2024年广东省深圳市中考二模数学试题（学生版+解析版）

2024年广东省深圳市南山实验教育集团中考二模数学试题

一.选择题（每题3分，共30分）

1.-2的（到数是（）

A.-2B.-----C.\D.2

2

2.下列计算正确的是（）

s26

Aay-a2=a6B.a3+a3=a6C.a^a=aD."丫=〃6

3.5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒13OOOOOKB以上.用科学记数法表

示1300000是（）

A.13x10'B.UxlO5C.1.3xl06D.J.3xl07

4.教练组对运动员正式比赛前的5次训练成绩进行分析，判断谁的成绩更加拿定，一般需要考察这5次成

绩的（）

A平均数或中位数B.众数或频率C.方差或极差D.频数或众数

5.使代数式XL有意义的x的取值范围是【】

2x-1

C.xNO且X。'D.一切实数

A.x>0B.x—

22

6.在下列命题中，正确的是（）

A.一组对边平行的四边形是平行四边形B.有一个角是直角的四边形是矩形

C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

7.在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P,Q,贝UPQ=()

・

A.B.3-45C.y/5-2D.3小

22

8.如图，已知钓鱼竿AC的长为66，露在水面上的鱼线长为3鬲，某钓者想看看鱼钩上的情况,

把鱼竿AC转动到AC的位置，此时露在水面上的鱼线为用加，则的长为（）

c

C.\j5mD.26m

9.如图1,质量为加的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态

下，弹簧的初始长度为10cm）.从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在

整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度u（cm/s）和弹簧被压缩的长度A/（cm）之间的关系图象如

图2所示.根据图象，下列说法正确的是（）

B.当小球下落至最低点时，弹簧的长度为4cm

C.当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大D.当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm

10.在RtZiABC中，ZC=90°,。为AC上一点，CD=五，动点P以每秒1个单位的速度从C点出

发，在三角形边上沿Cf8fA匀速运动，到达点A时停止，以力尸为边作正方形OPEF.设点P的运动

时间为ZS,正方形。庄尸的面积为S,当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于，的二次函数，并

绘制成如图2所示的图象.由图象可知线段A6的长为（)

B.6C.5D.4

二.填空题（共4小题）

II分解因式：2f+18—12%=

12.若m6是关于x的方程X2一21一2022=0的两个实数根，则。2一3〃一6=一.

13.如图，已知半径为1的0。上有三点A、B、C,。。与交于点O,

NADO=85°,NC4B=20。，则阴影部分的扇形QAC面积是,

14.如图，在ABC中，D是8c边上中点，连接4。，把△A3。沿4。翻折，得到一ACE，。9与

AC交于点E，若BD=2,AD=3®，NA£>3=45。，则VAOE的面积是一.

=-(»>0,x>0)交于点

x

A,点B,且出=2,将直线y=2x向左平移6个单位长度后，与双曲线y="交于点C,若

OA33x

.•解答题(共7小题)

16.计算：|G-2|+sin60°-历-(-)2+2'

17.如图，在平面直角坐标系中，JWC的顶点坐标分别是4(0,4),3(0,2),C(3,2).

（1）以点。为旋转中心，将./8C旋转180。，画出旋转后对应的△44G：

（2）将以NC平移后得到△&BG，若点A的对应点4的坐标为（2,2）,画出△&BG，并求AAGC?

面积.

18.“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷.为了解我

校“双减”政策的实施情况，校学生会在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查，问卷共设有四个选

项：A一学校作业有明显减少；8—学校作业没有明显减少；C—课外辅导班数量明显减少；。一课外辅导

班数量没有明显减少；E—没有关注；已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所

有的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

（2）补全条形统计图；

（3）该校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个,

其中有2个为八年级班级（分别用A、8表示），3个为九年级班级（分别用C、。、E表示），由于报名参

加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展

活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动.请用列表法或画树状图的方法求两次选

中的既有八年级班级又有九年级班级的概率.

19.遵义市开展信息技术与教学深度融合的精准化教学，某实验学校计划购买A,〃两种型号教学设备，

已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%,用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买5型设

备的数量多4台.

