2024年山东省济宁市中考数学一模试卷 答案解析

2024年山东省济宁市邹城八中中考数学一模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要

求的。

L函数//=后不中自变量x的取值范围是（）

A.B.J->2C.J-<2D.rW0

2.已知点P（a—3,2—a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）

A.i।।1A-iB.、1一.-C.■■D.11»Q-t

-101234101234T01234-101234

3.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低

的百分率为x,根据题意列出的方程是（）

A.2500(1+1-)2=3200B.2500(1-r)2=3200

C.3200(1-X)2=2500D.3200(1-r)2=2500

4.计算/+的结果是()

0

C.aVD.2a*

5.如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形

拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小

的锐角沏，贝Icosa的值为（）

3

A.

I

C.

D.

6.在解二元一次方程组二端时,若①-②可直接消去未知数y，则m和『满足下列条件是

A.m=nB.ttm=1C,，〃+〃=（）D,m+〃=l

7.已知“工II,函数〃—「与〃—-〃.L’-“在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）

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8.如图，矩形ABCD的顶点A在反比例函数"=：">())的图象上，顶点B、C

在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E,连接CE,若的面积是6,

则k的值为()

A.6

B.8

C.9

D.12

9.如图，二次函数”="/+"+'的图象经过点八(-1,0),B(3,0),与y

轴交于点］.下列结论：

①"C>();

②当1。时，y随x的增大而增大；

③3“♦「。；

④a+b2am2+bin.

其中正确的个数有()

A.1个

B,2个

C.3个

D.4个

10.如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知.40=3，CD—J,点P沿折线「一4一。DC

以每秒1个单位长度的速度运动运动到。点停止।过点P作CE1BC于点E则ACPE

的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致剧),L_------\B

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

1L计算：（例-3《）+仆=-

12.分解因式：—+1（）./,/；-32y=.

13.若关于x的一元二次方程“/一/一：=0（。#0）有两个不相等的实数根，则点P（a+1.-«-3）在第

__________象限.

14.如图，二次函数//=O./+'的图象与一次函数””的图象交于

4（-2,p）、两点，则关于x的不等式-ma+c>”的解集是.

15.如图，一段抛物线；y=+2.r（0&./­42）记为G,它与X轴交于两点。、小；将绕4］旋转18（r

得到（】，交X轴1将C绕①旋转1、。得到（：；，交X轴于儿；；…如此进行下去，直至得到（；，若点

1L）在第6段抛物线G,上，则"I—.

三、计算题：本大题共2小题，共13分。

16.⑴计算：（―［）2+2-2一（2一为“；

।②分解因式：3/—+：〃广

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17.已知关于x的一元二次方程g+c）M+2的•+（“一,）=（）,其中a、b、c分别为三边的长.

口如果八-।是方程的根，试判断的形状，并说明理由；

⑵如果方程有两个相等的实数根，试判断△,13「的形状，并说明理由.

四、解答题：本题共5小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.（本小题8分）

某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲

种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元，在这20名工人中，设该车间每天安排x名工

作制造甲种零件，其余工人制造乙种零件.

U：请写出此车间每天所获利润川元।与，1人，之间的函数关系式；

己）若只考虑利润问题，要使每天所获利润不低于24000元，你认为至多要派多少名工人制造甲种零件才

合适？

19.（本小题8分）

2

在同一平面直角坐标系中，一次函数!，1和反比例函数//=-的图象如图所示.

J-

1;求一次函数的解析式；

2

（2）当/〉（）时，直接写出不等式卜1+1>-的解集.

j-

v

20.（本小题8分）

某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充

当地市场.已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨.

1；符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；

2若一辆大型车的运费是900元，一辆中型车的运费为600元，试说明Ui中哪种运输方案费用最低？

最低费用是多少元？

21.（本小题8分）

阅读下列材料：

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已知点P（J：U，!A））和直线1/=H+6,则点P到直线>1=kj'+b的距离可用公式在d=口。m:可计算.

V7Ir+A-2

例如：求点P（L-2）到直线｛/=2r+5的距离.

解：:直线7-2/•5,其中卜一2,b=5

点P（l，—2）到直线"=27+5的距离为：d-''+'43.

V1+2^0

根据以上材料，解答下列问题：

（I）求点P—2.3）到直线//=工一3的距离；

（2）已知直线？=2工+】与？=2工-1平行，试求这两条平行线之间的距离.

22.（本小题10分）

如图，已知抛物线与x轴交于.4（一1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于点C,直线"=-21+3经过点C,与

x轴交于点D

H।求该抛物线所对应的函数关系式；

点P是（1）中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为f（0<f<3）.

①求的面积的最大值；

②是否存在点P,使得△PC。是以CD为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：根据题意得：2一120,

，42,

故选：」.

根据被开方数大于等于0,即可求解.

