山东省济宁市市中区2024届中考考前最后一卷数学试卷含解析

山东省济宁市市中区达标名校2024届中考考前最后一卷数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列代数运算正确的是（）

A.(x+1)2=x2+lB.(x3)2=x5C.(2x)2=2x2D.x3*x2=x5

2.a的倒数是3,则a的值是()

11

A.—B.—C.3D.-3

33

3.下列各式中的变形，错误的是（（）

A.2__2B.-b_bc.b=3bD.yy+3

-3x~3x-2a2aa3ax~x+3

4.下列计算，结果等于a，的是()

A.a+3aB.a5-aC.(a2)2D.a84-a2

5.某公司第4月份投入1000万元科研经费，计划6月份投入科研经费比4月多500万元.设该公司第5、6个月投放科

研经费的月平均增长率为x,则所列方程正确的为（）

A.1000(1+X)2=1000+500

B.1000(l+x)2=500

C.500(l+x)2=1000

D.1000（1+2x）=1000+500

6.八边形的内角和为（）

A.180°B.360°C.1080°D.1440°

7.定义：一个自然数，右边的数字总比左边的数字小，我们称之为“下滑数”（如：32,641,8531等）.现从两位数中

任取一个，恰好是“下滑数”的概率为（）

8.如图所示的几何体的主视图正确的是（）

A.B.C.D.

9.下列计算正确的是()

A.x2+x2=x4B.x8-rx2=x4C.x2»x3=x6D.(-x)2-x2=0

10.中国在第二十三届冬奥会闭幕式上奉献了《2022相约北京》的文艺表演，会后表演视频在网络上推出，即刻转发

量就超过810000这个数用科学记数法表示为()

A.8.1X106B.8.1X105C.81xl05D.81xl04

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，OP与x轴交于O,A两点，点A的坐标为(6,

0),(DP的半径为旧，则点P的坐标为.

12.如图，在△ABC中，NAC3=90。，点。是C5边上一点，过点。作OELA3于点E,点尸是AO的中点，连结

EF、FC、CE.若AD=2,ZCFE=90°,贝！ICE=.

13.对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程X?-(n+2)x-21>2=0的两个根记作a.bn(n>2),贝(J

111

---------------------------1F...H=

_

(。2-2)(d-2)(a3-2)(Z?3-2)---------(«20072)(ZJ2007-2)

14.如图，在一次数学活动课上，小明用18个棱长为1的正方体积木搭成一个几何体，然后他请小亮用其他棱长为1

的正方体积木在旁边再搭一个几何体，使小亮所搭几何体恰好和小明所搭几何体拼成一个无空隙的大长方体(不改变

小明所搭几何体的形状).请从下面的A、B两题中任选一题作答，我选择.

A、按照小明的要求搭几何体，小亮至少需要个正方体积木.

B、按照小明的要求，小亮所搭几何体的表面积最小为.

___7

15.如图，正△AB。的边长为2，点n、B在半径为也的圆上，点0在圆内，将正1/8C绕点4逆时针针旋转，当点C第一次落

在圆上时，旋转角的正切值为

16.如图，抛物线y=-一+2关+3交》轴于A,B两点,交V轴于点C,点C关于抛物线的对称轴的对称点为E,

点G,尸分别在x轴和>轴上，则四边形£DHG周长的最小值为.

三、解答题(共8题，共72分)

m

17.(8分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数丫=1^+1)与反比例函数y=—(m/0)的图象交于点A(3,1),且

过点B(0,-2).

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)如果点P是x轴上一点，且AABP的面积是3,求点P的坐标.

18.（8分）图1是某市2009年4月5日至14日每天最低气温的折线统计图.图2是该市2007年4月5日至14日每

天最低气温的频数分布直方图，根据图1提供的信息，补全图2中频数分布直方图；在这10天中，最低气温的众数是

19.（8分）某单位为了扩大经营，分四次向社会进行招工测试,测试后对成绩合格人数与不合格人数进行统计，并绘

制成如图所示的不完整的统计图.

（1）测试不合格人数的中位数是

（2）第二次测试合格人数为50人，到第四次测试合格人数为每次测试不合格人数平均数的2倍少18人，若这两次测

试的平均增长率相同，求平均增长率;

（3）在（2）的条件下补全条形统计图和扇形统计图.

