查的同学共有一名;

(2)把条形统计图补充完整；

(3)在扇形统计图中，“剩大量”对应的扇形的圆心角是

(4)校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一

餐.据此估算，我校3000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐.

20.如图，直线乂=^+5与反比例函数%=：(加20)在第一象限的图象交于点4(2,3)和点

B,直线必与x轴交于点朋;

(1)求点B的坐标；

(2)在x轴上取一点N,当的面积为6时，求点N的坐标.

21.如图，一种手机支架可抽象成如图2的几何图形，伸缩臂N8长度可调节

(10cm<^<15cm),并且可绕点/上下转动，转动角a变动范围是0。<a<90。，手机支撑

片EC可绕点8上下转动，2?C=10cm,转动角/变动范围是0°<〃V90。.小明使用该支架

进行线上学习，当月230。，且点C离底座的高度不小于7cm时，他才感觉舒适.

(1)如图2,当。=90。,尸=37。,*=12011时，求托片底部点C离底座的高度，并判断是否符

合小明使用的舒适要求(参考数据：sin37°«0.6,cos37°»0.8,tan37°«0.75).

(2)如图3,当a=60。,/?=90。的情况下，要伸缩到多少厘米时才能满足点。离底座的最

低高度舒适要求.(精确到1cm.参考数据百。1.73)

22.如图，48是。。的直径，点。是前的中点，NPAC=N4DC,且C0=石，AD与BC

交于点E.

(1)求证：是。。的切线；

(2)延长。，交于点尸，若OB=BF,求。。的半径.

23.如图，二次函数了="2+加+4(。/0)的图象与直线=+b交于A(-4,0)、

311

C两点.

(1)请直接写出关于x的不等式办2+6x+4＞丘+6的解集：;

(2)求二次函数表达式；

(3)点£是线段4B(包含/,B)上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P,

交直线于点N、若以点尸，N,/为顶点的三角形与A/OM相似，若存在，请求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

24.(1)【问题发现】

如图1,03c和V4DE均为等边三角形，点瓦D,E在同一直线上.填空：①线段HD,

CE之间的数量关系为；②4BEC=°.

(2)【类比探究】如图2,和V4DE均为等腰直角三角形，NACB=NAED=90°,

AC=BC,AE=DE,点、B,D,£在同一直线上.请判断线段8。，CE之间的数量关系及

/8EC的度数，并给出证明.

(3)【解决问题】如图3,在“8C中，ZACB=90°,ZA=60°,AB=2^，点、D在AB

边上，DEJ.AC于点、E,/£=6,将AIDE绕点A旋转，当点3,D,E三点在同一直线

上时，求点C到直线的距离.

参考答案与解析

1.A

【分析】由J语=4,再求出算术平方根即可.

【详解】因为J话=4,

可知4的算术平方根是2.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，理解算术平方根的定义是解题的关键.

2.C

【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为axlO",〃为正整数，据此

可以解答.

【详解】解：4600000000=4.6xlO9.

故选：C

【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式

为ax10",其中1V|a|<10,"是正整数，正确确定。的值和〃的值是解题的关键.

3.D

【分析】本题主要考查了同底数塞的乘法和除法法则，塞的乘方，同类项，对于A,根据同

类项判断再根据同底数幕相乘，底数不变，指数相加计算判断B；然后根据同底数募相除,

底数不变，指数相减计算判断C；最后根据幕的乘方，底数不变指数相乘计算判断D.

【详解】因为拉3和机4不能合并，所以A不正确；

因为的•用=的+3=吊,所以B不正确；

因为当加NO时，的+的=的-4=^=1,所以C不正确；

因为（机4）2="严2=加8,所以D正确.

故选：D.

4.B

【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键.直

接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出答案.

3

【详解】解：根据题意得：Z^C5=90°,sin«=-,

.BC_3

••—―，

AB5

•・•BC=15m,

加5BC5x15、

・・・/5=丁=丁=25（m）,

即迎水坡面48的长度为25m.

故选：B.

5.C

【分析】在从上面看到的图形的对应位置上标注，需要几何体最少和最多时该位置所摆放的

正方体的个数即可解答.

【详解】解在从上面看到的图形的对应位置上标注，需要几何体最少和最多时该位置所摆

放的正方体的个数，如图所示：

需要几何体最少时需要几何体最多时

T][T

321321

从上面看从上面看

••.最少需要7个，最多需要8个，

故选：C.

【点睛】此题主要考查了从不同方向看几何体，能正确确定出正方体的个数是解题的关

键.

6.B

【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同

大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.分别求

出每一个不等式的解集，根据口诀同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不

到确定不等式组的解集.

