江苏省常州市田家炳中学2025届数学高一下期末质量跟踪监视试题含解析

江苏省常州市田家炳中学2025届数学高一下期末质量跟踪监视试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数fxA．fx的最小正周期为π，最大值为B．fx的最小正周期为π，最大值为C．fx的最小正周期为2πD．fx的最小正周期为2π2．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（）A． B． C． D．3．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除：（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用…等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元.新的个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级…每月应纳税所得额元（含税）…税率（%）31020…现有李某月收入为19000元，膝下有一名子女，需赡养老人（除此之外无其它专项附加扣除），则他该月应交纳的个税金额为()A．570 B．890 C．1100 D．19004．圆和圆的公切线条数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧最有可能的是（）A． B． C． D．6．若不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．7．在正项等比数列中，，为方程的两根，则（）A．9 B．27 C．64 D．818．已知点在角的终边上，函数图象上与轴最近的两个对称中心间的距离为，则的值为（）A． B． C． D．9．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为()A．①随机抽样法，②系统抽样法B．①分层抽样法，②随机抽样法C．①系统抽样法，②分层抽样法D．①②都用分层抽样法10．一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是（）A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.75二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．关于函数f（x）=4sin（2x+）（x∈R），有下列命题：①y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x﹣）；②y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；③y=f（x）的图象关于点对称；④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称．其中正确的命题的序号是．12．函数的最小值为____________．13．数列的前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为________.14．已知的圆心角所对的弧长等于，则该圆的半径为______.15．若直线上存在点可作圆的两条切线，切点为，且，则实数的取值范围为．16．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价元99.29.49.69.810销量件1009493908578（1）若销量与单价服从线性相关关系，求该回归方程；（2）在（1）的前提下，若该产品的成本是5元/件，问：产品该如何确定单价，可使工厂获得最大利润。附：对于一组数据，，……，其回归直线的斜率的最小二乘估计值为；本题参考数值：．18．如图所示,函数的图象与轴交于点,且该函数的最小正周期为.(1)求和的值；(2)已知点,点是该函数图象上一点,点是的中点,当时，求的值.19．在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：顶点C的坐标；

直线MN的方程．20．已知数列的前项和为，满足，数列满足.（1）求数列、的通项公式；（2），求数列的前项和；（3）对任意的正整数，是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值；若不存在，请说明理由.21．已知（且）.（1）若，求的值；（2）若没有实数根，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为fx【详解】根据题意有fx所以函数fx的最小正周期为T=且最大值为fx【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.2、A【解析】设外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，∵，∴，∴，∴，∴，由题意知，平面，则将三棱锥补成三棱柱可得，，∴，故选A．点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．3、B【解析】

根据题意，分段计算李某的个人所得税额，即可求解，得到答案.【详解】由题意，李某月应纳税所得额（含税）为元，不超过3000的部分的税额为元，超过3000元至12000元的部分税额为元，所以李某月应缴纳的个税金额为元.故选：B.【点睛】本题主要考查了分段函数的实际应用与函数值的计算问题，其中解答中认真审题，合理利用分段函数进行求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4、B【解析】

判断两圆的位置关系，根据两圆的位置关系判断两圆公切线的条数.【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为.圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为.圆心距为，由于，即，所以，两圆相交，公切线的条数为，故选B.【点睛】本题考查两圆公切线的条数，本质上就是判断两圆的位置关系，公切线条数与两圆位置的关系如下：①两圆相离条公切线；②两圆外切条公切线；③两圆相交条公切线；④两圆内切条公切线；⑤两圆内含没有公切线.5、A【解析】

根据三角函数线的定义，分别进行判断排除即可得答案．【详解】若P在AB段,正弦小于正切,正切有可能小于余弦;若P在CD段，正切最大，则cosα<sinα<tanα；若P在EF段，正切，余弦为负值，正弦为正，tanα<cosα<sinα；若P在GH段，正切为正值，正弦和余弦为负值，cosα<sinα<tanα.∴P所在的圆弧最有可能的是.故选：A.【点睛】本题任意角的三角函数的应用，根据角的大小判断角的正弦、余弦、正切值的正负及大小，为基础题.6、D【解析】

对分两种情况讨论分析得解.【详解】当时，不等式为，所以满足题意；当时，，综合得.故选：D【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7、B【解析】

