2020年中考数学总复习圆的经典题型(含答案)

1、如图1,四边形ABC。内接于0。，AC是⑷。的直径，过点A的切线与C。的延长线相交

F点P.RZAPC^ZBCP

(1)求证：ZBAC=2ZACD；

(2)过图1中的点。作。E_LAG垂足为E(如图2)当80=6,AE=2时，求。。的半径.

*

图1图2

2、如图，在AABC中，/BAC=90。，点E在BC边上，且CA=CE,过AC,E三点的。。

交AB于另一点F,作直径A。，连结DE并延长交于点G,连结C。，CF.

(1)求证：四边形DCFG是平行四边形.

3.

(2)当BE=4,CD=8AB时，求。。的直径长.

3、如图，在口0ABe中，以。为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B,与OC相交于点。.

(1)求BD的度数.

(2)如图，点E在。。上，连结CE与。。交于点F,若EF=AB,求N0CE的度数.

E

4、如图，。。是AABC的外接圆，/BAC的平分线交。。于点。，交BC于点E,过点。作

直线DF//BC.

(1)判断直线。尸与⑷。的位置关系，并说明理由；

12aW7

(2)若A8=6,AE=5,CE=5,求BD的长.

5、如图，点。是以AB为直径的。。上一点，过点8作。。的切线，交AD的延长线于点C,

E是BC的中点，连接DE并延长与的延长线交于点尸.

(1)求证：。尸是。。的切线；

(2)若OB=BF,EF=4,求4?的长.

6、如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AD平分N8AC,AD交BC于点D,

EDLAD交AB于点E,△%口£的外接圆。。交AC于点F,连接EF.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)求。。的半径r及/3的正切值.

7、如图，在RMABC中，/ABC=90。，以A8为直径作。。，点。为。。上一点，且。。=

CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E.

(1)判断直线CD与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若BE=2,DE=4,求圆的半径及AC的长.

8、如图，AABC内接于O。，AB为直径，作。DLAB交AC于点D,延长BC,。。交于点尸,

过点C作。。的切线CE,交。尸于点E.

(1)求证：EC=ED；

(2)如果。八=4,EF=3,求弦AC的长.

9、如图1,已知。。外一点尸向。。作切线只4点A为切点，连接P。并延长交。。于点B,

连接A。并延长交。。于点C,过点C作分别交P8于点E,交。。于点D,连接

AD.

(1)求证：&APO〜2DCA-,

(2)如图2,当AD=A。时

①求/尸的度数;

PQ

②连接AB,在OO上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形.若存在，请直接写出CQ的值;

若不存在，请说明理由.

图1图2

10、如图，在。。中，B是0。上的一点，ZZIBC=12O°,弦AC=2'R,弦B/W平分/ABC

交AC于点D,连接MAMC.

(1)求。。半径的长；

(2)求证：AB+BC=BM.

11、如图，在RtAABC中，/ACB=90。，。为AB的中点，以CD为直径的。。分别交AC,

BC于点E,尸两点，过点尸作尸GLAB于点G.

(1)试判断FG与。。的位置关系，并说明理由.

(2)若AC=3,CD=2.5,求FG的长.

12、如图1,AB为半圆的直径，点。为圆心，A尸为半圆的切线，过半圆上的点C作CD〃AB

交AF于点。，连接BC.

(1)连接D。，若BC〃0D,求证：C。是半圆的切线；

(2)如图2,当线段C。与半圆交于点E时，连接入£,AC,判断NAED和/ACD的数量关

系，并证明你的结论.

图1图2

13、如图，AB是。。的直径，AC与00交于点F,弦AD平分/BAGDEIAC,垂足为E.

(1)试判断直线。E与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若。。的半径为2,ZBAC=60°,求线段EF的长.

14、如图，AABC内接于。。，AB是O。的直径，AC=CE,连接交BC于点。，延长DC

至尸点，使CF=C。，连接AF.

(1)判断直线八尸与。。的位置关系，并说明理由.

(2)若AC=10,tan/CAE=,求AE的长.

15、已知AB是。。的直径，4W和BN是O。的两条切线，。。与。。相切于点E,分别交AM.

BN于D、C两点

(1)如图1,求证：AE^=4AD-BC

(2)如图2,连接OE并延长交4W于点打，连接CF.^ZADE=2ZOFC,AD=1,求图中阴

影部分的面积

16、如图在AABC中，AB=BC,以A8为直径作。。交AC于点。，连接。。.

(1)求证：OD〃BG

(2)过点。作。。的切线，交BC于点E,若/八=30。，求的值.

17、如图，A8为OO的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作延长线的垂线CE,

垂足为E.

(1)求证：CE是。。的切线；

(2)若。。的半径为2,求图中阴影部分的面积.