（1）求A,8型设备单价分别是多少元？

（2）该校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于A型设备数量的g.设购买。台A型设

备，购买总费用为w元，求卬与。的函数关系式，并求出最少购买费用.

20.如图，A8为。0的直径，。为84延长线上一点，8是。。的切线，D为切点，OF工AD于点、

E，交CD于点、F.

D

21.【定义】

例如，如图1,过点A作A8JL4交《于点8,线段A8的长度称为点A到4的垂直距离，过A作AC平行

于y粕交4于点C,AC的长就是点4到!।的竖直距离.

当4与x轴平行时，AB=AC,

当4与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离AB与点到直线的竖直距离AC存在一定的

数量关系，当直线4为y='X+l时，AB=AC.

【应用】

如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为30°,该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高2m,现

给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点。的距0A=2m,建立如图2所示的平面直角坐标系，

在喷水过程中，水运行的路线是抛物线丁=-丁+加，且恰好经过小树的顶端点B,最远处落在草坪的C

处，

（1）b=.

（2）如图3,现决定在山上种另一棵树AW（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固

树，沿斜坡垂直的方向加••根支架PN,求出PN的最大值.

【拓展】

（3）如图4,原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y

轴相切于点O,若此时OC=4Gm,如图，种植一棵树MN（垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出

MN最高应为多少?

22.【探究发现】

（1）如图1,正方形A8CO两条对角线相交于点O,正方形A4G。与正方形A8CO的边长相等，在正方

形A4G。绕点O旋转过程中，边。A交边于点M,边。G交边于点N.

①线段BM、BN、48之间满足的数量关系是：

②四边形0MBN与正方形ABCD的面积关系是S四边形。*伽=S正方形Abe。；

【类比探究】

（2）如图2,若将（1）中的“正方形A8CD”改为“含60。的菱形4BCD”，即

ZBlODl=ZDAB=60°t且菱形O与GR与菱形48co的边长相等.当菱形。用6已绕点。旋转时,

保持边。4交边4B于点M,边。。交边8c于点N.

请猜想：

①线段5M、5N与A5之间的数量关系是:

=

②菱形OMBN与菱形ABCD的面积关系是S四边形0MBN^^ABCD；

请你证明其中的一个猜想.

【拓展延伸】

（3）如图3,把（2）中的条件"/旦。。=ND48=60。”改为“NDAB=组0口=a"，其他条件

不变，则

①二等丝=；（用含a的式子表示）

②孕逐理=________.（用含。的式子表示）

3硬形A8CO

2024年广东省深圳市南山实验教育集团中考二模数学试题

一.选择题（每题3分，共30分）

1.-2的倒数是（）

A.-2B.--C.gD.2

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1,则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）

求解.

【详解】解：・2的倒数是

故选：B.

【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握.

2.下列计算正确的是（）

A.a3-a2=a6B.a3+a3=a6C.as-i-a2=a6D.

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了整式的有关运算.根据同底数冢乘除法则、幕的乘方法则和合并同类项法则逐一判

断即可.

【详解】解：A、，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

B、,「4+"=勿3¥々6,...此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

c、，p8+a2=a6,...此选项的计算正确，故此选项符合题意；

D、（-/丫=_。6工46,...此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

故选：C.

3.5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上.用科学记数法表

示1300000是（）

A.13x10$B.UxlO5C.1.3xl06D.1.3xl07

【答案】C

【解析】

【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为"X10"的形式，其中

〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数

相同.当原数绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值<1时，〃是负整数.

【详解】解：1300000=1.3x1（）6,

故选：C.

4.教练组对运动员正式比赛前的5次训练成绩进行分析，判断谁的成绩更加承定，一般需要考察这5次成

绩的（）

A,平均数或中位数B.众数或频率C.方差或极差D.频数或众数

【答窠】C

【解析】

【详解】根据方差的意义：方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平

均数越大，即波动越大，反之也成立.同时，极差是最大与最小值的差，也反映波动越大小；故要判断谁的

成绩更加稳定；一般要考查这5次成绩的方差或极差.

故选C.

5.使代数式有意义的x的取值范围是【】

2x-l

A.x>0B.xw，C.xNO且xxlD.一切实数

22

【答窠】C

【解析】

【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为o的条件，要使且一在实数范围内有意义，

2x-l

x>0

x>0

必须｛=>1故选C.

