北京市东城区2024届中考数学模试卷含解析

北京市东城区五十中学2024年中考数学模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1.某一公司共有51名员工(包括经理)，经理的工资高于其他员工的工资，今年经理的工资从去年的200000元增加

到225000元，而其他员工的工资同去年一样，这样，这家公司所有员工今年工资的平均数和中位数与去年相比将会()

A.平均数和中位数不变B.平均数增加，中位数不变

C.平均数不变，中位数增加D.平均数和中位数都增大

2.周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松.途中，

她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园.图中描述了小丽路上的情景，下

C.小丽在便利店时间为15分钟D.便利店离小丽家的距离为1000米

3.如图，直线y=kx+b与y=mx+n分别交x轴于点A(-1,0),B(4,0),则函数y=(kx+b)(mx+n)中，贝!|

不等式(kx+b\mx+n)>0的解集为()

B.0<x<4

C.-l<x<4D.x<-l或x>4

4.一元二次方程mx2+mx--=0有两个相等实数根，则m的值为（）

2

A.0B.0或-2C.-2D.2

5.如图，把长方形纸片ABCD折叠，使顶点A与顶点C重合在一起，EF为折痕.若AB=9,BC=3,试求以折痕EF

为边长的正方形面积（）

10C.9D.16

6.如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位,那么所得新抛物线的表达式是

A.y=(x-l)2+2B.y=(x+l)2+2C.y=x2+1D.y=x2+3

7.如图，等边△ABC的边长为4,点D,E分别是BC,AC的中点，动点M从点A向点B匀速运动，同时动点N

沿B-D-E匀速运动，点M,N同时出发且运动速度相同，点M到点B时两点同时停止运动，设点M走过的路程

为x,AAMN的面积为y,能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）

—x+7<%+3

8.不等式组《的解集在数轴上表示正确的是（）

3x-5<7

£

A.B，

-10145-101*^45

D

c.-101345'-101

9.某市公园的东、西、南、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则佳佳和琪琪

恰好从同一个入口进入该公园的概率是（）

10.七年级1班甲、乙两个小组的14名同学身高（单位：厘米）如下:

甲组158159160160160161169

乙组158159160161161163165

以下叙述错误的是（）

A.甲组同学身高的众数是160

B.乙组同学身高的中位数是161

C.甲组同学身高的平均数是161

D.两组相比，乙组同学身高的方差大

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.分解因式：x2^ix+4=.

12.如图，在4x4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使

图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是

13.有一组数据：2,3,5,5,x,它们的平均数是10,则这组数据的众数是.

m3

14.关于x的分式方程--+--=1的解为正数，则加的取值范围是

X—11—X

15.若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值为

16.如图，。。的半径为6,四边形ABCD内接于。O,连接OB,OD,若NBOD=NBCD,则弧BD的长为

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC=1,BC=g,在AC边上截取AD=BC,连接BD.

（1）通过计算，判断AD?与AOCD的大小关系;

（2）求NABD的度数.

R

18.(8分)如图，已知二次函数y=ax?+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点B(3,0).点P是

直线BC上方的抛物线上一动点.求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；连接PO,PC,并把APOC沿y轴翻折，得到

四边形POP，C.若四边形POP'C为菱形，请求出此时点P的坐标；当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积

最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.

19.（8分）已知a?+2a=9,求」一-+3"+2的值.

。+1a—1a、-2。+1

20.(8分)如图矩形ABCD中AB=6,AD=4,点P为AB上一点，把矩形ABCD沿过P点的直线1折叠，使D点落

在BC边上的D，处，直线1与CD边交于Q点.

(1)在图(1)中利用无刻度的直尺和圆规作出直线1.(保留作图痕迹，不写作法和理由)

(2)若PD±PD,①求线段AP的长度；②求sinNQD'D.

D

^4p*B

21.(8分)如图，在直角三角形ABC中，

(1)过点A作AB的垂线与NB的平分线相交于点D

(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；

(2)若NA=30。，AB=2,则4ABD的面积为.

A

22.（10分）为厉行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来.“共享单车”（俗称“小黄车”）公益活动登陆我市中心

城区.某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A、B两种不同款型，请回答下列问题：

问题1：单价

该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A、B两型自行车各50辆，投放成本共计7500元，其中B型车的成本

单价比A型车高10元，A、B两型自行车的单价各是多少？

问题2：投放方式

该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“小黄车”，乙街区每1000人投放班匚名辆“小黄车”，按

a

照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值.

