南京市、盐城市2024届高三年级第二次模拟考试数学试卷(含答案)

南京市2024届高三年级其次次模拟考试

数学2024.03

留意事项：

1.本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分.本试卷满

分为160分，考试时间为120分钟.

2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在省博

纸上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.

参考公式：

柱体的体积公式：V=Sh,其中S为柱体的底面积，/?为柱体的高.

圆柱的侧面积公式：SK=2itRh,其中R为圆柱的底面半径，为圆柱的高.

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位

置上）

1.函数/k）=lnx+yi—x的定义域为▲.

2.已知复数zi=—2+i,Z2=a+2i（i为虚数单位，a£R）.若zg为实数，则。的值为▲.

3.某地区教化主管部门为了对该地区模拟考试成果进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名

学生的成果，并依据这1000名学生的成果画出样本的频率分布直方图（如图），则成果在［300,350）内的

学生人数共有▲

（第3题图）

4.盒中有3张分别标有1,2,3的卡片.从盒中随机抽取一张登记号码后放回，再随机抽取一张登记号

码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为▲.

5.已知等差数列｛诙｝的公差1不为0,且的，的，的成等比数列，则号的值为

6.执行如图所示的流程图，则输出的左的值为▲.

（第6题图）

_TT

7.函数段)=Asin(s+9)(A,o,0为常数,&>0,。>0,0<9<兀)的图象如下图所示,则灼)的值为-4^

?2(第7题图)

8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线5一立=1(40,b>0)的两条渐近线与抛物线V=4x的准线相交于

A,B两点.若△A03的面积为2,则双曲线的离心率为▲.

9.表面积为12%的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为▲.

——>2冗—1—>■1—>——

10.已知|OA\=1,\OB|=2,ZAOB=y,OC=]OA+1OB,则OA与0c的夹角大小为▲.

11.在平面直角坐标系尤Oy中，过点尸(5,3)作直线/与圆f+y2=4相交于A,B两点,若。则

直线I的斜率为▲.

12.已知人x)是定义在R上的奇函数，当OWxWl时，八x)=f,当x>0时，/U+l)=/a)+/(l),且.

若直线>=质与函数y=/(尤)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为▲.

13.在△ABC中，点。在边BC上，且。C=2BZ),AB：A。：AC=3:k：1,则实数B的取值范围为▲.

14.设函数式x)=ax+sinx+cosx.若函数/(x)的图象上存在不同的两点A,8,使得曲线y=/U)在点A,B

处的切线相互垂直，则实数a的取值范围为▲.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1.(0,1]2.43.3004.|5.26.47.1

1757

8.小9.210.60°11.1或刃12.2^2-213.卬R14.[-1,1]

二、解答题(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写

在答题纸的指定区域内)

15.(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P—ABC。中，底面为矩形，平面B4B_L平面48C。，PALPB,

BP=BC,£为PC的中点.P

(1)求证：AP〃平面BDE；

(2)求证：BE_L平面E4c.多

15.证：(1)设ACnB£)=。，连结OE./

BC

(第15题图)

因为ABCD为矩形，所以。是AC的中点.

因为£是尸C中点，所以。E〃AP..................................4分

因为平面BOE,OEu平面

所以AP〃平面................................6分

（2）因为平面朋8_L平面48cD,BCA.AB,平面出8C平面ABCr>=AB,

所以BC_L平面RLB................................8分

因为APu平面所以8C_LB4.

因为BCCPB=B,BC,PBu平面P8C,

所以巩_L平面尸8c..................................12分

因为平面P8C,所以m_L8E.

因为8P=PC,且E为PC中点，所以BELPC.

因为PAAPC=P,PA,PCu平面融C,

所以BE_L平面PAC..................................14分

16.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，角a的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆。交

于点A（xi，yi）,aG（？f）.将角a终边绕原点按逆时针方向旋转;，交单位圆于点8（孙立）.