2x-1^0xA一

2

6.在下列命题中，正确的是（）

A.一组对边平行的四边形是平行四边形B.有一个角是直角的四边形是矩形

C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行四边形、特殊的平行四边形的判定方法逐一判断即可解答.

【详解】解：A、一组对边平行且相等的叫边形是平行四边形，故A选项错误；

B、有一个角是直角平行四边形是矩形，故B选项错误；

C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C选项正确；

D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故D选项错误.

故选：C.

【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形

的判定方法是解题的关键.

7.在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P,Q,则PQ=（）

A.B.3一逐C.V5-2D.

22

【答案】c

【解析】

【分析】先根据黄金分割的定义得出较长的线段AP=BQ=^-AB,再根据PQ=AP+BQ-AI3,即可得出结

2

果.

【详解】解：根据黄金分割点的概念，可知AP=BQ=避二1x1二避二

22

则PQ=AP+BQ-AB二更二1

x2-l=V5-2

11II

AQPB

故选C

【点睛】此题主要是考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短

线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（五二1）叫做黄金比.熟记黄金分割分成

2

的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解.

8.如图，已知钓鱼竿AC的长为6机，露在水面上的鱼线8C长为3缶?，某钓者想看看鱼钩上的情况，

把鱼竿AC转动到AC的位置，此时露在水面上的鱼线为后根，则BB'的长为（）

c

A.yfltnB.2近niC.y/5mD.2#

【答窠】B

【解析】

【分析】利用勾股定理分别求出AB和AB，，再根据BB，=AB-AB，即可得出答案.

【详解】：AC=6〃?，BC=3近m,

JA"\lAC2-BC2=«2_（3&）2=3&m,

V4C=6/n,BC=4m,

・•・4A、C'2-BC2=«2-（衣）2=&如

:・BB』AB-AB』3yfi-&=2&机；

故选：B.

【点睛】考查了二次根式的应用和勾股定理，解题关键是根据已知条件求出AB和AB，的长度.

9.如图1,质量为阳的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态

下，弹簧的初始长度为10cm）.从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在

整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度Wcm/s）和弹簧被压缩的长度△/（cm）之间的关系图象如

图2所示.根据图象，下列说法正确的是（）

图1图2

A.小球从刚接触弹簧就开始减速B.当小球下落至最低点时，弹簧的长度为4cm

C.当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大D.当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm

【答案】B

【解析】

【分析】由图象，可知小球接触弹簧后的速度先增大后减小，当弹簧被压缩的长度△/=2cm时，小球的速

度最大，可知当弹簧被压缩的长度4=6cm时.，小球的速度为0,据此判断即可.

【详解】由图象，可知小球接触弹簧后的速度先增大后减小，故选项A的说法错误；由图象，可知当弹簧

被压缩的长度A/=2cm时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为10-2=8（cm）,故选项D的说法错

误；由图象，可知当弹簧被压缩的长度A/=6cm时，小球的速度为0,即小球停止运动，此时弹簧被压缩

至最短，小球下落至最低点，弹簧的长度为10-6=4（cm）,故选项B的说法正确，选项C的说法错误.

故选：B.

【点睛】本题考查了函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

10.在RtZXA5c中，NC=9O。，。为AC上一点，CD=®，动点P以每秒I个单位的速度从C点出

发,在三角形边上沿CfBfA匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点尸的运动

时间为笈，正方形。尸■的面积为S,当点P由点3运动到点A时，经探究发现S是关于，的二次函数，并

绘制成如图2所示的图象.由图象可知线段A8的长为（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了求二次函数解析式，解题的关键是：从图中获取信息.在Rt△尸CO中，

CD=6,PC=t,则5=2。2=*+（夜）2=»+2,求得8C的长，用顶点法，设函数解析式，用

待定系数法，求出函数表达式，即可求解，

【详解】解：在Rt^PCD中，CD=g，PC=3则S=P£>2="+（&J=r2+2,

当S=6时，6=产+2,解得：t=2（负值已舍去），

:.BC=2,

・•・抛物线经过点（2,6）,

•・•抛物线顶点为:（4,2）,

设抛物线解析式为：S=a（r-4）2+2,

将（2,6）代入，得：6=a（2-4）2+2,解得：a=l,

AS=（r-4）2+2,

当y=18时，18=（f—4）?+2,f=0（舍）或f=8,

・・・A5=8-2=6,

故选：B.