18、如图，AC是。。的一条弦，AP是。。的切线。作BM=AB并与AP交于点M,延长MB

交AC于点E,交©0于点D,连接AD。

(1)求证：AB=BE

(2)若。0的半径R=5,AB=6,求AD的长。

19、如图，AB为。。的直径，且AB=4v5,点C是AB上的一动点(不与A,B重合)，过

点B作。。的切线交AC的延长线于点。，点E是BD的中点，连接EC.

(1)求证：EC是。。的切线；

(2)当/。=30。时，求阴影部分面积.

20、如图，AABC中，AB^AC,以AC为直径的。。交BC于点。，点E为C延长线上一点,

且/COE=2ZBAC.

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)^AB=3BD,CE=2,求。。的半径.

21、如图，AB是。。的直径，点C为。。上一点，点P是半径。8上一动点(不与。，8重

合)，过点尸作射线1±AB,分别交弦BC,前于D,E两点，在射线/上取点F,使FC=FD.

(1)求证：FC是。。的切线；

(2)当点E是前的中点时，

①若/BAC=60。，判断以。，B,E,C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

3_

②若tan/ABC=4,且AB=20,求DE的长.

22、如图，，48是。。的直径,点，在AB的延长线上，C、月是。。上的两点,CE-二？,

'〜」，延长；‘交一’的延长线于点产

(1)求证：「□是。'」的切线;

(2)求证：，二？一

(3)若3Z>=1,CD=0,求弦4C的长.

23、如图，在R3ABC中，ZACB=90°,以AC为直径的。。交AB于点。，过点。作。。

的切线交BC于点E,连接。£

(1)求证：ADBE是等腰三角形；

(2)求证：ACOESACAB.

24、如图，AB为。。的直径，AC平分/BAD,交弦BD于点G,连接半径0C交BD于点E,

过点C的一条直线交AB的延长线于点F,ZAFC=ZACD.

(1)求证：直线CF是。。的切线;

(2)若DE=2CE=2.

①求AD的长；

②求AACF的周长.(结果可保留根号)

25、如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作。。，点E在

BC边上，连结AE交©。于点F,连结BF并延长交CD于点G

(1)求证：AABE三ABCG

(2)若/AEB=45。，0A=3,求八"’的长。(结果保留根号)

26、如图，以AABC的边BC为直径作O。，点A在。。上，点D在线段8c的延长线上，AD

=AB,ZD=30°.

(1)求证：直线入。是③。的切线;

(2)若直径BC=4,求图中阴影部分的面积.

27、如图，正六边形ABCDEF内接于OO,BE是。。的直径，连接8尸，延长BA过尸作FG

LBA,垂足为G.

(1)求证：FG是O。的切线；

(2)已知FG=2'R,求图中阴影部分的面积.

D

28、如图，已知AB是。。的直径，点尸是。。上一点，连接。尸，点A关于。P的对称点C

恰好落在。。上.

(1)求证：0P〃BC；

(2)过点C作(DO的切线C。，交A尸的延长线于点。.如果ND=90。，DP=1,求。。的直

径.

29、如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的0。与边BGAC分别交于D,E两点，过

点。作DHLAC于点H.

(1)判断DH与。。的位置关系，并说明理由;

(2)求证：H为CE的中点；

返

(3)若BC=10,cosC=5,求入£的长.

30、如图，B/W是以AB为直径的。。的切线，B为切点，BC平分/AB/W,弦CD交AB于点E,

DE=OE.

(1)求证：AACB是等腰直角三角形;

(2)求证：。4=。日。0：

(3)求tan/ACD的值.

31、如图，在RQA8C中，ZC=90°,以BC为直径的③。交AB于点D,切线。E交A。于

点E.

(1)求证：/八=NADE；

(2)若八D=8,DE=5,求BC的长.

32、如图，A8为。。的直径，点尸为A8延长线上的一点，过点尸作。。的切线PE,切点为

M,过48两点分别作PE的垂线AC、BD,垂足分别为C、D,连接4W,则下列结论正确的

是.(写出所有正确结论的序号)

①4W平分/CAB；

@AI^^AC-AB；

-TV_

③若AB=4,ZAPE=30°,则BM的长为3；

④若AC=3,BD=1,则有C/W=D/W=避.

参考答案

1、如图1,四边形ABCD内接于。。，AC是。。的直径，过点4的切线与C。的延长线

相交于点尸.且/A尸C=NBCP

(1)求证：ZBAC=2ZACD；

(2)过图1中的点。作DELAC,垂足为E(如图2),当BC=6,AE=2时，求⑷。的半径.