测试结果条形统计图测试结果扇形统计图

八

80-□合格人数

□不合格人数

60-p50不合格人数

40^

20-1合格人数

0

二三四测试次数

3

20.（8分）抛物线y=ax?+bx+3（a/0）经过点A（-1,0）,B（-,0）,且与y轴相交于点C.

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求NACB的度数；

（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE±AC,当4DCE与公AOC

相似时，求点D的坐标.

21.（8分）如图,有四张背面完全相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗

D

从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率;小明和小亮约定

矩形

做一个游戏，其规则为:先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面

图形都是轴对称图形小明获胜,否则小亮获胜，这个游戏公平吗?请用列表法（或树状图）说明理由（纸牌用A,B,C,D表示）.

22.（10分）如图，点A,B,C都在抛物线y=ax2-2amx+am2+2m-5（其中--<a<0）±,AB〃x轴，ZABC=135°,

4

且AB=L

（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；

（2）求AABC的面积（用含a的代数式表示）；

（3）若△ABC的面积为2,当2m-5WxW2m-2时，y的最大值为2,求m的值.

23.(12分)已知：a是-2的相反数，b是-2的倒数，则

(1)a=,b=；

(2)求代数式a2b+ab的值.

24.如图，。。是AABC的外接圆，A5为直径，5c交。。于点O,交AC于点E,连接AO、BD、CD.

(1)求证：AD—CDi

(2)若48=10,OE=3,求tanNZZBC的值.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、D

【解题分析】

分别根据同底数幕的乘法、塞的乘方与积的乘方、完全平方公式进行逐一计算即可.

【题目详解】

解：A.(x+1)2=x2+2x+l,故A错误；

B.(x3)2=x6,故B错误;

C.(2x)2=4x2,故C错误.

D.x3・x2=X，,故D正确.

故本题选D.

【题目点拨】

本题考查的是同底数塞的乘法、塞的乘方与积的乘方、完全平方公式，熟练掌握他们的定义是解题的关键.

2、A

【解题分析】

根据倒数的定义进行解答即可.

【题目详解】

,。的倒数是3,.,.3a=l,解得：a=—.

3

故选A.

【题目点拨】

本题考查的是倒数的定义，即乘积为1的两个数叫互为倒数.

3,D

【解题分析】

根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变，可得答案.

【题目详解】

A>2_2,故A正确；

-3xi3x

B、分子、分母同时乘以-1,分式的值不发生变化，故B正确；

C、分子、分母同时乘以3,分式的值不发生变化，故C正确；

D、Dy+3故D错误；

xx+3

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变.

4、C

【解题分析】

根据同底数塞的除法法则：底数不变，指数相减；同底数塞的乘法法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加；塞的

乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可.

【题目详解】

A.a+3a=4a,错误；

B./和。不是同类项，不能合并，故此选项错误；

C.（a2）2-a4,正确；

D.a8-ra2=a6,错误.

故选C.

【题目点拨】

本题主要考查了同底数塞的乘除法，以及塞的乘方，关键是正确掌握计算法则.

5、A

【解题分析】

设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x,5月份投放科研经费为1000(1+x),6月份投放科研经费为

1000(1+x)(1+x),即可得答案.

【题目详解】

设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x,

则6月份投放科研经费1000(1+x)2=1000+500,

故选A.

【题目点拨】

考查一元二次方程的应用，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过

两次变化后的数量关系为a(l±x)2=b.

6、C

【解题分析】

试题分析：根据n边形的内角和公式(n-2)xl80«可得八边形的内角和为(8-2)xl800=10800,故答案选C.

考点：n边形的内角和公式.

7、A

【解题分析】

分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数：根据题意得知这样的两位数共有90个；

②符合条件的情况数目：从总数中找出符合条件的数共有45个；二者的比值就是其发生的概率.

详解：两位数共有90个，下滑数有10、21、20、32、31、30、43、42、41、40、54、53、52、51、50、65、64、63、

62、61,60、76、75、74、73、72、71、70、87、86、85、84、83、82、81、80、98、97、96、95、94、93、92、91、

90共有45个，

概率为

故选A.