-x+3<2x①

【详解】解：尤+2,不，

------<4-x®

I2

解不等式①得：x>l,

解不等式②得：xV2,

,不等式组的解集为：1<XW2,

在数轴上表示如图所示：

-012~*，

故选：B.

7.B

【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质,根据左>0,可得反比例函数图象和增减性,

即可进行比较.

【详解】解：•••左=10>0,

・••反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，»随着X增大而减小，

根据/,B,C点横坐标，可知点8,C在第一象限，/在第三象限，

必<0,/>%>0

故选：B.

8.D

【分析】利用中位数，众数的定义即可解决问题.中位数把一组数据按从小到大的顺序排

列，在中间的一个数字（或者两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数.众数在一组数

据中出现次数最多的数.

【详解】解：中位数为第15个和第16个的平均数为：亨=9,众数为9.

故选：D.

【点睛】本题考查了中位数和众数，解题的关键是掌握平均数、中位数和众数的概念.

9.A

【分析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的内心、外心，连接"，证明"BO是等

边三角形，即可求解，牢记“等边三角形的内心与外接圆的圆心重合”是解题的关键.

【详解】解：如图，连接力，

是等边三角形，

ABAC=ZABC=60°,

・•,点/为等边小BC的内心,

NIAB=ZIBA=1x60°=30°,

2

ABID=AIAB+AIBA=60°,

•••等边三角形的内心与外接圆的圆心重合，

点/为^ABC的外接圆的圆心，

IB=ID=1,

二•是等边三角形，

BD=2,

故选A.

10.D

【分析】本题考查了分式的定义，规律问题.根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随

分式，然后发现每4个为一循环，再让2024・4,根据结果即可确定.

【详解】解：•.•耳a=—~1,

a

.pj..「-a

2\+a-\a'

._1一a_「a

••-D13——,

1+1+tz2—Q

.p=1(2a)="1

―41+1-a~2-a'

.p=i-(2-a)=a-l

51+(tz—1)a'

••月=4,1=£’.....’

，4个一循环，

•・•2024+4=506,

故选：D.

11.m[rn+5)[m-5)

【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式

是解题关键.

直接提取公因式加，再利用平方差公式分解因式即可.

【详解】解：w3-25机

=m{jn2-25)

故答案为：m(m+5)(m-5).

12.—8

【分析】根据积的乘方的运算法则，即可求解，

本题考查了，积的乘方，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则.

(-0.125)2023X(-8)2024

故答案为：-8.

13.2

Y2

【分析】根据题意可得：V--^-=4,然后按照解分式方程的步骤，进行计算即可解

2x-33-2x

答.

【详解】解：由题意得：

x2.

------------------=4,

2x—33—2x

去分母得：x+2=4(2x-3),

解得：x=2,

检验：当x=2时，2x-3w0,

；.x=2是原方程的根，

故答案为：2.

【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验.

14.a>2

【分析】先把a当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围

即可.

5-3x2-1①

【详解】解:

a-x<0②

由①得：x<2,

由②得：x>a,

•••不等式组无解，

故答案为哈2.

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键关键是掌握解集的规律同大取

大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找.

15.-7

【分析】此题考查了二次函数的图象和性质等知识，读懂题意，熟练掌握二次函数的性质

是解题的关键.

根据“和谐点”的定义得到3?=4机+/,m2=4x3+/>整理得到以2+4刃-21=0,解得

m、=-7,电=3（不合题意，舍去），即可得到答案

【详解】若P（3,m）是“和谐点”，则3?=4根+f,机2=4x3+/,

则3?-4〃?=/,m2-12=t,

32—4m=m2—12）

即加2+4刃-21=0,解得肛=-7,m,=3（不合题意，舍去），

:.m=17,

故答案为：-7.

【分析】本题考查了直角三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性

质，矩形的判定与性质，函数的图象，函数的最小值，连接CP,利用勾股定理的逆定理判

定。2c为直角三角形，利用矩形的判定定理得到四边形MPNC为矩形，利用矩形的对角线

相等得到九W=CP,再利用垂线段最短的性质得到当“8时，儿W取得最小值，最后

利用相似三角形的判定与性质解答即可求解，熟练掌握动点问题的函数的图象的特征是解题

的关键.

【详解】解：连接C尸，如图,

c

N

I\

vAB=10,BC-6»AC—8,

・,•"+/02=36+64=100,/52=IOO,

•••BC2+AC2=AB2,

・・.NACB=90。,

-PMVAC,PNLBC,

・•・/PMC=/PNC=ZMCN=90°,

四边形〃尸NC为矩形，

:.MN=CP,

•・•点P为线段45上的动点，由于垂线段最短,

.•・当CPL/B时，”取得最小值,即y=取最小值,

过点C作"，于点?，

C

"pD

vZACB=90°fCPLAB,

ZAPC=ZACB=90°f

又•・,ZA=ZA,

・•.△ACPs^ABC,

ACCP_AP

••商一旅―二’

8CPAP

：.CP=—,AP=—,

55

.•・当,=?32时，y取最小值为T24，

・•・函数图象最低点£的坐标为（学,当，

故答案为:

17.(1)-5

【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则

与运算顺序是解本题的关键；

(1)先代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数暴，零次暴，再合并即可

(2)先计算括号内的分式的减法，再计算除法运算即可.