PP

图1图2

解答】(1)证明：作。尸，8c于F,连接

尸是。。的切线，

：.ZPAC=90°,即NP+/AC尸=90°,

•；AC是。。的直径，

：.ZADC=90°,即/尸CA+/DAC=90°,

：.ZP=ZDAC=ZDBC,

:NAPC=NBCP,

：.ZDBC=ZDCB,

DB=DC,

•：DF±BC,

二。尸是8C的垂直平分线，

r.DF经过点。，

*/OD=OC,

：.ZODC=ZOCD,

'：ZBDC=2ZODC,

；./BAC=NBDC=2ZODC=2ZOCD；

(2)解：经过点。，DFLBC,

：.FC=2BC=3,

在ADEC和△CFO中，

，ZDCE=ZFDC

,ZDEC=ZCFD

DC=CD,

.,.ADEC^ACFD(AAS)

；.DE=FC=3,

・・・N，DC=90。，DELAC,

・・・DE=AE・EC,

DE22

则EC=AE=2,

9,13

.*./4C=2+2=2,

13

・・・。。的半径为7".

P

B

图2

p

图1

2、如图，在AABC中，/BAC=90。，点E在BC边上，且CA=CE,过AC,E三点的。。

交AB于另一点F,作直径A。，连结DE并延长交48于点G,连结C。，CF.

(1)求证：四边形DCFG是平行四边形.

3.

(2)当BE=4,CD=8AB时，求。。的直径长.

【分析】(1)连接AE,由/BAC=90。，得到CF是。。的直径，根据圆周角定理得到/AED

=90°,SPGDLAE,推出C尸〃。G,推出AB〃C。，于是得到结论；

(2)设CD=3x,AB=8x,得至ijCO=FG=3x,于是得到AF=CD=3x,求得BG=8x-3x-

3x=2x,求得BC=6+4=10,根据勾股定理得至!JAB='VTK--62=8=8x,求得x=1,在

R3AC尸中，根据勾股定理即可得到结论.

【解答】(1)证明：连接AE,

■：ZBAC=90°,

...C尸是OO的直径，

'：AC=EC,

：.CF1AE,

是。。的直径，

：.ZAED=90°,

即GDLAE,

CF//DG,

・・・人。是。。的直径，

：.ZACD=90°f

•••N/ACD+NB4c=180。，

：.AB//CD,

・・・四边形DCFG是平行四边形；

3_

(2)解：由CD=3AB,

设CO=3x,AB=8x,

CD=FG=3x,

*：ZAOF=ZCOD,

.\AF=CD=3x,

BG=8x-3x-3x=2x,

GE//CF,

BE二里二2

AEC^GF

BE=4,

：.AC=CE=6,

：.80=6+4=10,

V102-62=8=8X,

x—1,

在RtZkACF中，AF=10,AC=6,

：.CF=M，&2=3娓,

即。。的直径长为3、n.

3、如图，在D0ABe中，以。为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B,与OC相交于点。.

(1)求俞的度数.

(2)如图，点E在。。上，连结CE与。。交于点F,若EF=AB,求N0CE的度数.

•••BC是圆的切线，

•..四边形0ABe是平行四边形,

：.OA//BC,：.OB±OA,

：.△AO8是等腰直角三角形，

Z.ZABO=45°,

BD的度数为45。；

(2)连接。E,过点。作EC于点H,设EH=t,

；OHLEC,

：.EF=2HE=2t,

:四边形OA8C是平行四边形，

：.AB=CO=EF=2t,

,/乙AOB是等腰直角三角形，

:.OA=y[2t,

则H0=VOE2-EH2=42t2-12=t,

；OC=2OH,

：.ZOCE=30°.

4、如图，。。是AABC的外接圆，NBAC的平分线交。。于点。，交BC于点E,过点。作

直线DF//BC.

(1)判断直线DF与O。的位置关系，并说明理由；

12«WT

(2)若A8=6,AE=5,CE=5,求BD的长.

A

【分析】（1）连接。。，根据角平分线的定义得到NB4D=NC4。，求得加=

i,根据垂径

定理得到OO_LBC,根据平行线的性质得到ODJ_DE于是得到。尸与。。相切;

（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

【解答】解：（1）。尸与。。相切,

理由：连接。。,

•••NB4C的平分线交。。于点D,

：.ZBAD=ZCAD,

BD=CD,

JODLBC,

・・•DF//BC,

：.OD_LDF,

・・・。尸与。。相切；

(2),：ZBAD=ZCADfZADB=ZC,

•••△ABDS^AEC,

AB二加

AE-CE,

6BD

\2炳4v7

5=5,

2强

BD=7.

A

FD

5、如图，点。是以AB为直径的。。上一点，过点8作。。的切线，交的延长线于点G

E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F.

(1)求证：DF是。。的切线；

(2)若OB=BF,EF=4,求AD的长.

分析】(1)连接。。，由为⑷。的直径得/8DC=90。，根据BE=EC知/1=/3、由。。

=。8知/2=/4,根据BC是。。的切线得/3+/4=90。，即/1+/2=90。，得证；

(2)根据直角三角形的性质得到/尸=30。，BE=2EF=2,求得。E=BE=2,得到DF=6,

根据三角形的内角和得到。。=。4求得/A=/ADO=2-8。。=30。，根据等腰三角形的

性质即可得到结论.