点睛：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，

rn

那么事件A的概率P(A)=—.

n

8、D

【解题分析】

主视图是从前向后看，即可得图像.

【题目详解】

主视图是一个矩形和一个三角形构成.故选D.

9、D

【解题分析】

试题解析：A原式=2x2,故A不正确；

B原式=x6,故B不正确；

C原式=x，，故C不正确；

D原式=x2-x2=0,故D正确；

故选D

考点：1.同底数塞的除法；2.合并同类项；3.同底数塞的乘法；4.塞的乘方与积的乘方.

10、B

【解题分析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值VI时，n是负

数.

【题目详解】

810000=8.1x1.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中K|a|<10,n为整数，表示时关键

要正确确定a的值以及n的值.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11,(3,2).

【解题分析】

过点P作PD_Lx轴于点D,连接OP,先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案.

【题目详解】

过点P作PD_Lx轴于点D,连接OP,

VA(6,0),PD1OA,

1

/.OD=-OA=3,

2

在RtAOPD中VOP=713OD=3,

；.PD=2

；.P(3,2).

故答案为(3,2).

【题目点拨】

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

12、72

【解题分析】

根据直角三角形的中点性质结合勾股定理解答即可.

【题目详解】

解：/ACB=90。，点F是的中点，

:.CF=-AD=1

2

DEIAB

ZAED=90°

:.EF=-AD=l

2

CF=EF

•一NCEE=90°.

CE=VCF2+EF2=Vl2+12=V2

故答案为：0.

【题目点拨】

此题重点考查学生对勾股定理的理解。熟练掌握勾股定理是解题的关键.

【解题分析】

2

试题分析：由根与系数的关系得：all+bn=n+2,anbn=-2n,

则(/%—2、)(/〃—2、)=—2n(/n+l、),则3二荻1f=-西1询]If「1黄1J}，

二原式-J+[-{!++(/—/)]=./)=一黑.

点睛：本题主要考查的就是一元二次方程的韦达定理以及规律的整理，属于中等题型.解决这个问题的关键就是要想

到使用韦达定理，然后根据计算的法则得出规律，从而达到简便计算的目的.

14、A,18,1

【解题分析】

A、首先确定小明所搭几何体所需的正方体的个数，然后确定两人共搭建几何体所需小立方体的数量，求差即可;

B、分别得到前后面，上下面，左右面的面积，相加即可求解.

【题目详解】

A、•.•小亮所搭几何体恰好可以和小明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体，

，该长方体需要小立方体4x32=36个，

•••小明用18个边长为1的小正方体搭成了一个几何体，

二小亮至少还需36-18=18个小立方体，

B、表面积为：2x(8+8+7)=1.

故答案是：A,18,1.

【题目点拨】

考查了由三视图判断几何体的知识，能够确定两人所搭几何体的形状是解答本题的关键.

15、1

3

【解题分析】

作辅助线，首先求出NDAC的大小，进而求出旋转的角度，即可得出答案.

【题目详解】

如图，分另U连接OA、OB、OD；

VOA=OB=A/5，AB=2,

.,.△OAB是等腰直角三角形,

:.ZOAB=45°；

同理可证：ZOAD=45°,

ZDAB=90°；

VZCAB=60°,

:.ZDAC=90°-60°=30°,

二旋转角的正切值是更，

3

故答案为：逆.

3

【题目点拨】

此题考查等边三角形的性质，旋转的性质，点与圆的位置关系，解直角三角形，解题关键在于作辅助线.

16、0+屈

【解题分析】

根据抛物线解析式求得点D(1,4)、点E(2,3),作点D关于y轴的对称点D，(-1,4)、作点E关于x轴的对称

点E，(2,-3),从而得到四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D，F+FG+GE。当点D，、F、G、E，四

点共线时，周长最短，据此根据勾股定理可得答案.

【题目详解】

如图，

在y=-x?+2x+3中，当x=0时，y=3,即点C(0,3),

；y=-X2+2X+3=-(x-1)2+4,

.•.对称轴为x=L顶点D(1,4),

则点C关于对称轴的对称点E的坐标为(2,3),

作点D关于y轴的对称点D，(-1,4),作点E关于x轴的对称点E，(2,-3),

连结D\W,DE与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，

四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE

=DE+D'F+FG+GE'

=DE+D，E'

=7(1-2)2+(4-3)2+7(-1-2)2+(4+3)2

=72+758

二四边形EDFG周长的最小值是点十屈.