二.填空题（共4小题）

11.分解因式：+18-12工=.

【答案】2（x-3）2

【解析】

【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解.一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用

其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

【详解】解：232+18-12%

=2（X2-6X+9）

=2（7）2,

故答案为：2（无一3）2.

12.若a,b是关于x的方程X2一2%一2022=0的两个实数根，则3々一〃=一.

【答案】2020

【解析】

【分析】由m〃是关于x的方程/一21-2022=0的两个实数根得，t72-2a=2022,a+b=2,再整理

代数式即可求得答案.

【详解】解：。是/_2工一2022=0两个实数根，

2。-2022=0,a+b=2,

即a2-2a=2022,

a2-3a-b=a2-2a-(a+b)=2022-2=2020,

故答案为：2020.

【点睛】本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出

a2-2a=2022,。+〃=2是解题的关键.

13.如图，已知半径为1的OO上有三点A、B、C,OC与交于点。，

^ADO=85。，ZCAB=20°,则阴影部分的扇形QAC面积是.

【答案噫

【解析】

【分析】根据三角形外角的性质得到NC=NADO-NC4B=65。，根据等腰三角形的性质得到

ZAOC=50°,由扇形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：•・•ZADO=85°,NC4B=20°,

・•・NC=ZADO-ZCAB=65°，

,：OA=OC,

・•・ZOAC=ZC=65°,

・•・ZAOC=50°，

・•・阴影部分的扇形OAC面积="M"，

36036

故答案为谖・

36

【点睛】考核知识点：扇形的面积.记住公式是关键.

14.如图，在"IBC中，。是8C边上的中点，连接A。，把△430沿AO翻折，得到二AD9，。&与

AC交于点E，若BD=2,AD=3五，ZADB=45°,则V4OE的面积是一.

A

Ds

9

【答案】-

【解析】

【分析】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质.过A作AK_LC8于K，由NA£>8=45。，可

得AIDK是等腰直角三角形，即得。K=M=3,根据。是5C边上的中点，BD=2,可得

CK=CD+DK=5,由把△ABO沿AO翻折，得到AAD?',可得=90。=/CDE,。七〃AK，即

知△CDaFCKA,对应边成比例求出QE,进而利用三角形的面积即可解决问题.

【详解】解：过A作AK_LCB于K，如图：

ZADB=45°,

/\ADK是等腰直角三角形，

AD=3\/2»

..DK=AK=—AD=3,

2

力是8C边上的中点，比）=2,

:.CD=BD=2,

:.CK=CD+DK=5,

.把△ABZ）沿A。翻折，得到人4）9,

:.ZADB,=ZADB=45°,

々D&=90。=ZCDE,

・・・0E〃AK，

:^CDE^/\CKA,

.CDDE

'~CK~~AK'

2DE

即nn一=--->

53

:.DE=-,

5

SACDF=~CD•DE=-x2x—=—,

EE2255

S.=—CD-AK=—x2x3=3,

4fD22

9

故答案为：

15.已知如图，直线y=-x分别与双曲线了二竺(加>0,x>0)、双曲线y=4(〃>0,x>0)交于点

3xx

A，点5,且竺二］，将直线y=向左平移6个单位长度后，与双曲线)，二2交于点C，若

OA33x

5必死=4,则加〃的值为

【答案】100

【解析】

【详解】分析：根据平移得出平移后的直线解析式，从而得出点E的坐标，根据点到直线的距离得出EF的

长度，根据三角形的面积计算法则得出AB的长度，从而求出OA的长度，得出点A和点B的坐标，从而

求出m和n的值得出答案.