【解答】解：(1)如图，连接。。，BD,

•••AB为。。的直径，

：.ZADB=ZBDC=90°,

在R3BDC中，VBE=EC,

DE=EC=BE,

：.Z1=Z3,

是。。的切线，

.,.Z3+Z4=90°,

.*.Z1+Z4=90°,

又・・・N2=N4,

.,.Z1+Z2=90°,

・・・。尸为。。的切线；

(2)VOB=BF,

：.OF=2OD,

：.ZF=30°,

•；/FBE=90。,

：.BE=2EF=2,

：.DE=BE=2,

：.DF=6,

VZF=30°,/ODF=90。,

・・・"。。=60。，

・・・OD=OA,

：.ZA=ZADO=2BOD=30°,

：.ZA=ZF,

.,.AD=DF=6.

6、如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AD平分NBAC,AD交8c于点0,

E。，/。交AB于点£,AADE的外接圆。。交AC于点尸，连接EE

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)求。。的半径r及/3的正切值.

【解答】(1)证明：

：.ZEDA=90°,

•.YE是。。的直径，

••JE的中点是圆心。，

连接。。，则0A=。。，

.-.Z1=ZODZl,

平分/84C,

：.Z2=Z1=Z0DA,

：.OD//AC,

：.ZBDO=ZACB=QO°,

：.BC是。。的切线；

(2)解：在RQ4BC中，由勾股定理得，＞48=VBC2+AB2=VS2+62=10,

OD//AC,

•••△BDOs^BCA,

ODOBr_10rr

・,.AC-AB,即6—10,

15

/.r—4,

在RtABOO中，BD=VOB2-OD2=V(io-r)2-r2=5,

：.CD=BC-BD=8-5=3,

CD21

在RtA/4CD中，tanN2=AC=6=2,

・・・N3=N2,

1_

tanZ3=tanZ2=2.

7、如图，在RQ48C中，ZABC=90°,以28为直径作。。，点。为。。上一点，且。。=

CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E.

(1)判断直线C。与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若EE=2,DE=4,求圆的半径及4c的长.

【解答】(1)证明：连接。C

VCB=CD,CO=CO,OB=OD,

•••△OCBSOCD(SSS),

：.ZODC=ZOBC=90°,

：.OD±DC,

，DC是。。的切线；

(2)解：设◎。的半径为r.

在RQOBE中，VOE2=EB2+OB2,

(4-r)2=匹+22,

r=1.5,

OBCD

tanZE=EB=DE,

1.5CD

2=4,

CD=BC=3,

在RtAABC中，AC=VAB2+BC2=V32+32=3正.

•••圆的半径为1.5,AC的长为3a.

8、如图，A/IBC内接于。。，A8为直径，作。。,AB交AC于点D,延长BGOD交于点F,

过点C作。。的切线CE,交。尸于点E.

(1)求证：EC=ED-,

(2)如果。A=4,EF=3,求弦AC的长.

【分析】(1)连接OC,由切线的性质可证得/ACE+/A=90。，又/CDE+/A=90。，可得/

CDE=NACE,则结论得证；

(2)先根据勾股定理求出OE,OD,，。的长，证明RtAAODsRsACB,得出比例线段即可

求出AC的长.

【解答】（1）证明：连接。C,

・・・CE与。。相切，为C是。。的半径，

・•・OC1CE,

：.ZOCA+ZACE=90°,

*：OA=OC,

：.ZA=ZOCA,

：.ZACE+ZA=90°,

・・,ODLAB,

：.ZODA+ZA=90°f

*：ZODA=ZCDE,

：.ZCDE+ZA=QO0,

・・・NCDE=/ACE,

：.EC=ED；

(2)解：・・・AB为。。的直径，

：.ZACB=90°,

在RtaDCF中，ZDCE+ZECF=90°,/DCE=NCDE,

AZCDE+ZECF=90°,

*：ZCDE+ZF=90°,

：.ZECF=ZF,

・•・EC=EF,

•：EF=3,

EC=DE=3,

：.OE=VOC2+EC2=V42+32=5,

：.OD=OE-DE=2,

在RtAOZID中，AD=V0A2+0D2=V42+22=2娓,

在R3A。。和RtA/lCB中，

：/A=/A,ZACB^ZAOD,

：.Rt"ODsRtAACB,

QA_AD

r.AC-AB,

4_2A/5

即AC-8,

1际

：.AC=5.

9、如图1,已知。。外一点尸向。。作切线尸A,点A为切点，连接尸。并延长交。。于点B,

连接A。并延长交。。于点G过点C作COLPB,分别交P8于点E,交。。于点D,连接

AD.

(1)求证：AAPCHDCA；

(2)如图2,当AD=A。时

①求/尸的度数；

PQ

②连接AB,在。。上是否存在点Q使得四边形A尸Q8是菱形.若存在，请直接写出CQ的值;

若不存在，请说明理由.

