2025届吉林省辽源市东辽县一中数学高一下期末质量检测试题含解析

2025届吉林省辽源市东辽县一中数学高一下期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知非零向量、，“函数为偶函数”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件2．已知，，，若，则等于（）A． B． C． D．3．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，记此数列为，则()A．1 B．2 C．4 D．84．已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为A． B． C． D．5．在△ABC中，角所对的边分别为,且则最大角为（）A． B． C． D．6．如图，、两点为山脚下两处水平地面上的观测点，在、两处观察点观察山顶点的仰角分别为、若，，且观察点、之间的距离为米，则山的高度为()A．米 B．米 C．米 D．米7．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于的概率是()A． B． C． D．8．若直线与直线关于点对称，则直线恒过点()A． B． C． D．9．设等比数列的前项和为，若，则（）A． B．2 C． D．10．在中，已知，.若最长边为，则最短边长为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．数列定义为，则_______.12．已知函数那么的值为．13．在数列中，按此规律，是该数列的第______项14．在△ABC中,已知30,则B等于__________．15．若函数图象各点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位，得到的函数图象离原点最近的的对称中心是______．16．某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如下的表格：甲乙丙平均数250240240方差151520根据表中数据，该中学应选__________参加比赛．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知两点，.（1）求直线AB的方程；（2）直线l经过，且倾斜角为，求直线l与AB的交点坐标.18．在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）设为截面内-点（不包括边界），求到面，面，面的距离平方和的最小值.19．已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.20．已知,函数.(1)当时,解不等式;(2)若对,不等式恒成立,求a的取值范围.21．已知是等差数列，设数列的前n项和为，且，，又，.（1）求和的通项公式；（2）令，求的前n项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据，求出向量的关系，再利用必要条件和充分条件的定义，即可判定，得到答案．【详解】由题意，函数，又为偶函数，所以，则，即，可得，所以，若，则，所以，则，所以函数是偶函数，所以“函数为偶函数”是“”的充要条件．故选C．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，函数奇偶性的定义及其判定，以及充分条件和必要条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2、A【解析】

根据向量的坐标运算法则,依据题意列出等式求解.【详解】由题知:,,,因为,所以,故,故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算,属于基础题.3、C【解析】

将数列分组：第1组为，第2组为，第3组为，，根据，进而得到数列的2017项为，数列的第2018项为，数列的第2019项为，即可求解.【详解】将所给的数列分组：第1组为，第2组为，第3组为，，则数列的前n组共有项，又由，所以数列的前63组共有2016项，所以数列的2017项为，数列的第2018项为，数列的第2019项为，所以故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中根据所给数列合理分组，结合等差数列的前n项和求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4、D【解析】

画出图象及直线，借助图象分析．【详解】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方，或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求．即，即，或者，得，，即，得，所以的取值范围是．故选D．【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法．5、C【解析】

根据正弦定理可得三边的比例关系；由大边对大角可知最大，利用余弦定理求得余弦值，从而求得角的大小.【详解】由正弦定理可得：设，，最大为最大角本题正确选项：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，涉及到三角形中大边对大角的关系，属于基础题.6、A【解析】

过点作延长线于，根据三角函数关系解得高.【详解】过点作延长线于，设山的高度为故答案选A【点睛】本题考查了三角函数的应用，属于简单题.7、C【解析】

记事件,基本事件是线段的长度，如下图所示，作于，作于，根据三角形的面积关系得，再由三角形的相似性得，可得事件的几何度量为线段的长度，可求得其概率.【详解】记事件,基本事件是线段的长度，如下图所示，作于，作于，因为，则有；化简得：，因为，则由三角形的相似性得，所以，事件的几何度量为线段的长度，因为，所以的面积大于的概率．故选：C【点睛】本题考查几何概型，属于基础题.常有以下一些方面需考虑几何概型，求解时需注意一些要点.(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解.(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域。(3)几何概型有两个特点:一是无限性，二是等可能性.基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用"比例解法求解几何概型的概率.8、C【解析】

利用直线过定点可求所过的定点.【详解】直线过定点，它关于点的对称点为，因为关于点对称，故直线恒过点，故选C.【点睛】一般地，若直线和直线相交，那么动直线必过定点（该定点为的交点）.9、C【解析】