?22

详解：直线y=向左平移6个单位后的解析式为y=§(x+6),即y=§x+4,

2

工直线>=一工+4交y轴与点E(0,4),作EF_LOB于F,

・•・根据点到直线的距离公式可得：EF=—V13,

13

「△ABC的面积为4,.*.AB=-V13,VOA=-AB,：,OA=J\3tAA(3,2),B(5,—),

323

1050

m=3x2=6,n=5x—=—,/.mn=100.

33

点睛：题目考查反比例函数和一次函数综合，综合性比较强，涉及一次函数的平移，求解析式，联立方程

求交点，两点之间的距离公式，两条平行线之间的距离，反比例函数解析式的求解等，知识点比较多，对

学生综合能力要求比较高.

三.解答题(共7小题)

16.计算：|-2|+sin60°・标-(-11)2+22

【答案】-述

2

【解析】

【分析】先去绝对值，计算根式与进行基的运算，再合并同类项即可解答.

【详解】原式=2-心喙7技小看

乙AJ

-773

2,

【点睛】掌握去绝对值，计算根式和基的运算是解答本题的关键.

17.如图，在平面直角坐标系中，AABC的顶点坐标分别是4(0,4),8(0,2),c(3,2).

(1)以点。为旋转中心，将/8C旋转180。，画出旋转后对应的44旦G；

（2）将M8C平移后得到△&82G，若点A的对应点4的坐标为（2,2）,画出△&gG，并求AAGC?

面积.

【答案】（1）见解析（2）见解析，11

【解析】

【分析】（1）根据中心对称的性质分别作出A、B、。的对应点4、4、C「再顺次连接即可得到答案；

（2）根据平移变换的性质分别作出A、B、。的对应点A?、层、C2,再顺次连接即可得到答案，利用割

补法即可求出AAC,C2的面积.

【小问1详解】

解：,将平移后得到△&62c2,点A（0,4）的对应点外的坐标为（2,2）,

・•・・・.ABC向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到△4层。2,

如图，即为所作:

冬

S,=4x8--x2x3--x5x4--x2x8=ll.

•小Al片9c222

【点睛】本题考查了作图一旋转变换，坐标与图形变化一平移，利用网格求三角形的面积，解题的关键是

熟练掌握旋转变换、平移变换的性质.

18.“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷.为了解我

校“双减”政策的实施情况，校学生会在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查，问卷共设有四个选

项：A—学校作业有明显减少；学校作业没有明显减少；C—课外辅导班数量明显减少；。一课外辅导

班数量没有明显减少；E—没有关注；已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所

有的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

请你根据以上信息，回答下列问题:

（1）本次接受调查的学生共有人；加=°：〃=:

（2）补全条形统计图；

（3）该校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，

其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示）,3个为九年级班级（分别用C、。、E表示）,由于报名参

加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展

活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动.请用列表法或画树状图的方法求两次选

中的既有八年级班级又有九年级班级的概率.

【答案】（1）200,144,20

3

（2）见评解（3）-

【解析】

【分析】（1）设D人数为x人，由图可列方程求解；求出A类所占的百分比，乘以360。即为加的数值；用

。类的人数除以总人数即得〃的数值：

（2）由（1）求得的数值补全即可；

（3）画出树状图，然后得到符合条件的种类，代入概率公式即可求得；

小问1详解】

解：设D人数为x人，由图可得：

-------------------二15%，

80+30+40+X+20

解得：x=3O,

，总人数为:志30=200人，

15/o

on

m=—x360°=144°,

200

40

〃％二——x100%=20%,

200

-*•«=20.

【小问2详解】

解：如图

解：树状图如图:

BCDEACDEABDEABCEABCD

既有八年级又有九年级的情况有12种，

【点睛】本题考查了数据的描述，相关知识点有：求总人数、圆心角度数、百分比、补全条形统计图、树

状图求概率等，准确提取题目中的数据是解题关键.

19.遵义市开展信息技术与教学深度融合的精准化教学，某实验学校计划购买A,3两种型号教学设备，

已知A型设备价格比8型设备价格每台高20%,用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买8型设

备的数量多4台.

（1）求A,。型设备单价分别是多少元？

（2）该校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于8型设备数量的设购买。台A型设

3

备，购买总费用为卬元，求卬与。的函数关系式，并求出最少购买费用.

【答案】（1）A,8型设备单价分别是3000,2500元.