图1图2

解：(1)证明：如图1,・・,根切。。于点4AC是。。的直径，

：.ZPAO=ZCDA=90°

・・,CDLPB

：.ZCEP=90°

：.ZCEP=ZCDA

：.PB//AD

：.ZPOA=ZCAO

：.^APO-^DCA

(2)如图2,连接OD,

9

®\AD=AOfOD=AO

・・・△0/4。是等边三角形

：.ZOAD=60°

・・,PB//AD

：.ZPOA=ZOAD=GQ°

*：ZPAO=90°

：.N尸=90。-ZPOA=90°-60°=30°

②存在.如图2,过点B作BQ,4c交。。于Q,连接尸Q,BC,CQ,

由①得：ZPO/A=60°,ZPAO=90°

：.ZBOC=ZPOA=6Q°

•・•OB=OC

：.ZACB=60°

：.ZBQC=ZBAC=30°

・・,BQLAC,

：.CQ=BC

•：BC=OB=OA

:・ACBQ沿AOBACAAS)

BQ=AB

,：ZOBA=ZOPA=30°

：.AB=AP

：.BQ=AP

•：PA±AC

：.BQ//AP

・・・四边形4BQP是平行四边形

*：AB=AP

・・・四边形48QP是菱形

・・・PQ=AB

PQAB

CQ=BC=tanZ/4CB=tan60°=V3

图2

图1

10、如图，在。。中，8是。。上的一点，ZABC=-\20°,弦AC=2、后，弦B/W平分N4BC

交AC于点D,连接MAMC.

(1)求。。半径的长；

(2)求证：AB+BC=BM.

a

解：(1)连接OC,过。作OHJ_AC于点H,如图1,

金。

图1

・.,N?WC=120。，

・・・Z/l/WC=180o-ZABC=60°,

：.ZAOC=2ZAMC=120°,

1

ZAOH=2ZAOC=60°,

1

'：AH=2AC=a,

_2

：.OA=sineO°

故。。的半径为2.

(2)证明：在B/W上截取BE=8C,连接CE,如图2,

图2

,.,ZMBC=60°,BE=BC,

：.AEBC是等边三角形，

ACE=CB=BE,ZBCE=60°,

：.ZBCD+ZDCE=60°,

'：ZZACM=60°,

：.ZECM+ZDCE=60°,

；./ECM=NBCD,

VZABC=-\20°,BM平分/ABC,

Z.ZABM=ZCBM=60°,

：.ZCAM^ZCBM=60°,ZACM^ZABM=60°,

...△AC/W是等边三角形，

.*.AC=CM,

AA/ICB^A/WCE,

：.AB=ME,

,：ME+EB=BM,

：.AB+BC=BM.

11＞如图，在R34BC中，ZACB=90°,。为48的中点，以C。为直径的。。分别交4C,

BC于点E,F两点，过点F作FG_L4B于点G.

(1)试判断尸G与。。的位置关系，并说明理由.

(2)若4c=3,CD=2.5,求FG的长.

解答】解：(1)FG与。。相切,

理由：如图，连接。F,

•：ZACB=90°,。为AC的中点,

CD=BD,

:・NDBC=NDCB,

•：OF=OC,

：.ZOFC=ZOCF,

：・NOFC=NDBC,

：.OF//DB,

AZOFG+ZDGF=180°,

*：FG±AB,

AZDGF=90°,

AZOFG=90°,

・・・FG与。。相切;

(2)连接DF,

・・・。。=2.5,

：.AB=2CD=5f

.•.BC=VAB2-AC2=4,

・；C。为。。的直径，

：.ZDFC=90°,

：.FD±BC,

•：DB=DC,

/.BF=2BC=2,

AC_FG

,：smZABC=AB-FB,

3_FG

即5=2,

/.FG=5.

12、如图1,AB为半圆的直径，点。为圆心，A尸为半圆的切线，过半圆上的点C作CD〃AB

交AF于点。，连接BC.

(1)连接D。，BC//OD,求证：CD是半圆的切线;

(2)如图2,当线段C。与半圆交于点E时，连接4E,AC,判断N4E。和N4C。的数量关

系，并证明你的结论.

【解答】(1)证明：连接。C,

•••/4F为半圆的切线，46为半圆的直径,

J.ABLAD,

VCD//AB,BC〃OD,

・・・四边形BODC是平行四边形，

OB=CD,

•：OA=OB,

•.CD=OA,

・・・四边形40C。是平行四边形，

JOC//AD,

*：CD//BA,

：.CDLAD,

・・,OC//AD,

・・・OC1CD,

・・・C。是半圆的切线；

(2)解：ZAED+ZACD=90°f

理由：如图2,连接BE

・・•48为半圆的直径,

：.ZAEB=90°f

：.ZEBA+ZBAE=90%

,：ZDAE+ZBAE=90°f

：.ZABE+ZDAE,

*：ZACE=ZABE,

：.ZACE=ZDAE,

*：ZADE=90°f

：.ZDAE+ZAED=ZAED+ZACD=90°,

图1

13、如图，AB是。。的直径，AC与。。交于点F,弦4。平分NB4C,DE1AC,垂足为E.