23.（12分）在RtAABC中，NBAC=g：,D是BC的中点，E是AD的中点.过点A作AF〃BC交BE的延长线于

点F.

求证：△AEF^ADEB；证明四边形ADCF是菱形；若AC=4,AB=5,求菱形ADCFD

的面积.

24.已知，关于x的方程x2-mx+』m2-1=0,

4

⑴不解方程，判断此方程根的情况；

⑵若x=2是该方程的一个根，求m的值.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解题分析】

本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位

数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.

【题目详解】

解：设这家公司除经理外50名员工的工资和为a元，则这家公司所有员工去年工资的平均数是”等也元，今年

工资的平均数是元,显然

a+200000«+225000

5151；

由于这51个数据按从小到大的顺序排列的次序完全没有变化，所以中位数不变.

故选B.

【题目点拨】

本题主要考查了平均数，中位数的概念，要掌握这些基本概念才能熟练解题.同时注意到个别数据对平均数的影响较

大，而对中位数和众数没影响.

2、C

【解题分析】

解：A.小丽从家到达公园共用时间20分钟，正确；

B.公园离小丽家的距离为2000米，正确；

C.小丽在便利店时间为15-10=5分钟，错误；

D.便利店离小丽家的距离为1000米，正确.

故选C.

3、C

【解题分析】

看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可.

【题目详解】

,直线yi=fcc+方与直线分别交x轴于点4(-L。)，B(4,0),

不等式(履+份(mx+”)>0的解集为-l<x<4,

故选C.

【题目点拨】

本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个

函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变.

4、C

【解题分析】

由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0,求出m的值，经检验即可得到满足题意m的值.

【题目详解】

•.•一元二次方程mx^mx--=0有两个相等实数根，

2

-4mx(-—)=m1+lm=0,

2

解得：m—0或m--1,

经检验m=0不合题意，

则m--1.

故选C.

【题目点拨】

此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0,方程有两个相

等的实数根；根的判别式的值小于0,方程没有实数根.

5、B

【解题分析】

根据矩形和折叠性质可得△EHC之△FBC,从而可得BF=HE=DE,设BF=EH=DE=x,贝!|AF=CF=9-x,在RSBCF

中，由BF2+BC2=CF2可得BF=DE=AG=4,据此得出GF=1,由EF2=EG2+GF2可得答案.

【题目详解】

如图，•.•四边形ABCD是矩形，

/.AD=BC,ZD=ZB=90°,

根据折叠的性质，有HC=AD,ZH=ZD,HE=DE,

；.HC=BC,ZH=ZB,

XZHCE+ZECF=90°,ZBCF+ZECF=90°,

/.ZHCE=ZBCF,

在4EHC^AFBC中，

"NH=NB

\HC=BC,

NHCE=NBCF

.,.△EHC^AFBC,

/.BF=HE,

/.BF=HE=DE,

设BF=EH=DE=x,

贝!JAF=CF=9-x,

222

在RtABCF中，由BF?+BC2=CF2可得x+3=(9-x),

解得：x=4,即DE=EH=BF=4,

贝！IAG=DE=EH=BF=4,

/.GF=AB-AG-BF=9-4-4=1,

:.EF2=EG2+GF2=32+l2=10,

故选B.

【题目点拨】

本题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等，综合性较强，熟练掌握各相关的性质

定理与判定定理是解题的关键.

6、C

【解题分析】

根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案.

【题目详解】

•••抛物线y=x2+2向下平移1个单位，

二抛物线的解析式为y=x2+2-l,即y=x2+l.

故选C.

7、A

【解题分析】

根据题意，将运动过程分成两段.分段讨论求出解析式即可.

【题目详解】

VBD=2,/B=60°,

.•.点D到AB距离为6，

当0<x<2时，

1石62

y=—x%•——x=——x；

224

当2Wx“时，y=—^/3=-x-

2xy2

根据函数解析式，A符合条件.

故选A.

【题目点拨】

本题为动点问题的函数图象，解答关键是找到动点到达临界点前后的一般图形，分类讨论，求出函数关系式.

8、C

【解题分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，在数轴上表示时由包括该数用实心

点、不包括该数用空心点判断即可.