（1）若羽=|,求尤2；J|V

（2）过A,8作x轴的垂线，垂足分别为C,D,记△AOC及1\/V\

△3。。的面积分别为Si,$2,且Si=，S2，求tana的值.---r-----t\d—（'~/—"7

16.解：⑴解法一：因为无i=|,yi>0,所以

、.43

所以sina=q,cosa=g...................2分（第16题图）

所以X2=cos（a+^）=cosacos^—sinasin^=一噜•..........................6分

解法二：因为Xi=j,yi>o,所以yi=4l二工=亍4（亍不>，则。4=（手m），.......2分

_*,_*--►­►―►34

。8=（尤2,>2），因为0A•。8=|。川|OB|cos/AO8,所以亨2+初2=专……4分

又检2+力2=1,联立消去以得50/—30^X2—7=0

解得X2=—H•或需，又X2<0,所以X2=一..................6分

解法三：因为尤1=亍％>0,所以％='[—为=亍因此Aq,g），所以tana=§............2分

所以tan（a+；）=1^^=—7,所以直线05的方程为y=—7x....................4分

由t+y?；得%二士哈，又X2<0，所以X2=—*!"•....................6分

（2）Si=；sinacosa=-$112。..................................8分

因为仁仁小分所以a+*g,竽）.

171711711

所以S2=1]sin（a+a）cos（a+R=一取,（2仪+5）=一不°$2。.......................10分

444

因为Si=]S2，所以sin2a=—gcos2a,即tan2a=一『...........................12分

所以]1：*。=-'解得tan“=2或tana=—1\因为“£小各，所以tana=2............14分

17.（本小题满分14分）

如图，经过村庄A有两条夹角为60。的马路ABAC,依据规划拟在两条马路之间的区域内建一工厂产,

分别在两条马路边上建两个仓库M、N（异于村庄A）,要求PM=PN=MN=2（单位:千米）.如何设计，使

=等1?(6+60。)一号叵sin(6»+6O°)cos(6»+60°)+4

=|[l-cos(26+120。)]-乎sin(26*+120°)+4

oof)

=—w[小sin(20+12(T)+cos(20+120°)]+y

=y-ysin(26»+150°),0e(0,120°)...................................................................12分

当且仅当2。+150。=270。，即。=60。时，4尸取得最大值12,即AP取得最大值25.

答：设计/AMN为60。时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.14分

解法二（构造直角三角形）:

设/尸河。=仇在中,

：PM=2,.•.PO=2sin仇MD=2cos6».2分

MNAM

在△ANN中,皿=仇•••诉=痂,

4s4、巧TTMDB

AM=3sin。，.\AD=3sin0+2cos。，(62］时,结论也正确).“6分

第17题图

AP2=AD2+PD1=(^^sine+2cos0)2+(2sin^)2

=^sin2^+^^sin0cos0+4cos20+4sin2^

8分

16l-cos26*,4^3,.4s.-8_,20

=亍•---2-----+U-sin29+4=F-sin29—§cos29+w

=苧+竽sin(28-奇，9£(0,

12分

当且仅当2。一台多即时，A/取得最大值12,即AP取得最大值2小.

此时AM=AN=2,ZPAB=30°14分

解法三：设AN—y,ZAMNa.

在△AMN中，因为MN=2,/MAN=6。。,

所以MN2=AM2+AN2-2AM-AN-cos/MAN,

即j(2+y2—2xycos60o=x2+y2—xy=4.2分

MNAN即嬴=就，

因为

sin60°sin。'

f+4一,2/+(^2―孙)2x—y

所以sinceC0Sa=6分

'2X2Xx4x4

1坐sina=512x-yV3x~2y

2'4^-4.分

cosZAMP=cos(a+60°)=1cosa—48

在△AM尸中，AP2=AM2+PM2~2AM-PM-cosAAMP,

即AP2=x2+4—2X2XxXX^=x2+4—x(x—2y)=4+2xy.