本题考查二次根式有意义的条件，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义.

2.【答案】C

【解析】【分析】

此题主要考查了关于原点对称点的性质以及解不等式组，正确掌握不等式组的解法是解题关键.

直接利用关于原点对称点的性质得出关于a的不等式组进而求出答案.

【解答】

解：•.•点P(a-3,2-a)关于原点对称的点在第四象限，

:点，”在第二象限，

.fa-3<0

''\2-a>0'

解得：a<2.

则a的取值范围在数轴上表示正确的是：

-1U1O4

故选：(，.

3.【答案】C

【解析】解：依题意得：两次降价后的售价为3200(1-1)2=2500,

故选：C.

可根据：原售价x(l-降低率产=降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程.

本题考查降低率问题，由：原售价降低率「降低后的售价可以列出方程.

4.【答案】C

【解析】解：/+=a2l)2.

b

故选：(1.

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先将除法转化为乘法，再根据整式乘法的运算法则计算即可.

本题考查分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是关键.

5.【答案】D

【解析】解：1•小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,

•.小正方形的边长为1,大正方形的边长为5,

设直角三角形较短的直角边为a,则较长的直角边为，…/,其中“>(),

由勾股定理得：/+("+=52,

解得："=3,

n+1=4,

4

cosa=

5

故选：/).

首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形较短的直角边

为a,则较长的直角边为〃,1,再利用勾股定理得到关于a的方程，解方程可求出直角三角形的两个个直

角边的边长，最后根据锐角三角函数的定义可求出C3S"的值.

此题主要考查了锐角三角函数，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握锐角三角函数的定义,

难点是设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出三角形的边.

6.【答案】C

6H+my=3①

【解析】解:

2%—ny——6②

由①-②得：l,r+(m+n)n=9,

,二①-②可直接消去未知数y,

m+n=0.

故选：

根据加减消元法，即可求解.

本题考查了解二元一次方程组，掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤是解题关键.

7.【答案】D

【解析】解：当〃：，()时，函数”=:的图象位于一、三象限，函数？=-0x2—。的开口向下，交y轴的负

半轴，。选项符合；

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当a<0时，函数1/=1的图象位于二、四象限，独=-ar?-a的开口向上，交y轴的正半轴，没有符合的

选项.

故选”

分">()和"］。两种情况分类讨论即可确定正确的选项.

本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象.

8.【答案】D

【解析】解：设A(a.b),则BO-a,CD=AB=b,

「矩形ABC。的顶点人在反比例函数"=>0)的图象上，

:.k=ab,

.△/?，/?的面积是6,..；xOrx()E=6,即8C'xOE=12,

­.AB//OE,

:.福北即BGEO=AB・OB,

12=bxa,即ab=12,

/.A1—12,

故选：I).

先设」得出=CD=AB=b,k-ub,再根据的面积是6,得出

BCxOE=12,最后根据「""/OE,得出笑=熬，即=4B-O/3,求得ab的值即可.

本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，能

很好地考核学生分析问题，解决问题的能力.解题的关键是将，/*'"的面积与点。的坐标联系在一起，体

现了数形结合的思想方法.

9.【答案】B

【解析】解:把点4-L0)，3(3,0)代入二次函数”=82+4+。，

可得二次函数的解析式为：y=ar2-2ax-3a,

「该函数开口方向向下，

a<0,

/.b=-2a>0,('-3a>0,

ac<0,3(z4c0,①错误，③正确；

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•.・对称轴为直线：1=一£一1，

la

.•.工<1时，y随x的增大而增大，工>1时，y随x的增大而减小；②错误；

，当/1时，函数取得最大值，即对于任意的m,有“+b+c》“"J+fem+c,

a+6>am2+bm,故④正确.

综上，正确的个数有2个，

故选：B.

把点.4(一1,0),3(3,0〕代入二次函数”=+bir+c,可得二次函数的解析式为：y=ax2-2ax-3«,

由图象可知，函数图象开口向下，所以可得b和c的符号，及a和c的数量关系；由函数解析式

可得函数对称轴为直线：，=I,根据函数的增减性和最值，可判断②和④的正确性.

2a

本题考查了二次函数图象与系数的关系：当“二•”时，抛物线开口向上；当“<()时，抛物线开口向下；一

次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左侧；当a与b异号

时，对称轴在v轴右侧.常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与v轴交于S")

10.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查动点问题的函数图象，及一次函数和二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数和一次函数的性

质是解题的关键.

根据点P运动路径分段写出ACPE的面积y与点P运动的路程x间的函数关系式即可.

