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文档简介
浙江省杭州市高级中学2025届高一下数学期末质量跟踪监视模拟试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.如图,函数的图像是()A. B.C. D.2.在中,,,为的外接圆的圆心,则()A. B.C. D.3.已知向量,,则向量在向量方向上的投影为()A. B. C. D.4.数列的通项公式,其前项和为,则等于()A. B. C. D.5.已知,,,若不等式恒成立,则t的最大值为()A.4 B.6 C.8 D.96.若是一个圆的方程,则实数的取值范围是()A. B.C. D.7.边长为的正三角形中,点在边上,,是的中点,则()A. B. C. D.8.在平面直角坐标系中,为坐标原点,为单位圆上一点,以轴为始边,为终边的角为,,若将绕点顺时针旋转至,则点的坐标为()A. B. C. D.9.若向量,,则点B的坐标为()A. B. C. D.10.若则一定有()A. B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.若,则=_________________12.如图是一个三角形数表,记,,…,分别表示第行从左向右数的第1个数,第2个数,…,第个数,则当,时,______.13.如图所示,E,F分别是边长为1的正方形的边BC,CD的中点,将其沿AE,AF,EF折起使得B,D,C三点重合.则所围成的三棱锥的体积为___________.14.中,内角、、所对的边分别是、、,已知,且,,则的面积为_____.15.把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵,然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数,得到如图乙所示的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列,若,则________________.16.已知,是夹角为的两个单位向量,向量,,若,则实数的值为________.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.如图,在三棱柱中,是边长为4的正三角形,侧面是矩形,分别是线段的中点.(1)求证:平面;(2)若平面平面,,求三棱锥的体积.18.已知正项数列的前项和为,对任意,点都在函数的图象上.(1)求数列的通项公式;(2)若数列,求数列的前项和;(3)已知数列满足,若对任意,存在使得成立,求实数的取值范围.19.如图已知平面,,,,,,点,分别为,的中点.(1)求证://平面;(2)求直线与平面所成角的大小.20.某企业用180万元购买一套新设备,该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入,为了维护设备的正常运行,第一年需要各种维护费用10万元,且从第二年开始,每年比上一年所需的维护费用要增加10万元(1)求该设备给企业带来的总利润(万元)与使用年数的函数关系;(2)试计算这套设备使用多少年,可使年平均利润最大?年平均利润最大为多少万元?21.请你帮忙设计2010年玉树地震灾区小学的新校舍,如图,在学校的东北力有一块地,其中两面是不能动的围墙,在边界内是不能动的一些体育设施.现准备在此建一栋教学楼,使楼的底面为一矩形,且靠围墙的方向须留有5米宽的空地,问如何设计,才能使教学楼的面积最大?
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】
根据的取值进行分类讨论,去掉中绝对值符号,转化为分段函数,利用正弦函数的图象即可得解.【详解】当时,;当时,.因此,函数的图象是B选项中的图象.故选:B.【点睛】本题考查正切函数与正弦函数的图象,去掉绝对值是关键,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.2、A【解析】
利用正弦定理可求出的外接圆半径.【详解】由正弦定理可得,因此,,故选A.【点睛】本题考查利用正弦定理求三角形外接圆的半径,考查计算能力,属于基础题.3、B【解析】
先计算向量夹角,再利用投影定义计算即可.【详解】由向量,,则,,向量在向量方向上的投影为.故选:B【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示以及向量数量积的几何意义,属于基础题.4、B【解析】
依据为周期函数,得到,并项求和,即可求出的值。【详解】因为为周期函数,周期为4,所以,,故选B。【点睛】本题主要考查数列求和方法——并项求和法的应用,以及三角函数的周期性,分论讨论思想,意在考查学生的推理论证和计算能力。5、C【解析】
因为不等式恒成立,所以只求得的最小值即可,结合,用“1”的代换求其最小值.【详解】因为,,,若不等式恒成立,令y=,当且仅当且即时,取等号所以所以故t的最大值为1.故选:C【点睛】本题主要考查不等式恒成立和基本不等式求最值,还考查了运算求解的能力,属于中档题.6、C【解析】
根据即可求出结果.【详解】据题意,得,所以.【点睛】本题考查圆的一般方程,属于基础题型.7、D【解析】
,故选D.8、C【解析】
由题意利用任意角的三角函数的定义,诱导公式,求得点的坐标.【详解】为单位圆上一点,以轴为始边,为终边的角为,,若将绕点顺时针旋转至,则点的横坐标为,点的纵坐标为,故点的坐标为.故选C.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,诱导公式,考查基本的运算求解能力.9、B【解析】
根据向量的坐标运算得到,得到答案.【详解】,故.故选:.【点睛】本题考查了向量的坐标运算,意在考查学生的计算能力.10、D【解析】本题主要考查不等关系.已知,所以,所以,故.故选二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】分析:由二倍角公式求得,再由诱导公式得结论.详解:由已知,∴.故答案为.点睛:三角函数恒等变形中,公式很多,如诱导公式、同角关系,两角和与差的正弦(余弦、正切)公式、二倍角公式,先选用哪个公式后选用哪个公式在解题中尤其重要,但其中最重要的是“角”的变换,要分析出已知角与未知角之间的关系,通过这个关系都能选用恰当的公式.12、【解析】