12分

因为/+y2—孙=4,4+xy=x1+y2^2xy,即孙W4.

所以4尸2《12,即APW2小.

当且仅当x=y=2时，A尸取得最大值2小.

答：设计AM=4V=2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.14分

解法四（坐标法）：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系.

设M(xi，0),N(X2,小尤2)，P(xo,yo).,:MN=2,

(xi—尤2>+3考=4.2分

X1+X2A/3

MN的中点K(-2-，2

•••△MNP为正三角形，且MN=2.：.PK=®PK±MN.

2%1X222

PK=(x0—^)+(jo-^V2)=3,

过二一2及一

kMN,kpK=一1,X2-XlXl+%21,6分

k——

2X2)2

.,,_<.XI—X2Xi+x2近、(为-X1+x22

•yo—2X2=yl^X2X°——2~..的—2%2)=3^(沏一—2~

%2)2»+愈2公日n4Xl+%22、,/%1+&29.

・・(1+~^2-)(X0-2)-3,即对(沏一.3一)’=3,・・(必一2)科・

..Xl+X2、e.X|+x23

•XQ20,,Xo22'2，

，xo=宁1+2x2，.*.yo—2^i-..................................................................8分

=4+4x1X2^4+4X2=12,..................................................................12分

即APW2小.

答：设计AM=AN=2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.....................14分

解法五（变换法）：以A3所在的直线为I轴，A为坐标原点，建立直角坐标系.

设M（xi，0）,N（m，小大2），尸（%o，yo）.

,:MN=2,，（为一%2）2+3芯=4.即X^+4X^=4+2XIX2

4+2XIX24XIX2，即XIX2^2....................4分

・・•△MNP为正三角形，且MN=2.・・・PK=&PK±MN.

就顺时针方向旋转60。后得到加.

MP=(xo-x\,yo),MN=(X2—X1,/ixi).

1句

22X2-xi_xo-xi

即

y[31L/X2JLyo

—22_

w/b川+*一。一坐（&—）+坐孙

；.xo=2x2+gxi，jo=2X1,..................................................................8分

13

，Ap2=君+亦=(2X2+'X1)2+科=X；+4X1+2XIX2

=4+4x1X234+4X2=12,..................................................................12分

即APW2小.

答：设计AM=AN=2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.....................14分

解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN不动，点A在运动.

由于/MAN=60。，.•.点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上，■

设圆弧所在的圆的圆心为R半径为R,

由图形的几何性质知：AP的最大值为PF+R.……

MN

在△AMN中，由正弦定理知：金斌=2R

2

.FM=FN=R=忑■,又PM=PN,；.尸尸是线段的垂直平分线.

设PF与MN交于E,则F^=FM?-M守=E-12=^.

即产£=号，又PE=小..............................................12

4L

；.PF=忑,：.AP的最大值为PF+R=2事.

答：设计AM=AN=2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小....................14分

18.(本小题满分16分)

在平面直角坐标系xOy中，己知椭圆C：a+%=13>6>0)的左、右焦点分别为B，焦距为2,

一条准线方程为尤=2.尸为椭圆C上一点，直线尸入交椭圆C于另一点。.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点P的坐标为(0,b),求过P,Q,B三点的圆的方程；

---A---A1------------A

(3)若尸1尸=2。­，且465，2],求。尸•OQ的最大值.

2c=2,

(1)解：由题意得解得C=1,a2=2,所以〃=/一(？=1.

、。一’

所以椭圆的方程为与+丁=1...................................................................2分

(2)因为P(0,1),Fi(-1,0),所以产品的方程为x—y+l=0.

x+y+l=O,r_i

解得[二：或x:=所以点Q的坐标为（一4-1）.

