高考理科数学第一轮总复习教案

第五章三角函数高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.4.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在(－,)上的单调性.5.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.6.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.7.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.本章重点：1.角的推广，三角函数的定义，诱导公式的运用；2.三角函数的图象与性质，y＝Asin(ωx＋)(ω＞0)的性质、图象及变换；3.用三角函数模型解决实际问题；4.以和、差、倍角公式为依据，提高推理、运算能力；5.正、余弦定理及应用.本章难点：1.任意角的三角函数的几何表示，图象变换与函数解析式变换的内在联系；2.灵活运用三角公式化简、求值、证明；3.三角函数的奇偶性、单调性的判断，最值的求法；4.探索两角差的余弦公式；5.把实际问题转化为三角函数问题.三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型.三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础知识之一.在高考中主要考查对三角函数概念的理解；运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、识图等.解三角形的问题往往与其他知识(如立体几何、解析几何、向量等)相联系，考查考生的数学应用意识，体现以能力立意的高考命题原则.

知识网络5.1任意角的三角函数的概念典例精析题型一象限角与终边相同的角【例1】若α是第二象限角，试分别确定2α、的终边所在的象限.【解析】因为α是第二象限角，所以k360°＋90°＜α＜k360°＋180°(k∈Z).因为2k360°＋180°＜2α＜2k360°＋360°(k∈Z)，故2α是第三或第四象限角，或角的终边在y轴的负半轴上.因为k180°＋45°＜eq\f(α,2)＜k180°＋90°(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，n360°＋45°＜eq\f(α,2)＜n360°＋90°，当k＝2n＋1(n∈Z)时，n360°＋225°＜eq\f(α,2)＜n360°＋270°.所以eq\f(α,2)是第一或第三象限角.【点拨】已知角α所在象限，应熟练地确定eq\f(α,2)所在象限.如果用α1、α2、α3、α4分别表示第一、二、三、四象限角，则eq\f(α1,2)、eq\f(α2,2)、eq\f(α3,2)、eq\f(α4,2)分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟记右图，解有关问题就方便多了.【变式训练1】若角2α的终边在x轴上方，那么角α是()A.第一象限角 B.第一或第二象限角C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角【解析】由题意2kπ＜2α＜2kπ＋π，k∈Z，得kπ＜α＜kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.当k是奇数时，α是第三象限角.当k是偶数时，α是第一象限角.故选C.题型二弧长公式，面积公式的应用【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值.【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，因为α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10cm，所以l＝eq\f(10π,3)cm，S弓＝S扇－SΔ＝eq\f(1,2)×10×eq\f(10π,3)－eq\f(1,2)×102×sin60°＝50(eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2))cm2.(2)因为C＝2R＋l＝2R＋αR，所以R＝eq\f(C,2＋α)，S扇＝eq\f(1,2)αR2＝eq\f(1,2)α(eq\f(C,2＋α))2＝eq\f(C2,2)eq\f(α,α2＋4α＋4)＝eq\f(C2,2)eq\f(1,α＋\f(4,α)＋4)≤eq\f(C2,16)，当且仅当α＝eq\f(4,α)时，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形的面积有最大值为eq\f(C2,16).【点拨】用弧长公式l＝|α|R与扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)R2|α|时，α的单位必须是弧度.【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长C有最小值？并求出最小值.【解析】因为S＝eq\f(1,2)Rl，所以Rl＝2S，所以周长C＝l＋2R≥2eq\r(2Rl)＝2eq\r(4S)＝4eq\r(S)，当且仅当l＝2R时，C＝4eq\r(S)，所以当α＝eq\f(l,R)＝2时，周长C有最小值4eq\r(S).