由韦达定理得，再利用等比数列的性质求得结果.【详解】由已知得是正项等比数列本题正确选项：【点睛】本题考查等比数列的三项之积的求法，关键是对等比数列的性质进行合理运用，属于基础题.8、C【解析】由题意，则，即，则；又由三角函数的定义可得，则，应选答案C．9、B【解析】①由于社会购买力与收入有关系，所以应采用分层抽样法；②由于人数少，可以采用简单随机抽样法要完成下列二项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中，选出100户调查社会解：∵社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响而社区中各个家庭收入差别明显①用分层抽样法，而从某中学的15名艺术特长生，要从中选出3人调查学习负担情况的调查中个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，∴②用随机抽样法故选B10、D【解析】

由题意可知摸出黑球的概率，再根据摸出黑球，摸出红球为互斥事件，根据互斥事件的和即可求解.【详解】因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，所以摸出黑球的概率是，因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件，所以摸出黑球或红球的概率，故选D.【点睛】本题主要考查了两个互斥事件的和事件，其概率公式，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①③【解析】

∵f（x）=4sin（2x+）=4cos（）=4cos（﹣2x+）=4cos（2x﹣），故①正确；∵T=，故②不正确；令x=﹣代入f（x）=4sin（2x+）得到f（﹣）=4sin（+）=0，故y=f（x）的图象关于点对称，③正确④不正确；故答案为①③．12、【解析】

将函数构造成的形式，用换元法令，在定义域上根据新函数的单调性求函数最小值，之后可得原函数最小值。【详解】由题得，，令，则函数在递增，可得的最小值为，则的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查了换元法，以及函数的单调性，是基础题。13、【解析】令，可得是首项为，公比为的等比数列，所以，，实数的最小值为，故答案为.14、【解析】

先将角度化为弧度，再根据弧长公式求解．【详解】解：圆心角，弧长为，，即该圆的半径长．故答案为：．【点睛】本题考查了角度和弧度的互化以及弧长公式的应用问题，属于基础题．15、【解析】试题分析：若，则，直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离公式可得,解之可得.考点：点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用.【方法点晴】本题主要考查了点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用，涉及到圆心到直线的距离公式和不等式的求解，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点是解答的关键．16、【解析】

将所求两条异面直线平移到一起，解三角形求得异面直线所成的角.【详解】连接，根据三角形中位线得到，所以是异面直线与所成角.在三角形中，,所以三角形是等边三角形，故.故填：.【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元.【解析】

（1）先根据公式求，再根据求即可求解；（2）先求出利润的函数关系式，再求函数的最值.【详解】解:（1）=…又所以故回归方程为（2）设该产品的售价为元，工厂利润为元，当时，利润，定价不合理。由得，故，，当且仅当，即时，取得最大值.因此，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元.【点睛】本题考查线性回归方程和二次函数的最值.线性回归方程的计算要根据已知选择合适的公式.求二次函数的最值常用方法：1、根据函数单调性；2、配方法；3、基本不等式，注意等式成立的条件.18、(1)..(2)，或.【解析】试题分析：(1)由三角函数图象与轴交于点可得，则.由最小正周期公式可得.(2)由题意结合中点坐标公式可得点的坐标为.代入三角函数式可得，结合角的范围求解三角方程可得，或.试题解析：(1)将代入函数中，得，因为，所以.由已知，且，得.(2)因为点是的中点，，所以点的坐标为.又因为点在的图象上，且，所以，且，从而得，或，即，或.19、（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）边AC的中点M在y轴上，由中点公式得，A，C两点的横坐标和的平均数为1，同理，B，C两点的纵坐标和的平均数为1．构造方程易得C点的坐标．（2）根据C点的坐标，结合中点公式，我们可求出M，N两点的坐标，代入两点式即可求出直线MN的方程．解：（1）设点C（x，y），∵边AC的中点M在y轴上得=1，∵边BC的中点N在x轴上得=1，解得x=﹣5，y=﹣2．故所求点C的坐标是（﹣5，﹣2）．（2）点M的坐标是（1，﹣），点N的坐标是（1，1），直线MN的方程是=，即5x﹣2y﹣5=1．点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．20、（1），；（2）见解析；（3）存在，.【解析】

（1）利用可得，从而可得为等比数列，故可得其通项公式.用累加法可求的通项.（2）利用分组求和法可求，注意就的奇偶性分类讨论.（3）根据的通项可得，故考虑的解可得满足条件的的值.【详解】（1）在数列中，当时，.当时，由得，因为，故，所以数列是以为首项，为公比的等比数列即.在数列中，当时，有，由累加法得，，.当时，也符合上式，所以.(2).当为偶数时，=；当为奇数时，=.(3)对任意的正整数,有，假设存在正整数，使得，则，令，解得，又为正整数，所以满足题意.【点睛】给定数列的递推关系，求数列的通项时，我们常需要对递推关系做变形构建新数列（