4分

V’〔尸一彳

解法一：因为好仃作巧=一L所以△尸。尸2为直角三角形.................6分

因为QE的中点为（一看，一:），2出=平，

112s

所以圆的方程为（关+粉+⑪+看尸学................8分

解法二：设过P,Q,&三点的圆为龙+项+尸=0,

号,

l+£+F=O,

l+D+F=O,解得〈E=j,

v3

114

所以圆的方程为―+产+#+3一.。.8分

(3)解法一：设P(xi，yi),0(X2,y2),则Q尸=5+1,%),QFi=(-l-x2,~y2).

因「为、t“——>—>所以t+=—1—X2)X\=_1一丸_2x2,

J1=T》2，

i一夕

解得12分

所以。尸•OQ=xi%2+yiy2=%2（—1-忒2）-%y；=一下2之一（1+2）%2-2

A1—32^1—3275.1八

=一，f）（1+，）•万厂'.................................14分

因为46[1，2],所以2十拉2y2.：=2,当且仅当4=:,即4=1时，取等号.

所以苏•双鸟即凉.双最大值为今.................................16分

解法二：当尸。斜率不存在时，

在弓+丁=1中，令犬=-1得y=±当

J?Jl1「1"I

所以0尸•0Q=-lx(―1)+-^-x(——)=—,止匕时2=]e—,2.........................................2

当PQ斜率存在时，设为匕则尸。的方程是y=A(x+l),

y=k(x+Y),

由2一得(1+2的♦+4&+2於一2=0,

—4422k2-2

韦达定理X]+X、---------------7，王羽=-----74

1+2421-1+2公

设尸(Xl，Jl),Q(X2,竺)

xx

则OPOQ=x1x2+%%=i2+左2(玉+1)(%+1)

2

=(左2+1)再入2+/2(再+X2)+k

2k2-2-4左2

+k2+k2

1+2左21+242

_左2—2

6分

―1+2/2

151

-----------Z-<一

22(1+2k~)2

OP的最大值为今此时;l=le-,2........................8

12_

19.(本小题满分16分)

「八一、r〃ax-\-b

已知函数八%)=〉-],a,Z?eR,且。>0.

(1)若a=2,b=l,求函数八%)的极值；

(2)设g(x)=a(x~l)ex~f(x).

①当〃=1时，对随意x£(0,+8),都有g(x)，l成立，求b的最大值；

b

②设g<%)为g(%)的导函数.若存在％>1,使ga)+g<x)=o成立，求I的取值范围.

解：(1)当a=2,b=l时，/(x)=(2+!)ex,定义域为(一8,0)U(0,+°°).

btr(x+1)(2X—1)

所以广(无)一'%e\............................……2分

令fa)=o,得为=—L忿=2,列表

(一8，11份

x—1(—1,0)(o,5)5

—1)+co)

f'(x)+0--0+

极微小

/(x)/\X/

大值值

由表知/⑴的极大值是/(—l)=e?/(x)的微小值是/g)=4&.

4分

b

(2)①因为g(冗)=3%—4贮一/(%)=(初一1一2〃)9,

h

当。=1时，g(x)=(x--—2)ex.

因为g(x)21在(0,+°°)上恒成立，

所以反,一2x一也在(0,+°°)上恒成立..................................8分

记/z(x)=f—2x一3(x>0),贝!j〃(x)=^~D/+”•

当0<xVl时，〃(x)<0,/i(x)在(0,1)上是减函数;

当了>1时，勿任)>0,/z(x)在(1,+8)上是增函数.

-1

所以h(x)min=h(l)=—1—e.

所以b的最大值为一1一er.10分

b

xx

解法二：因为g(x)=(ax—a)e—f(x)=(ax—~—2d)e9

h

当4=1时，g(x)=(x---2)ex.

因为且(兀)21在1£(0,+°°)上恒成立,

b

所以g(2)=—”2>0,因此6co.6分

(X—DC?—b)e'

x2

因为6<0,所以：当0<x<l时，g，(x)<0,g(x)在(0,1)上是减函数;

当尤>1时，g'(x)>0,g(x)在(1,+8)上是增函数.