【解答】

解：〃八。，

NACB=ZDAC,

.■ZPEC=ZD=9(f,

-APCE^ACAD,

CPCEPE

■,AC=AD=CD*

­.AD=3,CD=4,

AC=v/AD2+CD2=5，

.•.当1P在C4上时，即当0<,rW5时，

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当P在A。上运动时，即当5<:/(8时，

PE=CD=4,

CE=8-J-,

/.y=xCE=x4x(8-.r)=16-2.r,

综上，当0<z45时，函数图象为二次函数图象，且y随X增大而增大，当5</48时，函数图象为一

次函数图象，且y随x增大而减小，

则△「「/?的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致为：

=3.

故答案为：工

直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案.

此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

12.【答案】-2y(x-4)2

【解析】解：原式=-2y(x2-8x+16)

=-2y(x-4)2

故答案为：—2y(r-4产

根据提取公因式以及完全平方公式即可求出答案.

本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型.

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13.【答案】四

【解析】【分析】

本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非零及根的判别式△>0,

找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键.

由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范

围，由a的取值范围可得出〃一1〉()，-a-3<0,进而可得出点P在第四象限，此题得解.

【解答】

解：：关于x的一元二次方程〃.户一工一;=0(a#0)有两个不相等的实数根，

Ja和

,,IA=(-l)a-4xax(-1)>0'

解得：”>-1且，"I.

<i+1>0,—a—3<0,

.•.点P(a+l,Ti-3)在第四象限.

故答案为：四.

14.【答案】2<a-<1

【解析】解：1•二次函数.产+。的图象与一次函数“〃"一的图象交于M-2,p)、8(1，/)两点，

当2<.r<1时，«jJ+c>mJ-+it,

■,关于x的不等式-mx+e>n的解集是一2<工<1.

故答案为：-2<工<1.

利用函数图形写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可.

本题考查了二次函数与不等式：组।:利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范

围，可作图利用交点直观求解.利用数形结合的思想是解决问题的关键.

15.【答案】-1

【解析】解：.•.U=-r(r-2)(0Wr(2),

二配方可得“=-U-1)2+1(()WJY2),

:顶点坐标为(1,1),

二为坐标为⑵⑴

「(’」由一旋转得到，

即。2顶点坐标为(3.-1),4川.0)；

.-.OAX=AXA2,

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照此类推可得，「3顶点坐标为（5,口，.%（6.0）；

G顶点坐标为（7.-1）,4（8,0）；

Q顶点坐标为（9,1）,4（10,0）；

G顶点坐标为（”.-1）,4（12,。）；

m=—1.

故答案为-L

将这段抛物线（；通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道（；与（'」的顶点

到x轴的距离相等，且。a=442,照此类推可以推导知道点为抛物线（：的顶点，从而得到结

果.

本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标，学会从一般到特殊的探

究方法，属于中考常考题型.

16.【答案】解：（1）原式

1

=---

2，

⑵原式=3（12—2xy+//■）

=3（x-y）2.

【解析】（"原式利用乘方的意义，零指数得、负整数指数写法则计算即可求出值；

②原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及实数的运算，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关

键.

17.【答案】解：（l）ZXABC是等腰三角形.理由如下：

r=-I是方程的根，

（a4-c）X（-1）2-26+（a—c）=0,

a4-r—264-a—r=0,

是等腰三角形；

是直角三角形.理由如下：

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•.•方程有两个相等的实数根，

△=(2b)2-4(«+<1)(«-(­)=0,

.,.北2-4a2+4/=0,

a2=t2+c2,

.•.△4BC是直角三角形.

【解析】("见答案；

⑵见答案.

川根据方程解的定义把r-1代入方程得到(a+e)x(-l)2-2b+(a—,)=(),整理得a-b=0,即

a=b,于是根据等腰三角形的判定即可得到是等腰三角形；

(2)根据判别式的意义得到△=(—4("+c)(a—c)=0,整理得/,然后根据勾股定理的逆

定理得到△八3c是直角三角形.

本题考查了根的判别式：一元二次方程+厉•+c=0(a#0)的根与△=/一4ac有如下关系：当△>0

时，方程有两个不相等的两个实数根；当(I时，方程有两个相等的两个实数根；当△<()时，方程无

实数根.也考查了勾股定理的逆定理.

18.【答案】解：(1)设该车间每天安排X名工作制造甲种零件，则安排(20-工)人制造乙种零件，

根据题意：U=6x150T+5x260(20-x),

即n=400T+26000(0WrW20)；

(2)根据题意:令TOOT+260(X)=21000,

解得：r=5,

在“一-400/+26000中,

-400<0,

!1的值随X的值的增大而减少，

要使-100r+26000》24000,需h45,

答：至多要派5名工人制造甲种零件才合适.

【解析】(”根据每天所获利润等于每天制造甲种零件的数量乘以每个零件的利润加上每天制造乙种零件

的数量乘以每个零件的利润列式即可；

,根据川每天所获利润，八元，与“人，之间的函数关系式列出不等式，再根据一次函数的性质求解即可.