【详解】(1)解：2cos45°+|V2-3|-Qj+(2024-7

=2x—+3-V2-9+1

2

=V2+3-V2-9+l

=一5；

=7----77---7•(X+1)

1

18.(1)Z奖品的单价是10元，3奖品的单价是15元

⑵沙=-5加+1500,当羽=75,才能使总费用最少为1125元

【分析】(1)设/奖品的单价是x元，5奖品的单价是歹元，根据题意列出方程组求解即可

(2)根据购买费用=48两种奖品的费用之和即可得出少与机之间的函数关系式；根据

题意可得关于冽的不等式组，进而可求出冽的范围，再根据一次函数的性质求最值即可.

【详解】(1)设/奖品的单价是x元，8奖品的单价是丁元，由题意，得

3x+2y=60x=10

，解得:

5x+3y=957=15

答：/奖品的单价是10元，5奖品的单价是15元;

(2)由题意，得犷=10冽+15(100-加)=-5加+1500,

J-5加+150041150

ym<3(100-m)'

解得：70<m<75,

•・・m是整数，

・•.加=70,71,72,73,74,75.

'：W=-5m+1500,

•••左=-5<0,

.•.少随加的增大而减小，

.•.加=75时,/小=1125.

・•・应买/种奖品75件，B种奖品25件，才能使总费用最少为1125元.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用和一次函数的性质,

正确理解题意、得出相等关系和不等关系是解题的关键.

19.(1)1000；

(2)补图见解析；

⑶54；

(4)600人.

【分析】(1)用“没有剩”的人数除以其百分比即可求解；

(2)求出“剩少量”的人数，即可补全条形统计图；

(3)用360。乘以“剩大量”的占比即可求解；

(4)用3000乘以意即可求解；

本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，弄清条形统计图和扇形统计图之间的

数据关系是解题的关键.

【详解】(1)解:这次被调查的学生数：400+40%=1000名，

故答案为：1000；

(2)解：“剩少量”的人数：1000-400-250-150=200名，

补图如图所不：

故答案为：54；

(4)解：3000x^-=600,

1000

答:我校3000名学生一餐浪费的食物可供600人食用一餐.

20.(1)(3,2)

(2)(9,0)或(1,0)

【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合：

(1)先把点/坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再联立两函数解析式

求出点2的坐标即可；

(2)先求出点M的坐标，设N(“,0),则MN=|a-5],再根据△/儿W的面积为6建立方程

求解即可.

【详解】(1)把《(2,3)代入乃="(承w0)中，加=2x3=6,

二反比例函数解析式为%=9,

6

联立-'=嚏，

y[=-x+5

点B的坐标为(3,2)；

(2)在必=—x+5中，当歹i=—x+5=0时，x=5,

.-.M(5,0),

设N(a,O),则AW斗-5|,

1.1/\AMN的面积为6

S4AMN=^-|5-a|-3=6,

|5-司=4,

二。=9或1.

・•.N(9,0)或(1,0).

21.(1)托片底部点C离底座的高度为4cm,不符合小明使用的舒适要求；

(2)/3要伸缩到14厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求.

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用三角函数是解题关键.

(1)过点C作CMJL^D于点CNLAB于点、N,利用余弦值，求出8N=8cm,进而

得至Ij4N=4cm,即可得到答案；

(2)过点3作于点0,过点C作于点P,COLB。于点。，由题意可知

OQ=CP=Jcm,利用三角函数分别求出。8=5cm,^5=873cm,即可得到答案.

【详解】(1)解：如图，过点C作CML4D于点CNLAB于点、N,

二四边形NMCN是矩形，

:.CM=AN,

在Rt/YBNC中，尸=37。，BC=10cm,

。BN

cosp=,

BC

...BN=BC•cos37°«10x0.8=8cm,

,/AB=12cm,

AN=AB—BN=4cm,

CM=4cm,即托片底部点C离底座的高度为4cm,

,/4cm<7cm,

•.・不符合小明使用的舒适要求;

(2)解：如图，过点5作5。，/。于点。，过点。作C尸，。于点尸，于点。,

••・四边形尸0。。是矩形，

,OQ=CP,

•・,点C离底座的高度不小于7cm时，才感觉舒适，

.••点。离底座的最低高度舒适要求为7cm,

OQ=CP=lcm,

'：a=60°,

:.ZABQ=30°,

QP=90。，

ZCBO=60°,

在RtZkBOC中，5c=10cm,ZCBO=60°,

OB=BC-cos60°=10x—=5cm,

2

80=05+00=5+7=12cm,

在RS/05中，1二60。，5g=12cm,

AB=BQ=单=86a14cm

sin60°V|,

即AB要伸缩到14厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求.