题型三三角函数的定义，三角函数线的应用【例3】(1)已知角α的终边与函数y＝2x的图象重合，求sinα；(2)求满足sinx≤eq\f(\r(3),2)的角x的集合.【解析】(1)由⇒交点为(－eq\f(\r(5),5)，－eq\f(2\r(5),5))或(eq\f(\r(5),5)，eq\f(2\r(5),5))，所以sinα＝±eq\f(2\r(5),5).(2)①找终边：在y轴正半轴上找出点(0，eq\f(\r(3),2))，过该点作平行于x轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点，连接OP1、OP2，则为角x的终边，并写出对应的角.②画区域：画出角x的终边所在位置的阴影部分.③写集合：所求角x的集合是{x|2kπ－eq\f(4π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}.【点拨】三角函数是用角α的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.【变式训练3】函数y＝lgsinx＋eq\r(cosx－\f(1,2))的定义域为.【解析】⇒2kπ＜x≤2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z.所以函数的定义域为{x|2kπ＜x≤2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}.总结提高1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k·360°＋eq\f(π,3)的错误书写.3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.5.2同角三角函数的关系、诱导公式典例精析题型一三角函数式的化简问题【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将α视为锐角后，再判断所求角的象限.【变式训练1】已知f(x)＝eq\r(1－x)，θ∈(eq\f(3π,4)，π)，则f(sin2θ)＋f(－sin2θ)＝.【解析】f(sin2θ)＋f(－sin2θ)＝eq\r(1－sin2θ)＋eq\r(1＋sin2θ)＝eq\r((sinθ－cosθ)2)＋eq\r((sinθ＋cosθ)2)＝|sinθ－cosθ|＋|sinθ＋cosθ|.因为θ∈(eq\f(3π,4)，π)，所以sinθ－cosθ＞0，sinθ＋cosθ＜0.所以|sinθ－cosθ|＋|sinθ＋cosθ|＝sinθ－cosθ－sinθ－cosθ＝－2cosθ.题型二三角函数式的求值问题【例2】已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2).(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值.【解析】(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝eq\f(1,4).(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋eq\f(π,4))＝－eq\f(\r(2),2).又由0＜θ＜π知，eq\f(π,4)＜2θ＋eq\f(π,4)＜eq\f(9π,4)，所以2θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(5π,4)或2θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(7π,4).因此θ＝eq\f(π,2)或θ＝eq\f(3π,4).【变式训练2】已知tanα＝eq\f(1,2)，则2sinαcosα＋cos2α等于()A.eq\f(4,5) B.eq\f(8,5) C.eq\f(6,5) D.2【解析】原式＝eq\f(2sinαcosα＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα＋1,1＋tan2α)＝eq\f(8,5).故选B.题型三三角函数式的简单应用问题【例3】已知－eq\f(π,2)＜x＜0且sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，求：(1)sinx－cosx的值；(2)sin3(eq\f(π,2)－x)＋cos3(eq\f(π,2)＋x)的值.【解析】(1)由已知得2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，且sinx＜0＜cosx，所以sinx－cosx＝－eq\r((sinx－cosx)2)＝－eq\r(1－2sinxcosx)＝－eq\r(1＋\f(24,25))＝－eq\f(7,5).(2)sin3(eq\f(π,2)－x)＋cos3(eq\f(π,2)＋x)＝cos3x－sin3x＝(cosx－sinx)(cos2x＋cosxsinx＋sin2x)＝eq\f(7,5)×(1－eq\f(12,25))＝eq\f(91,125).【点拨】求形如sinx±cosx的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sinx±cosx取值符号.【变式训练3】化简eq\f(1－cos4α－sin4α,1－cos6α－sin6α).【解析】原式＝eq\f(1－[(cos2α＋sin2α)2－2sin2αcos2α],1－[(cos2α＋sin2α)(cos4α＋sin4α－sin2αcos2α)])＝eq\f(2sin2αcos2α,1－[(cos2α＋sin2α)2－3sin2αcos2α])＝eq\f(2,3).总结提高1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin2(－2α)＋cos2(－2α)＝1是恒成立的.2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.5.3两角和与差、二倍角的三角函数典例精析题型一三角函数式的化简【例1】化简(0＜θ＜π).【解析】因为0＜θ＜π，所以0＜eq\f(θ,2)＜eq\f(π,2)，所以原式＝＝＝－cosθ.【点拨】先从角度统一入手，将θ化成eq\f(θ,2)，然后再观察结构特征，如此题中sin2eq\f(θ,2)－cos2eq\f(θ,2)＝－cosθ.【变式训练1】化简eq\f(2cos4x－2cos2x＋\f(1,2),2tan(\f(π,4)－x)sin2(\f(π,4)＋x)).