【题目点拨】

本题主要考查抛物线的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质，利用数形结合得出答案.

三、解答题(共8题，共72分)

3

17、(1)y=—；y=x-2；(2)(0,0)或(4,0)

x

【解题分析】

试题分析：(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式;

(2)首先求得AB与X轴的交点，设交点是C,然后根据SAABP=SAACP+SABCP即可列方程求得P的横坐标.

试题解析：(1)•・,反比例函数y=—(m#0)的图象过点A(1,1),

x

m

1=—

1

3

...反比例函数的表达式为y=-.

x

•.,一次函数y=kx+b的图象过点A(1,1)和B(0,-2).

3k+b=l

b=-

k=l

解得:{Z7=-2

・••一次函数的表达式为y=x-2；

(2)令y=0,/.x-2=0,x=2,

・•・一次函数y=x-2的图象与x轴的交点C的坐标为(2,0).

•SAABP=1,

11

-PCxl+-PCx2=l.

22

APC=2,

・••点P的坐标为(0,0)、(4,0).

【题目点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及三角形的面积的计算，正确根据SAABP=SAACP+SABCP列方程

是关键.

18、⑴作图见解析；(2)7,7.5,2.8；(3)见解析.

【解题分析】

(1)根据图1找出8、9、10℃的天数，然后补全统计图即可；

(2)根据众数的定义，找出出现频率最高的温度；按照从低到高排列，求出第5、6两个温度的平均数即为中位数；

先求出平均数，再根据方差的定义列式进行计算即可得解；

(3)求出7、8、9、10、11℃的天数在扇形统计图中所占的度数，然后作出扇形统计图即可.

【题目详解】

(1)由图1可知，8℃有2天，9℃有0天，10℃有2天，

补全统计图如图；

■J.II……

-tttIn

UULI.,11

67S89101T1--；^a---g---(--c>c)

(2)根据条形统计图，7℃出现的频率最高，为3天,

所以，众数是7；

按照温度从小到大的顺序排列，第5个温度为7C,第6个温度为8℃,

所以，中位数为工(7+8)=7.5；

2

平均数为'(6x2+7x3+8x2+10x2+11)=^x80=8,

所以，方差=\[2x(6-8)2+3x(7-8)2+2x(8-8)2+2x(10-8)2+(11-8)2],

=—(8+3+0+8+9),

10

1

=——x28,

10

=2.8；

2

(3)6℃的度数，—x360°=72°,

10

3

7℃的度数，—X36O°=1O8°,

2

8c的度数，—x360°=72°,

10

2

10℃的度数，—x360°=72°,

11℃的度数，\、360。=36。，

作出扇形统计图如图所示.

弟代)

\20%

【题目点拨】

本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.同时考查中位数、众数的求法：给定n个数据，按

从小到大排序，如果n为奇数,位于中间的那个数就是中位数;如果n为偶数,位于中间两个数的平均数就是中位数.任

何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数.给定一组数据，出现次数最多的那个数，称

为这组数据的众数.

19、(1)1；(2)这两次测试的平均增长率为20%；(3)55%.

【解题分析】

(1)将四次测试结果排序，结合中位数的定义即可求出结论；

(2)由第四次测试合格人数为每次测试不合格人数平均数的2倍少18人，可求出第四次测试合格人数，设这两次测

试的平均增长率为x,由第二次、第四次测试合格人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中的正值即可得

出结论；

(3)由第二次测试合格人数结合平均增长率，可求出第三次测试合格人数，根据不合格总人数+参加测试的总人数

X100%即可求出不合格率，进而可求出合格率，再将条形统计图和扇形统计图补充完整，此题得解.

【题目详解】

解：(1)将四次测试结果排序，得:30,40,50,60,

二测试不合格人数的中位数是(40+50)-2=1.

故答案为1;

(2):•每次测试不合格人数的平均数为(60+40+30+50)+4=1(人)，

.•.第四次测试合格人数为1x2-18=72(人).