根据等比数列前项和为带入即可。【详解】当时，不成立。当时，则,选择C【点睛】本题主要考查了等比数列的前项和，，属于基础题。10、A【解析】试题分析：由，，解得，同理，由，，解得，在三角形中，，由此可得，为最长边，为最短边，由正弦定理：，解得.考点：正弦定理.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由已知得两式，相减可发现原数列的奇数项和偶数项均为等差数列，分类讨论分别算出奇数项的和和偶数项的和，再相加得原数列前的和【详解】两式相减得数列的奇数项，偶数项分别成等差数列，，，，数列的前2n项中所有奇数项的和为：，数列的前2n项中所有偶数项的和为：【点睛】对于递推式为，其特点是隔项相减为常数，这种数列要分类讨论，分偶数项和奇数项来研究，特别注意偶数项的首项为，而奇数项的首项为.12、【解析】试题分析：因为函数所以==．考点：本题主要考查分段函数的概念，计算三角函数值．点评：基础题，理解分段函数的概念，代入计算．13、【解析】

分别求出，，，结果构成等比数列，进而推断数列是首相为2，公比为2的等比数列，进而求得数列的通项公式，再由求得答案．【详解】，，，依此类推可得，，，即.，解得.故答案为：7.【点睛】本题考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，求解的关键在于推断是等比数列，再用累加法求得数列的通项公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力.14、【解析】

根据三角形正弦定理得到角，再由三角形内角和关系得到结果.【详解】根据三角形的正弦定理得到，故得到角，当角时，有三角形内角和为，得到，当角时，角故答案为【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.15、【解析】

由二倍角公式化简函数式，然后由三角函数图象变换得新解析式，结合正弦函数性质得对称中心．【详解】由题意，经过图象变换后新函数解析式为，由，，，绝对值最小的是，因此所求对称中心为．故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数的性质，考查二倍角公式，掌握正弦函数性质是解题关键．16、乙；【解析】

一个看均值，要均值小，成绩好；一个看方差，要方差小，成绩稳定．【详解】乙的均值比甲小，与丙相同，乙的方差与甲相同，但比丙小，即乙成绩好，又稳定，应选乙、故答案为乙．【点睛】本题考查用样本的数据特征来解决实际问题．一般可看均值（找均值好的）和方差（方差小的稳定），这样比较易得结论．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）根据、两点的坐标，得到斜率，再由点斜式得到直线方程；（2）根据的倾斜角和过点，得到的方程，再与直线联立，得到交点坐标.【详解】（1）因为点，，所以，所以方程为，整理得；（2）因为直线l经过，且倾斜角为，所以直线的斜率为，所以的方程为，整理得，所以直线与直线的交点为，解得，所以交点坐标为.【点睛】本题考查点斜式求直线方程，求直线的交点坐标，属于简单题.18、（1）证明见解析；（2）（3）【解析】

（1）利用在正方体的几何性质，得到，通过线面垂直和面面垂直的判定定理证明.（2）根据和平面平面，知是在平面上的射影，即为直线与平面所成的角，然后在中求解.（3）如图所示从向面，面，面引垂线，构成一个长方体，设到面，面，面的距离分别为x，y，z，，即长方体体对角线长的平方，当且仅当平面时，最小，然后用等体积法求解.【详解】（1）如图所示：在正方体中且，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）因为，由（1）知平面平面，所以是在平面上的射影，所以即为直线与平面所成的角，在中，所以.（3）如图所示从向面，面，面引垂线，构成一个长方体，设到面，面，面的距离分别为x，y，z，，即长方体体对角线长的平方，当且仅当平面时，最小，又因为，即，，.【点睛】本题主要考查几何体中线面垂直，面面垂直的判定定理和线面角及距离问题，还考查了空间想象，抽象概括，推理论证的能力，属于中档题.19、（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;试题解析：（1）（2），∵与共线，∴∴20、(1)或;(2)或.【解析】

（1）代入，把项都移到左边，合并同类项再因式分解，即可得到本题答案；（2）等价于，考虑的图象不在图象的上方，利用数形结合的方法，即可得到本题答案.【详解】(1)当时,由得，即,解得,或，所以,所求不等式的解集为或；(2)等价于,所以当时，的图象在图象的下方，所以或所以,,或.【点睛】本题主要