2024年新高考数学一轮复习：一元二次不等式及其解法（学生版）

专题05一元二次不等式及其解法

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的

零点与方程根的关系.

2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.

3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.

【考点预测】

1.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

2.三个“二次”间的关系

判别式

/>0/=0/<0

A=甘一4ac

二次函数1U

u必

y=ax+bx~\-cA：l\lO/X2

01^=4

(a>0)的图象

一元二次方程有两相等实根

有两相异实根Xl，X2(X1

ax+6x+c=0b没有实数根

<X2)Xi=X2=——

(a>0)的根

ax+6x+c〉0{x

R

(a〉0)的解集或xVxJ

ax-\~bx-\-c<0

{xXiVxV初00

S>0)的解集

3.(x—a)(x—6)>0或(x—a)(“一6)〈0型不等式的解集

解集

不等式

a=ba>b

{x~a),(x-Z?)>0{x\或x>b\{x|a}{x或x>@}

(x-a),(x—Z?)<0{x\a<x<b}0{x

4.分式不等式与整式不等式

(1)->0«0)•g(x)>0«0).

g(x)

f(x)

⑵g(X)20(WO)o『(x)•g(x)》O(WO)且g(x)WO.

【常用结论】

1.绝对值不等式|x|〉a(a>0)的解集为(-8,-a)U(a,+8)；|x|〈a(a〉0)的解集为

(—a,a).

记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.

2.解不等式af+^x+cXKVO)时不要忘记当a=0时的情形.

3.不等式ax2+6x+c〉0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.

,[a—b—Q,[a>0,

(1)不等式ax'+Zwr+c〉。对任意实数x恒成立或|

[c>0[/<0.

[a—b—O,[a<0,

⑵不等式aV+6x+c〈0对任意实数x恒成立或|

[c<0[zl<0.

【方法技巧】

L含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论.

(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可

对判别式进行分类讨论.

(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零

的情形及判别式4的正负，以便确定解集的形式.

(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.

2.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点

值.

3.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可

以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.

4.对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区

间上恒成立.

5.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量,

求谁的范围，谁就是参数.

①若af+fer+cX)恒成立，则有a>0,且/<0；若ax+bx+c<0恒成立，则有a<0,

且zi<0.

②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).

二、【题型归类】

【题型一】分式不等式的解法

V-1

【典例1】不等式的解集为

十1

y—9

【典例2】不等式台2>°的解集为-

【典例3】若集合/={x1—1W2X+1W3},占=卜产詈乏01,则406=()

A.{x|—IWxVO}B.{x[0<xWl}

C.{x|0〈xW2}D.{x|OWx〈l}

【题型二】不含参的不等式解法

【典例1]不等式一23+入+3<0的解集为()

A.卜一1〈水杯，

c.y<—i或x>]>

D.卜卜〈一2或x>l>

【典例2](多选)已知集合〃={x||x—11W2,x£R},集合开21,x£R>,则

()

A.M={x|TWxW3}

B.4{x|TWxW4}

C.机Jg{x|-1WXW4}

D.MHN={x\-1<^3)

【典例3】关于X的不等式A2—(d+l)x+水0的解集中，恰有3个整数，则实数己的取值范

围是.

【题型三】含参不等式解法

【典例1]解关于x的不等式ax—(a+l)x+l<O(a>O).

【典例2]解不等式12f—ax>3gwR).

【典例3]解关于x的不等式ax2—222x—ax(aGR).

【题型四】在R上恒成立问题

【典例1】对VxGR，不等式(a—2)x'+2(a—2)x—4〈0恒成立，则a的取值范围是()

A.—2〈aW2B.-2WaW2

C.a〈一2或a22D.aW—2或a22

【典例2】已知函数f(x)=加一加x—1.若对于xGR,f(x)<0恒成立，求实数力的取值范围.

【典例3]若不等式a-4-2'+1>0对一切xGR恒成立，则实数a的取值范围是.

【题型五】在给定区间上恒成立问题

【典例1】已知函数f(x)=〃x2—1.若对于xe[l,3],f(x)〈5—加恒成立，则实数〃的

取值范围为________.

【典例2】若不等式/+数+120对于一切x£(0,；成立，则实数a的最小值为()

A.0B.-2D.-3

【典例3】若存在实数xe[2,4],使2x+5—水0成立，则m的取值范围为()

A.(13,+8)B.(5,+8)

C.(4,+8)D.(—8,13)

【题型六】给定参数范围的恒成立问题

【典例1】若不等式/+以〉4矛+0一3,当0WPW4时恒成立，则x的取值范围是()

A.[-1,3]

B.(—8,-1]

C.[3,+8)

D.(一8,—1)u(3,+°0)

【典例2]已知对于任意的ad[—1,1],函数f(x)=*2+(a—4)x+4—2a的值总大于0,

则x的取值范围是()

A.1cx<3B.x<l或x>3

C.l<x<2D.x<l或x>2

【典例3】若勿产一片—1〈0对于7e[1,2]恒成立，求实数x的取值范围.

【题型七】二次不等式、二次函数及二次方程的关系

【典例1]已知不等式af+Ar+ZX)的解集为{x|—1〈点2},则不等式2x,+6x+a〈0的解集

为()

A.卜/X<-1或xgB.