设这两次测试的平均增长率为X,

根据题意得：50(1+x)2=72,

解得：xi=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去)，

这两次测试的平均增长率为20%；

(3)50x(1+20%)=60(人)，

(60+40+30+50)+(38+60+50+40+60+30+72+50)xl00%=l%,

1-1%=55%.

补全条形统计图与扇形统计图如解图所示.

本题考查了一元二次方程的应用、扇形统计图、条形统计图、中位数以及算术平均数，解题的关键是：(1)牢记中位

数的定义；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)根据数量关系，列式计算求出统计图中缺失数据.

775

20、(1)y=-2x2+x+3；(2)ZACB=41°；(3)D(-,—).

832

【解题分析】

试题分析：(1)把点A,5的坐标代入即可求得抛物线的解析式.

⑵作于点求出3H的长度，即可求出NAC3的度数.

(3)延长交x轴于点G,^DCE^/XAOC,只可能NCAO=NOCE.求出直线CD的方程，和抛物线的方程联立即

可求得点。的坐标.

a—b+3=0

试题解析：(1)由题意，得93,

-a+-b+3=0,

142

a=-2

解得，，•

0=1

...这条抛物线的表达式为y=-2/+X+3.

(2)作8"，AC于点77,

__3

点坐标是(—1,0),C点坐标是(0,3),5点坐标是(一，0),

2

.\AC=J10,AB=-,OC=3,BC=-y/5.

22

,：BHAC=OCAB,即•屈=』x3,

2

.R„_3V10

4

RtA5cH中，BH=BC=-45,N5HC=90°,

42

AsinZACB=—

2

又VZACB是锐角，:.ZACB=45°.

(3)延长CZ＞交x轴于点G,

VRtAAOC中，40=1,AC=JlQ,

••8"4。=四=巫

AC10

,:△DCES/\A0C,只可能NC40=NOCE.

：.AG=CG.

AGAG10

：.AG=1....G点坐标是（4,0）.

:y=—2.X+3.

•点C坐标是（0,3）,：.l

CD-4

7

3x--

y——九+38x=0

4解得＜.（舍）.

75U=3

y——212+%+3y——

-32

点D坐标是

3

21、(1)(2)公平.

4

【解题分析】

试题分析：(1)首先根据题意结合概率公式可得答案;

(2)首先根据(1)求得摸出两张牌面图形都是轴对称图形的有16种情况，若摸出两张牌面图形都是中心对称图形的

有12种情况，继而求得小明赢与小亮赢的概率，比较概率的大小，即可知这个游戏是否公平.

3

试题解析：(1)共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，所以摸到正面是中心对称图形的纸牌的概率是一；

(2)列表得:

ABcD

A(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

D(D,A)(D,B)(D,C)

共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有6种，

AP(两张都是轴对称图形)=-,因此这个游戏公平.

2

考点：游戏公平性；轴对称图形；中心对称图形；概率公式；列表法与树状图法.

22、(1)(m,2m-2)；(2)SAABC=_-—;(3)m的值为Z或10+2J而.

a2

【解题分析】

分析：(1)利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，此题得解；

(2)过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D,由AB〃x轴且AB=L可得出点B的坐标为(m+2,

la+2m-2),设BD=t,则点C的坐标为(m+2+t,la+2m-2-t),利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t

的一元二次方程，解之取其正值即可得出t值，再利用三角形的面积公式即可得出SAABC的值；

(3)由(2)的结论结合SAABC=2可求出a值，分三种情况考虑：①当m>2m-2,即mV2时，x=2m-2时y取最

大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之可求出m的值；②当2m-2WmW2m-2,

即2WmS2时，x=m时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m

的值；③当m<2m-2,即m>2时，x=2m-2时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一

元一次方程，解之可求出m的值.综上即可得出结论.

详解：(1)Vy=ax2-2amx+am2+2m-2=a(x-m)2+2m-2,

抛物线的顶点坐标为(m,2m-2),

故答案为(m,2m-2)；

(2)过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D,如图所示,

Ay

TAB〃x轴，且AB=L

・••点B的坐标为(m+2,la+2m-2),

VZABC=132°,

设BD=t,贝!JCD=t,

・••点C的坐标为(m+2+t,la+2m-2-t),

•/点C在抛物线y=a(x-m)2+2m-2上，

:.la+2m-2-t=a(2+t)2+2m-