（2）w=5（Xk/+125（XX）,最少购买费用为131500元

【解析】

【分析】（1）设8型设备的单价为x元，则A型设备的单价为（1+20%）x元，根据题意建立分式方程，解

方程艮1可求解；

（2）设8型设备的单价为x元，则A型设备的单价为（l+20%）x元，根据题意建立一元一次不等式，求

得。的最小整数解，根据单价乘以数量即可求的w与〃的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少

购买费用.

【小问1详解】

解：设4型设备的单价为4元，则A型设备的单价为（l+20%）x元，根据题意得，

3000015000.

1.2Ax

解得工=2500,

经检验尤=2500是原方程的解，

A型设备的单价为（1+20%）X2500=3000元；

答：A,8型设备单价分别是3000,2500元.

【小问2详解】

设购买。台A型设备，则购买B型设备（50-。）台，依题意，

4之^（50-4）,

25

解得a>――,

2

的最小整数解为13,

购买总费用为卬元，卬=3000。+2500（50-a）=500a+125000,

/.w=500。+125000,

500>0,卬随。的增大而增大，

.•.々二13时，卬取得最小值，最小值为500x13+125000=131500.

答：最少购买费用为131500元.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是

解题的关键.

20.如图，A3为00的直径，C为B4延长线上一点，CD是OO的切线，。为切点，O尸上AD于点

E，交C。于点F.

【答窠】（1）证明见解析

（2）3

【解析】

【分析】（1）连接0。，得到ZODC=90。，结合ZADB=90。求得ZADC=NODB,然后利用OD=OB

得到Z.ODB=ZOBD,从而得到ZADC=NOBD,再利用OF±4）得至ijOF//BD,从而ZAOF=Z.OBD,

最后得证结果；

（2）根据三角形的中位线定理得到OE=12,根据相似三角形的性质得到石尸的长度.

【小问1详解】

证明：如图，连接0。，则=

CD是。。的切线，AB是：O的直径,

.,.N8C=NADB=900,

:.ZADC=ZODB,

:.ZADC=ZOBD,

又・.0bJ.A。，

/.ZOEA=ZAD5=90°,

:.OF//BD,

;.ZAOF=NOBD,

:.ZADC=ZAOF

【小问2详解】

解：•；OF//BD,OA=OB,

,AEAO

..-----=------=1t,

DEOB

・•・AE=DE,

」.OE是△ABO的中位线，

:.OE=-BD=-x2A=\2

22f

CD4

,cosZDCfi=—=-,

OC5

设CQ=4x,OC=5x,

:.0D=yl0C2-CD2=3x»

/.OB=3x,

..CB=OC+OB=Sx,

•・•OF//BD,

:.△COFs^CBD，

OCOF

•------=-----，

BCBD

,5xOF

.\OF=15,

..EF=OF-OE=15-12=3.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、平夕亍线的判定和性质、解直角三角形，三角形的中位线定理、相似三

角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键.

21.【定义】

例如，如图1,过点A作A交《于点8,线段A8的长度称为点A到《的垂直距离，过A作A。平行

于交4于点C,AC的长就是点A到L的竖直距离.

当4与x轴平行时，AB=AC,

当4与x轴不平行，日直线确定的时候，点到直线的垂直距离4K与点到直线的竖直距离AC存在一定的

数量关系，当直线4为丁=5彳+1时，AB=AC.

【应用】

如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为30。，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高2m，现

给该草坪洒水，已知小树底端点A与喷水口点O的距OA=2m,建立如图2所示的平面直角坐标系，

在喷水过程中，水运行的路线是抛物线y=-Y+Zu-，且恰好经过小树的顶端点3,最远处落在草坪的C

处，

（1）b=.

（2）如图3,现决定在山上种另一棵树AW（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固

树，沿斜坡垂直的方向加一根支架PN,求出PN的最大值.