所以g(X)min=g(D=(一1—................................8分

因为g(X)21在XG(0,+8)上恒成立，

所以(T一堆一121,解得6W—1一-1

因此6的最大值为一1一屋1..................................10分

bbb

②解法一：因为g(x)=(ax—彳-2a)e*,所以g，(无)=(7+6-a)e1

bbb

xx

由g(x)+g<x)=0,^(ax---2a)e+(^2+ax—~—a)e=0f

整理得2axi—3Q/—2ta+/?=0.

存在％>1,使g(x)+g口)=0成立，

等价于存在%〉1，2加一3加一2bx+b=0成立..................................12分

Li、r「Lt、rb2X3-3X2

因为〃>0,所以;;=：—1.

a2x-l

2^—3/8X［(X-|)2+-^］

设“(%)=2「］(尤>1)，则u'(x)=g_ip•

因为尤>1,M(x)>0恒成立，所以"(x)在(1,+8)是增函数，所以“(x)>"(l)=—1,

hh

所以］>—1,即］的取值范围为(一1,+°°)..................................16分

bbb

解法二：因为g(x)=(ax—1一2〃)e%,所以g'(x)=(j+〃x—(一

hbb

由g(x)+g<%)=0,得(〃%—［一2〃)匕*+*+依一(一〃把，=0,

整理得2a%3—3ax2bx+b=0.

存在％>1,使ga)+g%x)=O成立，

等价于存在1>1，2。必一3ar—Zbx+b：。成立..................................12分

设w(x)=2d1%3—36Z%2—2bx+b(x1)

u,(x)=6ax1—6ax—2b=6cix(x—l)—2b^-2b当bW。时，u\x)20

此时〃(%)在［1,+8)上单调递增，因此〃(x)2"(l)=一〃一b

因为存在x>l,2Q%3—3ax2/?x+b=0成立

b

所以只要一a—Z?V0即可，此时一1V/W0.................................13分

、1,,人3«+A/9«2+16ab3a+yl9a13,口

当b>Q时，令xo=---------->---瓦---=2>1,得"(%o)=b>。，

又打(1)=一〃一匕VO于是〃(%)=0,在(1,必)上必有零点

b

即存在x>l,2始3—3〃二2~2/?%+。=0成立，此时,>0.................................15分

综上有，b的取值范围为(-1,+8)..................................16分

20.(本小题满分16分)

已知数列｛斯｝的各项都为正数，且对随意N*,。2〃，3rH成等差数列，

。2〃，。2"+1，。2〃+2成等比数列.

(1)若〃2=1，45=3,求41的值；

(2)设的<。2，求证：对随意〃£N*,且〃N2,都有也〈丝.

Cln"1

解：(1)解法一：因为。3,以，。5成等差数列，设公差为d,则〃3=3—2",4Z4—3—

03(3—2.2

因为〃2,〃3,44成等比数列，所以〃2=£=-3-d-............3分

(3—2.233

因为〃2=1,所以3—d=1，解得d=2,或d=W.因为斯>0,所以1=鼠

1

因为41,42,43成等差数列，所以。1=242—。3=2—(3—24=，..........5分

解法二：因为〃1，〃2，〃3成等差数列，"2，的，〃4成等比数列，。3，〃4，。5成等差数列,

2=%+〃3

贝！Jva；=%，..........3分

2%=%+3

331

则2〃32=。3+3，解得。3=5或。3=—1（舍），所以。1=2—]=5。......5分

解法三：因为“I，"2，〃3成等差数列，则。3=2—。1，

因为42,俏，。4成等比数列，则。4=Q—................3分

因为。3，44，。5成等差数列，则2%=%+〃5，则2（2—I]）?=2—%+3

解得：41=3或。]=＜；当〃1=3时，〃3=-1（与。〃＞0冲突，故舍去），所以%二g.

