江苏省泰州市兴化市第一中学2025届高一数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

江苏省泰州市兴化市第一中学2025届高一数学第二学期期末教学质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在数列中,,则数列的前n项和的最大值是（）A．136 B．140 C．144 D．1482．若，A点的坐标为，则B点的坐标为（）A． B． C． D．3．在各项均为正数的数列中，对任意都有．若，则等于（）A．256 B．510 C．512 D．10244．如果全集，，则（）A． B． C． D．5．设为数列的前项和，，则的值为（）A． B． C． D．不确定6．某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．只有一次中靶C．两次都中靶D．两次都不中靶7．若，则A． B． C． D．8．在等差数列中，若，则()A．45 B．75 C．180 D．3209．若点,直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（）A．或B．或C．D．10．在△ABC中，如果，那么cosC等于（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知为等差数列，，，，则______.12．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．13．已知球的一个内接四面体中，，过球心，若该四面体的体积为，且，则球的表面积的最小值为_________．14．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___.15．下列结论中正确的是______.（1）将图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图像；（2）将图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，再将图像向左平移个单位，得到的图像；（3）将图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，再将图像向左平移个单位，得到的图像；（4）将图像上所有点的横坐标变为原来的倍，再将图像向左平移个单位，得到的图像；（5）将图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图像；16．某校老年、中年和青年教师的人数分别为90，180，160，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则抽取的样本中老年教师的人数为_____三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．直线的方程为.(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的值；(2)若不经过第二象限，求实数的取值范围.18．（Ⅰ）已知向量，求与的夹角的余弦值；（Ⅱ）已知角终边上一点，求的值．19．已知，且（1）求的值；（2）求的值．20．如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，，为中点．（1）求证：直线平面；（2）求二面角的大小．21．已知．若三点共线，求实数的值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

可得数列为等差数列且前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，可得前8或9项和最大，由求和公式计算可得．【详解】解：∵在数列中,，

，即数列为公差为−4的等差数列，

，

令可得，

∴递减的等差数列中前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，

∴数列的前8或9项和最大，

由求和公式可得

故选：C．【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的判定，属基础题．2、A【解析】

根据向量坐标的求解公式可求.【详解】设，因为A点的坐标为，所以.所以，即.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量坐标的运算，侧重考查数学运算的核心素养.3、C【解析】

因为，所以，则因为数列的各项均为正数，所以所以，故选C4、C【解析】

首先确定集合U，然后求解补集即可.【详解】由题意可得：，结合补集的定义可知.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，补集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5、C【解析】

令，由求出的值，再令时，由得出，两式相减可推出数列是等比数列，求出该数列的公比，再利用等比数列求和公式可求出的值.【详解】当时，，得；当时，由得出，两式相减得，可得.所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，.故选：C.【点睛】本题考查利用前项和求数列通项，同时也考查了等比数列求和，在递推公式中涉及与时，可利用公式求解出，也可以转化为来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6、D【解析】

根据互斥事件的定义逐个分析即可.【详解】“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”均包含中靶一次的情况.故A错误.“至少有一次中靶”与“只有一次中靶”均包含中靶一次的情况.故B错误.“至少有一次中靶”与“两次都中靶”均包含中靶两次的情况.故C错误.根据互斥事件的定义可得,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”.故选：D【点睛】本题主要考查了互斥事件的辨析,属于基础题型.7、B【解析】

分析：由公式可得结果.详解：故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.8、C【解析】试题分析：因为数列为等差数列，且，所以，，从而，所以，而，所以，故选C.考点：等差数列的性质.9、C【解析】试题分析：画出三点坐标可知，两个边界值为和,数形结合可知为．考点：1．相交直线；2．数形结合的方法；10、D【解析】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，CosC=,选D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由等差数列的前项和公式，代入计算即可.【详解】已知为等差数列，且，，所以，解得或（舍）故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和公式的应用，属于基础题.12、分层抽样.【解析】分析：由题可知满足分层抽样特点详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样故答案为分层抽样．点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题．13、【解析】

求出面积的最大值，结合棱锥的体积可得到平面距离的最小值，进一步求得球的半径的最小值得答案．【详解】解：在中，由，且，

得，得．

当且仅当时，有最大值1．

过球心，且四面体的体积为1，

∴三棱锥的体积为．

则到平面的距离为．

此时的外接圆的半径为，则球的半径的最小值为，

∴球O的表面积的最小值为．

故答案为：．【点睛】本题考查多面体外接球表面积最值的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，考查空间想象能力，是中档题．14、【解析】

设此等差数列为{an}，公差为d，则（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份为a1，故答案为．15、（1）（3）【解析】

根据三角函数图像伸缩变换与平移变换的原则，逐项判断，即可得出结果.【详解】（1）将图像向左平移个单位，得到的图像，再将所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图像；（1）正确；（2）将图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图像，再将图像向左平移个单位，得到的图像；（2）错；（3）将图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图像，再将图像向左平移个单位，得到的图像；（3）正确；（4）将图像上所有点的横坐标变为原来的倍，得到的图像，再将图像向左平移个单位，得到的图像；（4）错；（5）将图像向左平移个单位，得到的图像，再将所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到的图像；（5）错；故答案为（1）（3）【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.16、【解析】

根据分层抽样的定义建立比例关系，即可得到答案。【详解】设抽取的样本中老年教师的人数为，学校所有的中老年教师人数为270人由分层抽样的定义可知：，解得：故答案为【点睛】本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，属于基础题。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)0或2；(2).【解析】

（1）当过坐标原点时，可求得满足题意；当不过坐标原点时，可根据直线截距式，利用截距相等构造方程求得结果；（2）当时，可得直线不经过第二象限；当时，结合函数图象可知斜率为正，且在轴截距小于等于零，从而构造不等式组求得结果.【详解】（1）当过坐标原点时，，解得：，满足题意当不过坐标原点时，即时若，即时，，不符合题意若，即时，方程可整理为：，解得：综上所述：或（2）当，即时，，不经过第二象限，满足题意当，即时，方程可整理为：，解得：综上所述：的取值范围为：【点睛】本题考查直线方程的应用，涉及到直线截距式方程、由图象确定参数范围等知识；易错点是在截距相等时，忽略经过坐标原点的情况，造成丢根.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由已知分别求得及与，再由数量积求夹角计算结果；（Ⅱ）利用任意角的三角函数的定义求得sinα，再由三角函数的诱导公式化简求值．【详解】（Ⅰ）∵，∴，||＝5，||，∴．（Ⅱ）∵P（﹣4，3）为角α终边上一点，∴，．则sin2α．【点睛】本题考查利用数量积求向量的夹角，考查任意角的三角函数的定义，训练了利用诱导公式化简求值，是基础题．19、（1）；（2）.【解析】

（1）由条件先求得然后再用二倍角公式求；（2）利用角的变换求出，在根据的范围确定的值．【详解】(1)因为,所以,所以,所以；(2)因为,所以因为,所以,由(1)得,所以＝,因为,所以.【点睛】根据已知条件求角的步骤：（1）求角的某一个三角函数值；（2）确定角的范围；（3）根据角的范围写出所求的角．在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．20、（1）证明见解析；（2）．【解析】

（1）连交于，连，则点为中点，为中点，得，即可证明结论；（1）为正三角形，为中点，可得，再由底面，得底面，得，可证平面，有，为的平面角，解，即可求出结论.【详解】（1）连交于，连，三棱柱，