【题目详解】

解：解不等式-x+7<x+3得：x>2,

解不等式3x-5W7得:x<4,

二不等式组的解集为：2VxW4,

故选：C.

【题目点拨】

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找;

大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

9、B

【解题分析】

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的

情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

【题目详解】

画树状图如下：

佳佳东南西北

八八八八

琪琪东南西北东南西北东南西北东南西北

由树状图可知，共有16种等可能结果，其中佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的有4种等可能结果，

41

所以佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率为7，

164

故选B.

【题目点拨】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法

适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.

10、D

【解题分析】

根据众数、中位数和平均数及方差的定义逐一判断可得.

【题目详解】

A.甲组同学身高的众数是160,此选项正确;

B.乙组同学身高的中位数是161,此选项正确;

158+159+160x3+161+169

C.甲组同学身高的平均数是此选项正确;

7

D.甲组的方差为号，乙组的方差为亍，甲组的方差大，此选项错误.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了众数、中位数和平均数及方差，掌握众数、中位数和平均数及方差的定义和计算公式是解题的关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、(x-1)1

【解题分析】

试题分析：直接用完全平方公式分解即可，即x-4x+4=(x-1)I

考点：分解因式.

12、—

13

【解题分析】

如图，有5种不同取法；故概率为三.

13、1

【解题分析】

根据平均数为10求出x的值，再由众数的定义可得出答案.

解：由题意得，--(2+3+1+1+x)=10,

4

解得：x=31,

这组数据中1出现的次数最多，则这组数据的众数为L

故答案为L

14、w>2：且/”片3.

【解题分析】

方程两边同乘以x-1,化为整数方程，求得x,再列不等式得出m的取值范围.

【题目详解】

方程两边同乘以x-1,得，m-l=x-l,

解得x=m-2,

vn3

•••分式方程-=1的解为正数，

X—11—X

•*.x=m-2>0且x-lrO,

即m-2>0且m-2-屏。，

•*.m>2且m/1,

故答案为m>2且mWL

15、-1

【解题分析】

根据关于x的一元二次方程X2+2X-m=0有两个相等的实数根可知△=0,求出m的取值即可.

【题目详解】

解：由已知得△=（）,即4+4m=0,解得m=-L

故答案为-L

【题目点拨】

本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a/））的根与AubZ/ac有如下关系：①当A>0时，方程有两

个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<0时，方程无实数根.

16、4k

【解题分析】

根据圆内接四边形对角互补可得NBCD+NA=180。，再根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系以及NBOD=NBCD,

可求得NA=60。，从而得NBOD=120。，再利用弧长公式进行计算即可得.

【题目详解】

解：：四边形ABCD内接于。O,

ZBCD+ZA=180°,

VZBOD=2ZA,ZBOD=ZBCD,

.,.2ZA+ZA=180°,

解得：ZA=60°,

:.ZBOD=120°,

120^x6

8£>的长==4»，

180

故答案为47r.

【题目点拨】

本题考查了圆周角定理、弧长公式等，求得NA的度数是解题的关键.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)AD2=AC«CD.(2)36°.

【解题分析】

试题分析：(1)通过计算得到4。2=子，再计算ACCD,比较即可得到结论；

⑵由=/0.CD，得到="c-CD,即第=黑，从而得到4ABCsZ\BDC,故有为=蔡从而得至!!BD=BC=AD,

故NA=NABD,ZABC=ZC=ZBDC.

设NA=NABD=x,贝！J/BDC=2x,ZABC=ZC=ZBDC=2x,由三角形内角和等于180。，解得：x=36。，从而得到结论.

忑—1

试题解析：(1)•••AD=BC=1,；.山=比)2=噌

VAC=1,：.CD=]_等=手工山=AC

(2)''AD2=AC'CDf->BC2=AC'CD^即第=登，XVZC=ZC,AAABC^ABDC,•,窑=荔X*-'AB=AC,

.,.BD=BC=AD,.\NA=NABD,ZABC=ZC=ZBDC.

设NA=NABD=x,贝(]NBDC=NA+NABD=2x,/.ZABC=ZC=ZBDC=2x,AZA+ZABC+ZC=x+2x+2x=180°,解

得：x=36°,.,.ZABD=36°.

考点：相似三角形的判定与性质.