(1)试判断直线。E与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若。。的半径为2,ZBAC=60°,求线段EF的长.

【解答】解：(1)直线与。。相切,

连结OD.

,・YD平分NB4C,

：.ZOAD=ZCADf

•：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

：.ZODA=ZCADf

：.OD//AC,

VDELAC,即N4ED=90。，

・・・ZODE=90°,即DELOD,

・・・DE是。。的切线；

(2)过。作OG_L4F于G,

：.AF=2AG,

,：ZBAC=60°,04=2,

1

.*.AG=2OA=A,

：.AF=2,

：.AF=OD,

・・・四边形八。。尸是菱形,

/.DF//OA,DF=OA=2,

；・NEFD=NBAC=6。。,

:・EF=20F=1.

14、如图，△ABC内接于(DO,AB是。。的直径，AC=CE,连接4E交EC于点。，延长。C

至尸点，使CF=C。，连接4F.

(1)判断直线AF与。。的位置关系，并说明理由.

(2)若4c=10,tanNC4E=,求4E的长.

解：(1)直线4F是。。的切线，理由是：连接AC,

・・,人8为。。直径，

：.ZACB=90°,

J.ACLBC,

•:CF=CD,

：.ZCAF=ZEAC,

•：AC=CE,

：.ZE=ZEAC,

■:/B=/E,

：.NB=NFAC,

VZB+ZB/4C=90°,

：.ZFAC+ZBAC=90°,

：.OA±AF,

又・・,点4在。O上,

・・・直线4F是。。的切线；

(2)过点C作C/W„E,

・.・tanNC4E=,

••—，

・・FC=10,

・••设C/W=3x,则AM=4x,

在Rt^AC例中，根据勾股定理，。/+八怀=八。2,

J(3x)2+(4x)2=100,

解得x=2,

.*.AM=8,

•：AC=CE,

：.AE=2AE=2x8=^6.

15、已知48是。。的直径,4W和B/V是。。的两条切线，DC与。。相切于点E,分别交AM、

BN于D、C两点

(1)如图1,求证：A—4ADEC

(2)如图2,连接OE并延长交AM于点F,连接CF.^ZADE=2ZOFC,AD=A,求图中阴

影部分的面积

解：⑴连接。E、OD、OC,由题意可得：

VAD.CD为QO切线，BC、EC为OO切线，AD=ED.BC=EC,

ZAOD=Z.DOE.Z.COB=Z.COE.且Z.AOD+Z.DOE+Z.COB-Z.COE=180°•

:.Z.COD=ZDOE-Z.COE=90°,

又'：OE-CD,:.^^OEC\AA),/.OEZ=DECE.

1(1

XVOA=OE=OB=-AB.)-AB；=DECE=AD-BC,AB2=4ADHC.

(2)VNADE=24OFC，且ZADE=2AADO=2ZODE，

，Z.ODE=Z.OFC.又乙ODE=Z.EOC.Z.EOC=Z.OFC.OC=FC.

又CE±OF,/.CD为OF垂直平分线，

又'；ZOAF=ZOEC=9伊,ZAFO=ZECO.OA=OE,

：.^AOF注△£OC(44S),OF=OC.

又OC=FC./.OC=CF=OF.：.△FOC为等边三角形，

/.Z.OCF=60°，:.NOCE=60°.Z.EOC=60°.:.Z.BOE=120°.

•••5广S认田「S*0aL2sge-SqL2+X08XOC-黑*•。炉=3万-；r.

16、如图在△ABC中，AB=BC,以48为直径作。。交AC于点。，连接。。.

(1)求证：OD〃BC；

(2)过点。作。。的切线，交BC于点E,若N4=30。，求的值.

BEQ|

解：(1)证明..・4B=BC

・・.N4=NC

•・,OD=OA

：.ZA=ZADO

：.ZC=ZADO

：.OD//BC

(2)如图，连接B。，

VZ/4=30°,ZA=ZC

：.ZC=30°

・・・DE为。。的切线，

.・.DE±OD

•・,OD//BC

：.DELBC

：.ZBED=90°

・・・人8为。。的直径

：.ZBDA=90°,ZCBD=60°

=tanZC=tan30°=

・・・BD=CD

/.=cosZCBD=cos60°=

・・・BE=BD=CD

：.=2V^

17、如图，AB为。。的直径，C、。是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE,

垂足为E.

(1)求证：CE是。。的切线；

(2)若。。的半径为2,求图中阴影部分的面积.

(1)证明：•.•点C、。为半圆。的三等分点,

/.AD=CD=BC,

：.ZBOC=ZA,

・・・OC//AD,

•・,CELAD,

：.CE1OC,

・・・CE为。。的切线；

(2)解：连接。。，OC,

・・・AD=CD=BC,

AZCOD=x180°=60°,

VCD//AB,

••SkACDSxCOD,

60•兀X.