由图表,利用归纳法,得出,再利用叠加法,即可求解数列的通项公式.【详解】由图表,可得,,,,,可归纳为,利用叠加法可得:,故答案为.【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用,以及数列的叠加法的应用,其中解答中根据图表,利用归纳法,求得数列的递推关系式是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.13、【解析】
根据折叠后不变的垂直关系,结合线面垂直判定定理可得到为三棱锥的高,由此可根据三棱锥体积公式求得结果.【详解】设点重合于点,如下图所示:,,又平面,平面,即为三棱锥的高故答案为:【点睛】本题考查立体几何折叠问题中的三棱锥体积的求解问题,处理折叠问题的关键是能够明确折叠后的不变量,即不变的垂直关系和长度关系.14、【解析】
由正弦定理边角互化思想结合两角和的正弦公式得出,再利用余弦定理可求出、的值,然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.【详解】,由边角互化思想得,即,,由余弦定理得,,所以,,因此,,故答案为.【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用,考查利用余弦定理解三角形以及三角形面积公式的应用,解题时要结合三角形已知元素类型合理选择正弦、余弦定理解三角形,考查运算求解能力,属于中等题.15、【解析】
由图乙可得:第行有个数,且第行最后的一个数为,从第三行开始每一行的数从左到右都是公差为的等差数列,注意到,,据此确定n的值即可.【详解】分析图乙,可得①第行有个数,则前行共有个数,②第行最后的一个数为,③从第三行开始每一行的数从左到右都是公差为的等差数列,又由,,则,则出现在第行,第行第一个数为,这行中第个数为,前行共有个数,则为第个数.故填.【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理,由归纳推理所得的结论不一定正确,通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法.16、【解析】
由题意得,且,,由=,解得即可.【详解】已知,是夹角为的两个单位向量,所以,得,若解得故答案为【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质,考查了计算能力,属于基础题.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)【解析】
(1)取中点为,连接,由中位线定理证得,即证得平行四边形,于是有,这样就证得线面平行;(2)由等体积法变换后可计算.【详解】证明:(1)取中点为,连接,是平行四边形,平面,平面,∴平面解:(2)是线段中点,则【点睛】本题考查线面平行的判定,考查棱锥的体积.线面平行的证明关键是找到线线平行,而棱锥的体积常常用等积变换,转化顶点与底.18、(1);(2);(3).【解析】
(1)将点代入函数的解析式得到,令,由可求出的值,令,由得,两式相减得出数列为等比数列,确定该数列的公比,利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式;(2)求出数列的通项公式,利用错位相减法求出数列的前项和;(3)利用分组求和法与裂项法求出数列的前项和,由题意得出,判断出数列各项的符号,得出数列的最大值为,利用函数的单调性得出该函数在区间上的最大值为,然后解不等式可得出实数的取值范围.【详解】(1)将点代入函数的解析式得到.当时,,即,解得;当时,由得,上述两式相减得,得,即.所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列,因此,;(2),,因此,①,②由①②得,所以;(3).令为的前项和,则.因为,,,,当时,,令,,令,则,当时,,此时,数列为单调递减数列,,则,即,那么当时,数列为单调递减数列,此时,则.因此,数列的最大值为.又,函数单调递增,此时,函数的最大值为.因为对任意的,存在,.所以,解得,因此,实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用等比数列前项和求数列通项,同时也考查了错位相减法求和以及数列不等式恒成立问题,解题时要充分利用数列的单调性求出数列的最大项或最小项的值,考查化归与转化思想的应用,属于难题.19、(1)见证明;(2)【解析】
(1)要证线面平行即证线线平行,本题连接A1B,(2)取中点,连接证明平面,再求出,得到.【详解】(1)如图,连接,在中,因为和分别是和的中点,所以.又因为平面,所以平面;取中点和中点,连接,,.因为和分别为和,所以,,故且,所以,且.又因为平面,所以平面,从而为直线与平面所成的角.在中,可得,所以.因为,,所以,,,所以,,又由,有.在中,可得;在中,,因此.所以直线与平面所成角为.【点睛】求线面角一般有两个方法:几何法做出线上一点到平面的高,求出高;或利用等体积法求高向量法.20、(1),(2)这套设备使用6年,可使年平均利润最大,最大利润为35万元【解析】
(1)运用等差数列前项和公式可以求出年的维护费,这样可以由题意可以求出该设备给企业带来的总利润(万元)与使用年数的函数关系;(2)利用基本不等式可以求出年平均利润最大值.【详解】解:(1)由题意知,年总收入为万元年维护总费用为万元.∴总利润,即,(2)年平均利润为∵,∴当且仅当,即时取“”∴答:这套设备使用6年,可使年平均利润最大,最大利润为35万元.【点睛】本题考查了应用数学知识解决生活实际问题的能力,考查了基本不等式的应用,考查了数学建模能力,考查了数学运算能力.21、
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