18、(1)y=-x2+2x+3(2)(空回，-)(3)当点P的坐标为(之，岸)时，四边形ACPB的最大面积值为§

22248

【解题分析】

(1)根据待定系数法，可得函数解析式；

(2)根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；

(3)根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的和差，可得

二次函数，根据二次函数的性质，可得答案.

【题目详解】

(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

9。+6+c=0

c=3,

a=-1

解得

b=3,

二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；

(2)若四边形POP，C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上,

,E0,|,

3

・••点P的纵坐标一,

2

33

当y=一时，即—X2+2%+3=—,

22

解得西=2+即,“2―浮(不合题意，舍),

'2+710M

•••点P的坐标为

(3)如图2,

P在抛物线上，设P(m,-m2+2m+3),

设直线BC的解析式为y=kx+b,

将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

3k+3=0

<b=3,

k=—1

解得7.

b=3.

直线BC的解析为y=-x+3,

设点Q的坐标为(m,-m+3),

PQ=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m.

当y=0时，-X2+2X+3=0,

解得X2=3,

AB-3-(-1)=4,

S四边形ABPC=SAABC+SAPCQ+SAPBQ

=^ABOC+^PQOF+^PQFB,

=gx4x3+g(-7〃2+3tnjx3,

3

当m=1时，四边形ABPC的面积最大.

2

3915_215

当m=—时，—7优+2加+3=—,即P点的坐标为5

242T

当点P的坐标为，?时，四边形ACPB的最大面积值为9

【题目点拨】

本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的性质得出P点的纵坐标，又

利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质.

2]_

以S,

【解题分析】

试题分析：原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把已知

等式变形后代入计算即可求出值.

试题解析：

1__，+2.〃2+3〃+2_1a+2(〃T)2=1"12

〃+1a2-1a2-2a+1a+1+(〃+l)(a+2)&+】(^+1)2(a-bl)2

■:a2+2a=9,

...(a+1)2=1.

一

••原式二—2——1

105

20、（1）见解析；（2）叵

10

【解题分析】

（1）根据题意作出图形即可；

（2）由（1）知，PD=PD，，根据余角的性质得到NADP=NBP»,根据全等三角形的性质得到AD=PB=4,得至【JAP=2；

根据勾股定理得到PD=VAD2+AP2=2A/5，根据三角函数的定义即可得到结论.

【题目详解】

（1）连接PD,以P为圆心，PD为半径画弧交BC于D，，过P作DD，的垂线交CD于Q,

则直线PQ即为所求；

(2)由(1)知，PD=PD，,

；PD'_LPD,

:.ZDPDr=90°,

VZA=90°,

:.ZADP+ZAPD=ZAPD+ZBPDf=90°,

:.ZADP=ZBPD,,

ZA=ZB=90°

在4ADP与4BP»中，｛NADP=ZBPD',

PD=PD'

.,.△ADP^ABPDS

，AD=PB=4,AP=BD'

；PB=AB-AP=6-AP=4,

.,.AP=2；

.•・PD=Jm+A产=2小,BD，=2

；.CD，=BC-BD，=4-2=2

；PD=PD',PD_LPD',

VDD,=V2PD=2V10»

•；PQ垂直平分D»,连接QD，

贝！IDQ=D'Q

:.NQD'D=NQDD'

CD'2

/.sinZQDrD=sinZQDDf=-------=——=

DD'2MTo-

【题目点拨】

本题考查了作图-轴对称变换，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的

作出图形是解题的关键.

21、(1)见解析(2)冬8

3

【解题分析】

(1)分别作NABC的平分线和过点A作的垂线，它们的交点为。点；

(2)利用角平分线定义得到NA8Z)=30。，利用含30度的直角三角形三边的关系得到走43=冬8,然后利用三

33

角形面积公式求解.

【题目详解】

解：(1)如图，点。为所作;

(2)'：ZCAB=30°,：.ZABC=60°.

'：BD为角平分线，NA30=30。.

'：DA±AB,：.ZDAB=90°.在RtAA3£)中，AD=BAB=^^~,.•.△43。的面积='*2*^^=^1.

33233

故答案为迪.

3

【题目点拨】

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作

图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐

步操作.也考查了三角形面积公式.

22、问题1：A、B两型自行车的单价分别是70元和80元；问题2：a的值为1