本题考查一次函数与实际问题，一元一次不等式的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式.

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19.【答案】解：（1）由图象知，

一次函数与反比例函数的一个交点的横坐标为1,且反比例函数表达式为1/=1，

则交点的纵坐标为2

将（1,2）代入//=上」I得，k-1.

所以一次函数的解析式为：！/=H+1.

（2）当r>0,即图象在y轴的右侧，

观察图象发现：当图象在直线I的右侧时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，

2

所以不等式卜1+1>-的解集为：J>L

【解析】（1）由图象中给出交点的横坐标结合反比例函数表达式，可求得此点的坐标，进而求出一次函数的

解析式.

（与利用数形结合的思想，可求出不等式得解集.

本题考查用待定系数法求一次函数的解析式，以及用数形结合的思想求不等式得解集，由图象给出的信息,

求出交点的一个坐标是解题的关键.

20.【答案】解：（1）设安排X辆大型车，则安排（30—"辆中型车，

81+3（30一工）W190

依题意，得:

+6（30-工）4162

解得：18WrW20.

.■।为整数，

x=18,19,20.

•.符合题意的运输方案有3种，方案1：安排18辆大型车，12辆中型车；方案2：安排19辆大型车，11

辆中型车；方案3：安排20辆大型车，10辆中型车.

（2）方案1所需费用为：900x18+600x12=234（M）（元）,

方案2所需费用为：900x19+600x11=23700（元），

方案3所需费用为：900x20+GOOx10=24O（M）（元）.

23400<23700<2400（）,

，方案1安排18辆大型车，12辆中型车所需费用最低，最低费用是23400元.

【解析】【分析】

本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键.

（1）设安排x辆大型车，则安排（3（）-1）辆中型车，根据30辆车调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品

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补充当地市场，即可得出关于X的一元一次不等式组，解之即可得出X的取值范围，结合X为整数即可得

出各运输方案；

⑵根据总运费=单辆车所需费用,租车辆车可分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论.

21.【答案】解：⑴•.・[=[-3,

/.=1,b=-3.

•••P(-2,3),

VTTP

二点P-2.3)到直线/J-3的距离为2；

(2)在直线"=2T+I任意取一点P,

当r=()时，y=1.

/.P(O,1).

•.・直线1/=2J-1,

A：=2,fe=­I,

,d/x。上(-DI/瓜

y/1+225

2f-

.•.两平行线彳间的距离为二©.

5

,,I人"。—如+fcl

【解析】(1)直接将P点的坐标代入公式d=就可以求出结论；

V14-

—..lA'j'o-协)+61

(2)在直线//-I任意取一点P,求出P点的坐标，然后代入点到直线的距离公式d=~不鼻」就

VI+炉

可以求出结论.

本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式的运用，由函数的解析式求点的坐标的运用，平行线的性

质的运用，解答时掌握点到直线的距离公式是关键.

22.【答案】解：(1)直线！/=-2工+3与x轴、y轴的交点坐标分别为:

C(0.3),城0).

・「抛物线与X轴交于」(一1.0)、8(3,0)两点，

/.设所求抛物线的函数关系式为y=a(r+1)(H-3),

把点「(().：，)代入，得3="0+1)(0-3),解得“-1.

二.所求抛物线的函数关系式为：“=(1+1)"-3),即

y=一,r+2.r+3.(1分।

第15页，共18页

（2）①如图1,过点P作。轴于点F,交DC于点E,

由题意，设点P的坐标为+2,+3）,则点E的纵坐标为一产+2f+3.

,2_*

以“二一»+2£+3代入."=一21+3,得

,2_*

.•.点E的坐标为（一--,-t1+2/4-3）,

PE=t-、^=T：分।

AS^PCD=#ECO・

=5x'x3=一：（产-』，）=一］（£-2尸+3.…（8分）

3

/a=--<0,且（）</<3,

2

二当，=2时，P/C。的面积最大值为3.…⑴分）

【解法一】②是以CD为直角边的直角三角形分两种情况：…（1。分

）

I，若/PCD=90：如图2,过点P作/1C1”轴于点G,

则C.PGCs△，（）1）,

,PGCGt-t2+2t

-CO~DO,即m厂1.5.

整理得2广一；"（l,解得八=jj,%=他舍去「

/.点P的坐标为（*学）.…（12分）

II）若/PDC=90°，如图3,过点P作轴于点H,

则八。〃/9sM”,

PHDH-t1+2f+3t-1.5

'DO=CO,PL5=~3~'

整理得」产—6f-15=0,解得刀=3+9,t2=匕遮（舍去）.

44

:点P的坐标为（此遮「3t海）.

48

综上所述，当△PC。是以C。为直角边的直角三角形时，点P的坐标为

4当或（吟"当务）.…⑴分,

2448

【解法二】②△