.......5分（注：没有舍去一解，扣1分）

（2）证法一'：因为〃2〃-1，。2〃，。2〃+1成等差数列，。2〃，。2〃+1，。2〃+2成等比数列，

斯F以2a2n〃2〃-1+。2〃+1，（X）〃2〃+1。2〃。2〃+2,②；所以。2〃2H=。2八-2。2〃，〃22.③

所以#。2〃-2。2〃+｛。2〃。2〃+2—2a2H•

因为斯＞0，所以2+寸。2〃+2=2*\/。2〃•..........7分

即数列｛E｝是等差数列.

所以7@2〃=37+（九一I）（y[a4—y[a2）.

由〃1，。2及。2〃-1，。2〃，〃2什1是等差数列，Qin，。2〃+1，。2什2是等比数列，

r/日（2〃2-Qi）?门八

可得44=—；-----............8分

。2

（〃2—+m

所以+（n~I）（y[a4—y[a2）=

y［a2

2

在I、|[（a2-ai）n+ai]

所以痣”=—-—.................1。分

[（。2—。1）（〃+1）+。1]2

所以。2八+2=

。2

..工I------［（〃2-的）〃+的］［（〃2-〃1）（〃+1）+〃1］

从nu。2〃+1=7。2〃。2〃+2=-，

[（。2一的）（〃-1）+。1][（。2—。。为+⑶]

所以1—................12分

〃2.

①当n=2m,m£N*时，

［（故―41）根+〃1］［（〃2-。1）（加+1）+〃1］

斯+1〃2〃2。2（。2一〃1）（根+1）+。102

ClnCl\（。2一41）根+。1a\

42

皿。1—42）2八

〃1［（〃2—的）机+〃1］＜①四刀

②当〃=2加一1,m£N*,小22时，

［（〃2—〃1）—+〃1］2

念+102^2〃2（仅一〃1）瓶+〃102

Clna\［（。2一。1）（加一1）+41］［（〃2—〃1）加+〃1］41m―1）+。1的

〃2

_一0—1）（。］—42）2＜0

-〃1）（机—1）+〃11*

综上，对一切〃金N*,心2,有............16分

an

证法二：①若〃为奇数且时，则斯，斯+i,即+2成等差数列.

Pi-,yt^n+2斯+1斯+2斯an+1（2斯+1斯）斯。«+1（〃九+1斯）,八

因为-----=-------------=------------------=---------W0,

〃八+i

匚匚I、I斯+2〃+1

所以忘9分

"221,+2

②若"为偶数且时，则跖”为+斯成等比数列，所以女型=%11分

斯+1斯

斯+2-。九+1——。3

由①②可知，对随意〃三2,〃£N*,—w—W…w—,13分

a~n+1CL2

43"22a21〃22〃2〃1一“一疗（0一。2）2

又因为一。

〃2CL\42〃2〃1〃2〃1

因为见〈口2，所以15分

a2al崂喘

综上，等〈殳16分.

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南京市2024届高三年级其次次模拟考试

数学附加题2024.03

留意事项：

1.附加题供选修物理的考生运用.

2.本试卷共40分，考试时间30分钟.

3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在笞

博纳上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.

21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答卷卡指定区域

内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.选修4—1：几何证明选讲

如图，△ABC为圆的内接三角形，AB=AC,8。为圆的弦，MBD//AC.过点A作圆的切线与

的延长线交于点E,AD与BC交于点、F.A

(1)求证：四边形ACBE为平行四边形；石、

(2)若AE=6,BD=5,求线段CF的长.

A.选修4—1：几何证明选讲y/

解：(1)因为AE与圆相切于点A,所以

因为AB^AC,所以ZABC^ZACB.----

所以第21题A图

所以AE〃BC.因为BD〃AC,所以四边形AC8E为平行四边形...........................4分

(2)因为AE与圆相切于点A,所以4£2=防.(班+3。)，即62=即.(班+5),解得BE=4.

依据(1)有AC=BE=4,BC=AE=6.

设dx,由B£>〃AC,得器=邸,®5=6—~v,解得即CE=|...................10分

B.选修4—2：矩