图中阴影部分的面积=SJWCOD=360=.

18、如图，AC是。。的一条弦，AP是OO的切线。作BM=AB并与AP交于点M,延长MB

交AC于点E,交©0于点D,连接AD。

(1)求证：AB=BE

(2)若。。的半径R=5,AB=6,求AD的长。

【解析】(1)证明：尸是。。的切线，

：.ZEAM=90°,

：.ZBAE+ZMAB=Q0°,ZAEB+ZAMB=Q0°.

又；AB=BM,

：.ZMAB=ZAMBf

：.ZBAE=ZAEB,

：.AB=BE

⑵解：连接8C

・・YC是。。的直径，

・・・ZABC=90°

在RQ48C中，4c=10,AB=6,

：.BC=8

由(1)知，/BAE=/AEB,

:AABCS^EAM

：.ZC=ZAME,=-4A/

toa

即：2=AM

48

：.AM=.

又・・・ND=NC,

：.ZD=ZAMD

48

：.AD=AM=.

19、如图，AB为。。的直径，且4E=4遂，点。是窟上的一动点(不与48重合)，过

点8作。。的切线交4c的延长线于点。，点E是口。的中点，连接EC.

(1)求证：EC是。。的切线;

(2)当/。=30。时，求阴影部分面积.

解：(1)如图，连接BGOC,OE,

・・,人8为。。的直径,

：.ZACB=90°,

在RQ8DC中，•:BE=ED,

：.DE=EC=BE,

VOC=OB,OE=OE,

：.△OCE^△OBE(SSS),

：・/OCE=NOBE,

・・・B。是。。的切线，

：.ZABD=90°f

：.ZOCE=ZABD=90°f

・・•OC为半径，

・・・EC是。。的切线;

(2)*：OA=OB,BE=DE,

：.AD//OE,

；・/D=/OEB,

VZD=30°,

AZOEB=30°,ZEOB=60°,

AZ800=120°,

,:AB=，M,

：.。8=2百

BE=2折后6.

...四边形OBEC的面积为2SAOBE=2X=12«,

_120•冗X(2«-_

,阴影部分面积为S西娜OBEC-S扇形BOC=12V3-360=12'/s-4TT.

20、如图，AABC中，AB=AC,以AC为直径的。。交BC于点。，点E为C延长线上一点,

1

MZCDE=2/BAC.

(1)求证：。£是。。的切线；

(2)若A8=3BD,CE=2,求。。的半径.

A____

/\o)

BD

E

【解答】解：(1)如图，连接。。，AD,

•・FC是直径，

：.ZADC=90°,

：.AD±BC,

•：AB=AC,

1

：.ZCAD=ZBAD=2ZBAC,

1

■:NCDE=2ZBAC.

：.ZCDE=ZCADf

*：OA=OD,

：.ZCAD=ZADO,

•・・2。。+NODC=90。，

：.ZODC+ZCDE=90°

・・・/。。£=90。

又・・・。。是。。的半径

・・・DE是。。的切线；

(2)解：-：AB=AC,AD1BC,

BD=CD,

V/AB=3BD,

：.AC=3DC,

设OC=x,贝iJ\C=3x,

22

：.AD=VAC-DC=2V2x,

■:/CDE=/CAD,NDEC=NAED,

.♦.△CDES^DAE,

CE-.DCDE2XDE

/.DEAD=AE,即DE=2^2x=3x+2

14

DE=4Fi,x—3,

AC=3x=14,

的半径为7.

21、如图，AB是。。的直径，点C为。。上一点，点尸是半径。8上一动点(不与O,8重

合),过点尸作射线1A.AB,分别交弦BC,它于D,E两点，在射线/上取点F,使FC=FD.

(1)求证：FC是。。的切线；

(2)当点E是前的中点时，

①若/BAC=60。，判断以。，B,E,C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

3.

②若tan/ABC=4,且AB=20,求DE的长.

解：(1)证明：连接。C,：。8=。。,

：.ZOBC=ZOCB,

,：PF±AB,

；・/BPD=90。,

・・・NOBC+NBDP=90。,

•：FC=FD

：.ZFCD=ZFDC

*：ZFDC=ZBDP

：.ZOCB+ZFCD=90°

：.OC±FC

・・・FC是。。的切线.

(2)如图2,连接。C,OE,BE,CE,

①以。，B,EC为顶点的四边形是菱形.理由如下：

•・Y8是直径，：.ZACB=90°,

VZB/4C=60o,AZBOC=120°,

.・,点E是黄的中点，

：.ZBOE=ZCOE=QQ°,

・・•OB=OE=OC

.,.△BOE,aOCE均为等边三角形，

・・・OB=BE=CE=OC

・・・四边形BOCE是菱形；

_3

②若tanN4BC=4,且48=20,求。E的长.