【拓展】

（3）如图4,原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y

轴相切于点0,若此时0C=4石m,如图，种植一棵树MN（垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出

MN最高应为多少？

【答案】探索：—应用：（1）2G（2）空叵拓展：（3）

5243

【解析】

【分析】探索:先求得P（0,l）,Q（-2,0）,再运用勾股定理求得尸。=逐，证得448CSGQOP,利用相似

三角形性质即可求得答案；

应用：（1）延长K4交x轴于点“，则4"。=90。,利用解直角三角形可得B（G,3）,把8（百,3万弋入

、=-/+法，即可求得答案；

（2）利用待定系数法可得直线0C的解析式y=设M〃则N（t,-『+2石）可得

MN=-t2+2y/3t--t=--t2»进而可得

323

PN=MNsin/NMP=一立。一也、+生叵，运用二次函数的性质即可得出答案；

216\24

拓展：取0C的中点G,作G"_LOC交*轴于点“，延长”G交圆弧于点N,过点N作“V||y轴交

OC于点此时MN最大，运用垂径后理可得0G=，0C=2jim,再利用解直角三角形即可求得答

2

案.

【详解】探索：•・•直线6为y=；x+l,如图，设直线4与X、y轴分别交于0、P点,

令x=0,得y=l,

:.尸（0,1）,即OP=1,

令y=o,得3+1=0,

2

解得：x=—2»

/.2(-2,0),即。。=2,

・・•AC||y轴，

.-.Z1=Z4CB,

・・•N1=NQPO,

z.ZACB=/QPO,

・・・ZA8C=NQ0P=90。，

:ABCs&QOP,

,AB_OQ_2_2y/5

'~^C=~PQ=15=~y

=—AC，

5

故答案为：也：

5

应用：（1）如图，延长84交x轴于点"，则NA”O=90。,

N4OH=300,OA=2m,

...AH=^-OA=\mfOH=OAcosZAOH=2cos30°=2x3=百，

22

AB=2m，

..=48+A//=2+1=3（m）,

川后3）,

把B（6,3）代入y=一冗2+法得：-3+、①=3,

解得：b=2^3»

故答案为：26；

（2）由（1）知，设直线OC的解析式为y=Ax，则辰=1，

解得：k=—

3

如图，设M1将

，则N«,-『+2>/5/）,

:.MN=-t2+2yf3t--t=-t2+—l，

33

-Z1=30°,

...N2=60。，

,:MN\y轴,

.-.ZWP=Z2=60°,

〈NPLOC,

:"NPM=琳，

.一旦。，

2

・•・当，=述时，RV取得最大值空亘，

624

答：PN的最大值为竺叵.

24

【拓展】如图，取0C的中点G,作G"_LOC交x轴于点“，延长”G交圆弧于点N,过点N作

MNy轴交0C于点此时MN最大，

VOC=4x/3m,HGIOC,

/.OG=-OC=2y/3mf

2

RLOOT中，NCOH=30。,

GH=OGtanNCOH=2>/3tan30o=2百x苧=2（m），

OH=2GH=4m,

又・；HN=OH=4m,

:.NG=HN—GH=4-2=2（喻,

.-.Zl=30°,

.•.Z2=90°-30°=60°,

MNIy轴,

...Z/WG=/2=60°,

ZNGM=90。，

»NG24、

/.MN=-------------=---------=_,3(m),

sinNNMGsin60°3')

答：MN最高应为士JJm.

3

【点睛】此题是二次函数综合题,主要考查了二次函数的应用，二次函数最值求法，待定系数法求函数解

析式，解直角三角形，圆的性质,垂径定理等，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键.

22.【探究发现】

(1)如图1,正方形ABCO两条对角线相交于点0,正方形A4G。与正方形ABCD的边长相等，在正方

形A4G。绕点0旋转过程中，边。4交边A8于点M,边0G交边BC于点N.

①线段BM、BN、AB之间满足的数量关系是：

②四边形0MBN与正方形ABC。的面枳关系是S四边形OMBN=S正方形做0:

【类比探究】

(2)如图2,若将(1)中的“正方形ABCD”改为“含60。的菱形ABCD”，即

ZB,OD,=ZDAB=60°,且菱形。片G。与菱形48CO的边长相等.当菱形。4GR绕点。旋转时,

保持边。片交边AB于点M,边。。交边BC于点N.

请猜想：

①线段8M、BN与48之间的数量关系是；

②菱形OMBN与菱形ABCD的面积关系是S