22.(1)见解析

⑵而

【分析】本题考查了圆周角定理、证明直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质，熟练掌

握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

(1)由圆周角定理得出NP+NP4C=90。，由/c=NC结合=得出

ZP+ZABC=90°,即可得证；

(2)连接。。、BD,延长48、CD交于点、F,证明A。。尸6人。/尸得出。尸=2石，证明

AFDBSAFOD，再利用相似三角形的性质计算即可得出0D=丽.

【详解】(1)证明：为直径，点C在圆上，

；.NACB=90°,

.­.ZP+ZPAC=90°,

AC=AC'

；.NADC=ZABC,

又NPAC=NADC,

.-.ZP+ZABC=90°,

■.ZPAB=90°,即尸

又点A在。。上，

.♦./>/是。。的切线；

(2)解：连接。。、BD,延长42、CD交于点尸，

•••点。是病的中点，CD=4i,

：■/DOB=2ZDAB=ZCAB,CD=BD=s/5,

又；ZDFO=ZCFA,

ADOFS^CAF,

x---OB=BF=OA,

DFFO2

"7c"3)

DFOF_2

••布一加一『

而。。=石，

•••。尸=2后，

•・•CD=BD,

ZDCB=ZDBC,

ZBDF=2ZDCB,

又访=筋，

・•.ZDCB=/DAB,

・•・/DOB=2/DAB=2ZDCB,

・•./BDF=ZDOB,

又•・•/DFB=ZDFO,

小FDBs小FOD,

.OP_DF

,•丽―丽‘

°?=2y,而OD=OB=BF,

V5BF

・・.OD=M,即o。的半径是质.

3

23.(l)-4<x<-

(2)y——―3x+4

(3)存在，点尸的坐标为(1,0)或(T6)

【分析】(1)根据图象求解即可；

(2)利用待定系数法求解析式即可；

(3)由。M=2,求出直线/〃解析式为》=-gx-2,过£作x轴的垂线，交二次函数于

点尸，交直线于点N；当点E与点2重合时，即点P与点5重合，可证明此时

AAPNSAAOM；当点£与点8不重合时，令E(加,0),则尸(加，-〃J-加x+4),

2V由AP/NSA/OM,得ZAPE=N04M,tanZAPE=tanAOAM,因而

,.AEOMm+421

有——二---，即nn——5--------丁于求出优的值即可.

PEOA-m2-mx+4

【详解】（1）,二次函数歹="2+乐+4（。。0）的图象与直线=+b交于A（-4,0）、

3_H

C两点

3

抛物线在直线上方,

3

・,・关于x的不等式ax2+bx+4>kx+b的解集为-4<x<—；

3_11

⑵将A（-4,0）、C两点代入v=+bx+4（qw0）得,

25~7

16〃-46+4=0

a=-1

9311,解得

—。+—6L+4=-----b=—3

1424

二次函数表达式为y=—x2—3x+4；

（3）角能・；OM=2,

.-.A/（0,-2）,

设直线AM解析式为y=kxx+bx,

J-4左]+[=0

%=-2，

k=--

解得「x2,

b\=-2

.,•直线解析式为y=_gx_2,

如图，过E作x轴的垂线，交二次函数于点P,交直线NM于点N,

PE//OM,

ZANP=AAMO丰90°,

当点£与点8重合时，此时点P与点8重合，且此时OM〃PN,

此时,符合题意，

.,.此时点P的坐标为（1，0）；

当点E不与点2重合时，设£（m,o）,则尸（加,-/一3加+4）,机,加-2）,

由题意可知，/「不可能垂直尸N,即N4PNR90。，

当ZPAN=90。时，APANS"OM,

ZAPE=ZOAM,

tan/APE=tanAOAM,

口口

,AE--O---M--RIJ------m---+---4---------2-1

"PE~OA'-m2-3m+4~4~2,

解得n?=-1或加=-4,

经检验m=-l时方程的解，

.­.P（-l,6）.

综上所述，点尸的坐标为（1，0）或（T6）.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形和求一次函

数解析式，灵活运用知识点是解题的关键.

24.（1）BD=CE,60

（2）BD=4iCE，NBEC=45。,证明见详解

（3）C