C.U|-2<X1}D.{x|水一2或x>l}

【典例2]已知不等式ax+bx+c>G的解集为{x[2<x<3},则不等式d—6x+a>0的解

集为.

【典例3](多选)满足关于x的不等式(a—)(x—2)>0的解集为x1<X2则满足条

件的一组有序实数对(a,6)的值可以是()

A.(—2,—1)B.(—3,—6)

c.(2,4)D.1—3,一另

【题型八】一元二次不等式的应用

【典例1】甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求IWxWlO),每小时

可获得利润是100(5x+l一习元.

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3OOO元，求x的取值范围；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大

利润.

［典例2］某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成

(1成=10%),售出商品数量就增加Mx成.要求售价不能低于成本价.

5

(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域；

(2)若要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.

三、【培优训练】

【训练一】若关于X的不等式A2—(2a+l)x+2a〈0恰有两个整数解，则a的取值范围是()

A.>

B.一——>

C.ja|一1〈2忘一1或/或水2

D.一1W水一；或/〈后2-

【训练二】已知广(x)=2/+8x+c,不等式f(x)<0的解集是(0,5).

(/(x)>0

⑴若不等式组|f(x+k)<0的正整数解只有一个，求实数4的取值范围；

⑵若对于任意x£[—1,1],不等式1・f(x)W2恒成立，求方的取值范围.

【训练三】已知二次函数F(x)的二次项系数为4且不等式F(x)>—2x的解集为(1,3).

(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式;

(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.

a(x—1)

【训练四】解关于X的不等式：T>l(a<>

-v"—I—oY-I-11

【训练五】已知函数/<x)=——；—(aGR),若对于任意的XGN*,f(x)23恒成立，则a

XI1

的取值范围是.

【训练六】解关于X的不等式ax—2》2x—ax(aGR).

四、【强化测试】

【单选题】

1.已知集合/={才|/一才一2<0},6={才|9+3水0},则J/n耳等于()

A.(0,2)B.(-1,0)

C.(-3,2)D.(-1,3)

2.若0<Kl,则关于x的不等式(［一x)(x—?>0的解集为()

A.<xt>

BJx卜〉(或x〈t>

C.Ux〈;或x>t，

3.已知函数f(x)=(ax—1)(x+6),如果不等式/U)>0的解集为(-1,3),那么不等式”

2x)<0的解集为()

1X

J

-JU

27

4.己知某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20^—0.\x,

xe(0,240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的

最低产量是()

A.100台B.120台

C.150台D.180台

5.已知函数/'(x)=(ax—l)(x+6),如果不等式/'(x)>0的解集是(一1,3),则不等式『(一

2X)〈0的解集是()

II)

+oo

6.若不等式/—2了+52才一3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()

A.[-1,4]B.(-co,-2]U[5,+°0)

C.(-8,-I]u[4,+8)D.[-2,5]

7.若不等式I—(a+l)x+aW0的解集是[-4,3]的子集，则a的取值范围是()

A.[—4,1]B.[—4,3]

C.[1,3]D.[-1,3]

8.若不等式(a+l)x+aW0的解集是[―4,3]的子集，则a的取值范围是()

A.[—4,1]B.[—4,3]

C.[1,3]D.[-1,3]

【多选题】

9.满足关于x的不等式(ax—6)(x—2)〉0的解集为卜(〈水2•，则满足条件的一组有序实

数对(a,6)的值可以是()

A.(—2,—1)B.(—3,—6)

C.(2,4)D.1—3,一|)

10.已知函数=系+女X+6(石>0)有且只有一个零点，贝!]()

A.才一炉W4

B.旨+占4

C.若不等式/+ax—b<0的解集为(不，X2),则矛就1>0

D.若不等式x?+ax+伙。的解集为(xi,X2),且|荀一加|=4,则。=4

11.若不等式6x+c>0的解集是(一1,2),则下列选项正确的是()

A.伙0且c>Q

B.a—6+。>0

C.a+6+c>0

D.不等式af+^x+c>。的解集是(一2,1)

12.下列四个解不等式，正确的有()

A.不等式2/-x—1>0的解集是{x|x>2或x〈l}

B.不等式一6x‘一x+2W0的解集是卜卜W一£或

C.若不等式a/+8a^+21<0的解集是但一7〈x〈一1},则a的值是3

D.若关于x的不等式六十郎一2〈0的解集是(小1),则p+g的值为一1

【填空题】

13.不等式|x(x—2)|〉x(x—2)的解集是.

14.若O〈a<l,则不等式(a—x)(x—j〉0的解集是.

15.若关于x的不等式/+2ax+l20在区间［0,+8)上恒成立，则实数a的取值范围是

16.在R上定义运算：xy=x(l—力，若不等式(x—a)(x+a)<1对任意实数x恒成立,

则实数a的取值范围为.

【解答题】

17.若不等式af+5x—2〉0的解集是］x;〈水21.

(1)求实数a的值；

(2)求不等式a/-5^+a2-l>0的解集.

18.已知函数广(x)=8/+6*+。(己>0,