高考数学专题 不等式讲学案理数(原卷)

【2016考纲解读】与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点．备考时，应切实理解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法．要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力．【重点知识梳理】1.熟记比较实数大小的依据与基本方法．①作差(商)法；②利用函数的单调性．2．特别注意熟记活用以下不等式的基本性质(1)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(2)同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(3)同向可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(4)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)；3．熟练应用基本不等式证明不等式与求函数的最值．4．牢记常见类型不等式的解法．(1)一元二次不等式，利用三个二次之间的关系求解．(2)简单分式、高次不等式，关键是熟练进行等价转化．(3)简单指、对不等式利用指、对函数的单调性求解．5．简单线性规划(1)应用特殊点检验法判断二元一次不等式表示的平面区域．(2)简单的线性规划问题解线性规划问题，关键在于根据条件写出线性约束关系式及目标函数，必要时可先做出表格，然后结合线性约束关系式作出可行域，在可行域中求出最优解．【高频考点突破】考点一不等式的解法例1、(1)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|3x－4|x≤2，,\f(2,x－1)x>2，))则f(x)≥1的x的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，3))C．(－∞，1)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，＋∞))D．(－∞，－1】∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，3))(2)关于x的不等式ax2－|x|＋2a<0的解集为空集，则实数a【规律方法】不等式的求解技巧(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．【变式训练】1．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(1,2)))，则f(10x)>0的解集为()A．{x|x<－1或x>lg2}B．{x|－1<x<lg2}C．{x|x>－lg2}D．{x|x<－lg2}考点二简单的线性规划问题例2、1)(2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元(2)(2015·山东卷)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x≤1，,x＋y≤3，,y≥1，))则z＝x＋3y的最大值为________．【规律方法】解决线性规划问题应关注三点(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z＝Ax＋By中B的符号，一定要注意B的正负与z的最值的对应，要结合图形分析．【变式训练】设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－6≤0，,x－y＋2≥0，,x≥0，y≥0，))若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则eq\f(a2,9)＋eq\f(b2,4)的最小值为()A.eq\f(13,25)B．2C.eq\f(1,2)D．1考点三基本不等式例3、(1)(2015·湖南卷)若实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为()A.eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D．4(2)(2015·浙江卷)已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________．【规律方法】1．利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键．(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．2．求条件最值问题的两种方法一是借助条件转化为所学过的函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，借助于函数单调性求最值；二是可考虑通过变形直接利用基本不等式解决．【变式训练】1．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq\f(xy,z)取得最大值时，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值为()A．0B．1C.eq\f(9,4)D．3【经典考题精析】1.【2015高考北京，理2】若，满足则的最大值为（）A．0 B．1 C． D．22．【2015高考广东，理6】若变量，满足约束条件则的最小值为（）A．B.6C.D.43.【2015高考天津，理2】设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为()（A）3（B）4（C）18（D）404.【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元甲乙原料限额（吨）（吨）5.【2015高考福建，理5】若变量满足约束条件则的最小值等于()A．B．C．D．26.【2015高考山东，理6】已知满足约束条件，若的最大值为4，则（）（A）3（B）2（C）-2（D）-37.【2015高考新课标1，理15】若满足约束条件，QUOTEx-1≫0,x-y≤0,x+y-4≤0,则QUOTExy的最大值为.8.【2015高考浙江，理14】若实数满足，则的最小值是．9．【2015高考新课标2，理14】若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．10.【2015高考湖南，理4】若变量，满足约束条件，则的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.211.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（）（A）16（B）18（C）25（D）12.【2015高考陕西，理9】设，若，，，则下列关系式中正确的是（）A．B．C．D．1.【2014高考安徽卷理第5题】满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）A,B.C.2或1D.2.【2014高考北京版理第6题】若、满足，且的最小值为，则的值为（）A．2B．C．D．3.【2014高考福建卷第11题】若变量满足约束条件则的最小值为________.4.【2014高考福建卷第13题】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）.5.【2014高考广东卷理第3题】若变量、满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则（）A.B.C.D.6.【2014高考湖南卷第14题】若变量满足约束条件，且的最小值为，则.7.【2014辽宁高考理第16题】对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为.8.【2014全国1高考理第9题】不等式组的解集为D,有下面四个命题：，，，其中的真命题是（）A．B．C．D．10.【2014山东高考理第5题】已知实数满足，则下面关系是恒成立的是（）B.C.D.，11.【2014山东高考理第9题】已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（）A.5B.4C.D.212.【2014四川高考理第4题】若，，则一定有（）A．B．C．D．4．若，，则一定有（）A．B．C．D．13.【2014四川高考理第5题】执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（）A．B．C．D．14.【2014浙江高考理第13题】当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________.15.【2014天津高考理第2题】设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）（A）2（B）3（C）4（D）516.【2014大纲高考理第14题】设满足约束条件，则的最大值为.17.【2014高考上海理科】若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.18.【2014高考安徽卷第21题】设实数，整数，.（1）证明：当且时，；（2）数列满足，，证明：.（2013·天津理）8.已知函数.设关于x的不等式的解集为A,若,则实数a的取值范围是（） (A) (B) (C) (D)（2013·上海理）15．设常数，集合，若，则的取值范围为（）(A) (B) (C) (D)（2013·陕西理）9.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位m)(A)[15,20] (B)[12,25](C)[10,30] (D)[20,30]（2013·山东理）12.设正实数满足,则当取得最大值时，的最大值为A.B.C.D.（2013·湖南理）10.已知.，所以.（2013·广东理）9．不等式的解集为___________．（2013·湖南理）20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”。如图6所示的路径都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点处。现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。