经济数学微积分 第4版 课件 1-4 数列、函数的极限

二、数列的极限四、小结三、函数的极限1.4数列、函数的极限一、中国古代数学的极限思想经济数学——微积分“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1.割圆术播放——刘徽一、中国古代数学的极限思想1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积2.截杖问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的极限例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数播放二、数列的极限二、数列的极限二、数列的极限二、数列的极限二、数列的极限二、数列的极限二、数列的极限二、数列的极限二、数列的极限二、数列的极限二、数列的极限二、数列的极限二、数列的极限当

无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?通过上面演示实验的观察:称该数列在n无限增大时的极限为1.问题定义发散收敛收敛发散收敛数列极限的几何意义：aN当时，xn与a越来越接近.性质1（极限的唯一性）收敛数列的极限必唯一.收敛数列必为有界数列.性质2（有界性）注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.常用数列极限：收敛数列的性质：数列是发散的.三、函数极限我们将主要研究以下两种情形：（1）自变量x的绝对值无限增大时，对应的函数值的变化情况；（2）自变量无限接近于有限值x0时，对应的函数值的变化情况.1.自变量趋向无穷大时函数的极限播放例2通过上面演示实验的观察:称该函数在x无限增大时的极限为0.问题定义结论：自变量趋于无穷（x→∞）可分为两种情况:

x→+∞,

x→-∞当自变量x无限增大时,函数值f(x)无限接近一个确定的常数A,则称A为函数y=f(x)当x→+∞时的极限,记为当自变量x无限减小时,函数值f(x)无限接近一个确定的常数A,则称A为函数y=f(x)当x→-∞时的极限,记为几何解释:当时，函数值与A的差距越来越小2.自变量趋于有限值时函数的极限x0.90.990.999…1…1.0011.011.10y1.111.01011.001001…1…0.9990010.99010.91当x→1时，y无限趋近于1，称x→1时函数的极限为1.问题

x0.750.90.990.9999…1…1.0000011.011.251.5

f(x)1.751.91.991.9999……2.0000012.012.252.5例3、例4中：

设函数f(x)在x0的某去心邻域U0(x0)内有定义,如果当x无限接近x0时,函数值f(x)就无限接近一个确定的常数A,则称A为函数f(x)当x趋于x0(x→x0)时的极限,记为否则，称该极限不存在.定义(2)几何解释:注意：在x0的某去心δ邻域内，对应的f(x)的值与A的差距随着x与x0的靠近越来越小.(3)左、右极限（单侧极限）结论：

设函数f(x)在x0的左邻域U-(x0)（x0可除外）内有定义,如果当自变量x从x0的左侧趋于x0,函数值f(x)趋于一个确定的常数A,则称A为f(x)当x→x0的左极限,记为类似可以定义右极限.例5证：左右极限存在但不相等,例6证性质2（函数极限的局部有界性