AC3_

•・•BC=ianZABC=4,设AC=3k,BC=4k(k>0),

由勾股定理得4。2+8。2=/1仔，即（3k）2+（4k）2=202,解得k=4,

：.AC=-\2,BC=16,

:点E是BC的中点，

AOE1BC,BH=CH=Q,

；.OExBH=OBxPE,即10x8=10尸E,解得：PE=8,

22

由勾股定理得OP=VOE-PE=V102-82=6,

：.BP=OB-OP=10-6=4,

DP333-

BP=tan/ABC=4,即DP=4BP=4=3

ADE=PE-DP=8-3=5.

22、如图，工3是。二的直径，点。在工£的延长线上，？、3是©。上的两点，二三一二？,

3"：'□一一二正，延长/U交3<'的延长线于点“

(1)求证：「□是的切线;

(2)求证：CE=CF

(3)若3Z>=1,CD=0,求弦4C的长.

.⑴连CO.•••CE=CB,；.Z.CAE=Z.BAC

又£BCD=NCAE、ZBAC=^ACO,

&CO=/BCD,

;48是◎O的直茬/ACB=90°,

/.Z.OCD=Z.OCB+乙BCD.

=NOCB+ZACO=£ACB=90°

CDIOC,且CD过半径OC的外端点.

23、如图，在R3ABC中，ZACB=90°,以AC为直径的。。交AB于点。，过点。作。。

的切线交BC于点E,连接。£

(1)求证：ADBE是等腰三角形；

(2)求证：ACOESACAB.

证明：(1)连接。。，如图所示:

・・•。£是。。的切线，

：.ZODE=90°,

：.ZADO+ZBDE=90°,

*：ZACB=90°,

：.ZCAB+ZCBA=9Q%

•：OA=OD,

：.ZCAB=ZADO,

：.ZBDE=ZCBAf

:・EB=ED,

•••△OBE是等腰三角形；

9

(2)：ZACB=90°fAC是。。的直径,

・・・C8是。。的切线，

・・,。£是。。的切线，

・・・DE=EC,

•：EB=ED,

：.EC=EB,

•：OA=OC,

・・・OE//AB,

：.ACOE^/\CAB.

EB

24、如图，AB为。0的直径，AC平分NBAD,交弦BD于点G,连接半径0C交BD于点E,

过点C的一条直线交AB的延长线于点F,/AFC=ZACD.

(1)求证：直线CF是。。的切线；

⑵若。E=2CE=2.

①求AD的长；

②求AACF的周长.(结果可保留根号)

(1)证明：平分N8AD,

：.ZBAC=ZDAC,

...C是弧BD的中点

OCLBD.

：.BE=DE,

•：/AFC=ZACD,/ACO=ZABD,

：.ZAFC=ZABD,

：.BD//CF,

：.OCXCF,

•.•oc是半径，

r.C尸是圆。切线；

(2)解:①设OC=R.

'：DE=2CE=2,

：.BE=DE=2,CE=1.

.,.OE=R-1,

在RtAOBE中（R-1）2+22=4.

3

解得.

5.2

OE=2-1=2,

由（1）得，OA=OB,BE=DE,

：.AD=2OE=3；

②连接BC.

'：BD//CF,

BE_0E_0B

FC=0C=0F,

3_5,

,：BE=2,OE=2,R=2

1025

CF=3,OF=6,

20

：.AF=OF+OA^3,

在R3BCE中，CE=I,BE=2,

.-.BC=VCE2+BE2=V5

•.YB是直径，

...△AC8为直角三角形.

AC=VAB2-BC^=2VE

...△AC尸周长=AC+FC+AF=10+2/5

25、如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作。0,点E在BC边上，连结AE交

于点F,连结BF并延长交CD于点G

(1)求证：AABE-ABCG

(2)若NAEB=45。，0A=3,求的长。(结果保留根号)

(1)是正方形.为电径，ZABE=/BCG=90

•.,〃为。。上的•点，4AFB=90/氏IF+

ZABF+NERF=90,/.ZEBF=NBjiF

：.在AJSMMCG/

/EBF=，BAF

AB=BC：.&48£WMCG(

NABEOBCG

⑵连结OF,•・•ZABE=NAFB=90，ZAEBSS

N8/IE=90-55=35,；.NBOF=2NB.4E=7。

70)OTX37

;OA=3:.前=­TT

18。$

26、如图，以AABC的边BC为直径作0。，点A在0。上，点。在线段BC的延长线上，AD

=AB,ZD=30°.

(1)求证：直线4?是O。的切线；

(2)若直径BC=4,求图中阴影部分的面积.

【解答】(1)证明：连接。4则/COA=2/8,

•：AD=AB,

.".ZB=ZD=30°,

：.ZCOA=60°,

：.ZO/\D=180°-60°-30°=90°,

OA±AD,

即CD是◎。的切线；

(2)解：VBC=4,

：.OA=OC=2,

在R3OAD中，OA=2,ZD=30°,