【解析】原式＝eq\f(\f(1,2)(2cos2x－1)2,2tan(\f(π,4)－x)cos2(\f(π,4)－x))＝eq\f(cos22x,4cos(\f(π,4)－x)sin(\f(π,4)－x))＝eq\f(cos22x,2sin(\f(π,2)－2x))＝eq\f(1,2)cos2x.题型二三角函数式的求值【例2】已知sineq\f(x,2)－2coseq\f(x,2)＝0.(1)求tanx的值；(2)求eq\f(cos2x,\r(2)cos(\f(π,4)＋x)sinx)的值.【解析】(1)由sineq\f(x,2)－2coseq\f(x,2)＝0⇒taneq\f(x,2)＝2，所以tanx＝＝eq\f(2×2,1－22)＝－eq\f(4,3).(2)原式＝eq\f(cos2x－sin2x,\r(2)(\f(\r(2),2)cosx－\f(\r(2),2)sinx)sinx)＝eq\f((cosx－sinx)(cosx＋sinx),(cosx－sinx)sinx)＝eq\f(cosx＋sinx,sinx)＝eq\f(1,tanx)＋1＝(－eq\f(3,4))＋1＝eq\f(1,4).【变式训练2】eq\f(2cos5°－sin25°,sin65°)＝.【解析】原式＝eq\f(2cos(30°－25°)－sin25°,cos25°)＝eq\f(\r(3)cos25°,cos25°)＝eq\r(3).题型三已知三角函数值求解【例3】已知tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.【解析】因为tan2(α－β)＝eq\f(2tan(α－β),1－tan2(α－β))＝eq\f(4,3)，所以tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝eq\f(tan2(α－β)＋tanβ,1－tan2(α－β)tanβ)＝1，又tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tan(α－β)＋tanβ,1－tan(α－β)tanβ)＝eq\f(1,3)，因为α∈(0，π)，所以0＜α＜eq\f(π,4)，又eq\f(π,2)＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－eq\f(3π,4).【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.【变式训练3】若α与β是两锐角，且sin(α＋β)＝2sinα，则α与β的大小关系是()A.α＝β B.α＜βC.α＞β D.以上都有可能【解析】方法一：因为2sinα＝sin(α＋β)≤1，所以sinα≤eq\f(1,2)，又α是锐角，所以α≤30°.又当α＝30°，β＝60°时符合题意，故选B.方法二：因为2sinα＝sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＜sinα＋sinβ，所以sinα＜sinβ.又因为α、β是锐角，所以α＜β，故选B.总结提高1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.(1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题；(2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”；(3)掌握角的演变规律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.5.4三角恒等变换典例精析题型一三角函数的求值【例1】已知0＜α＜eq\f(π,4)，0＜β＜eq\f(π,4)，3sinβ＝sin(2α＋β)，4taneq\f(α,2)＝1－tan2eq\f(α,2)，求α＋β的值.【解析】由4taneq\f(α,2)＝1－tan2eq\f(α,2)，得tanα＝＝eq\f(1,2).由3sinβ＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，所以3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，即2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα，所以tan(α＋β)＝2tanα＝1.又因为α、β∈(0，eq\f(π,4))，所以α＋β＝eq\f(π,4).【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.【变式训练1】如果tan(α＋β)＝eq\f(3,5)，tan(β－eq\f(π,4))＝eq\f(1,4)，那么tan(α＋eq\f(π,4))等于()A.eq\f(13,18) B.eq\f(13,22) C.eq\f(7,23) D.eq\f(3,18)【解析】因为α＋eq\f(π,4)＝(α＋β)－(β－eq\f(π,4))，所以tan(α＋eq\f(π,4))＝tan[(α＋β)－(β－eq\f(π,4))]＝eq\f(tan(α＋β)－tan(β－\f(π,4)),1＋tan(α＋β)tan(β－\f(π,4)))＝eq\f(7,23).故选C.题型二等式的证明【例2】求证：eq\f(sinβ,sinα)＝eq\f(sin(2α＋β),sinα)－2cos(α＋β).【证明】证法一：右边＝eq\f(sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα,sinα)＝eq\f(sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα,sinα)＝eq\f(sin[(α＋β)－α],sinα)＝eq\f(sinβ,sinα)＝左边.证法二：eq\f(sin(2α＋β),sinα)－eq\f(sinβ,sinα)＝eq\f(sin(2α＋β)－sinβ,sinα)＝eq\f(2cos(α＋β)sinα,sinα)＝2cos(α＋β)，所以eq\f(sin(2α＋β),sinα)－2cos(α＋β)＝eq\f(sinβ,sinα).【点拨】证法一将2α＋β写成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.【变式训练2】已知5sinα＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tanβ＝0.【证明】因为5sinα＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，所以5sin(α－β)cosβ＋5cos(α－β)sinβ＝3sin(α－β)cosβ－3cos(α－β)sinβ，所以2sin(α－β)cosβ＋8cos(α－β)sinβ＝0.即tan(α－β)＋4tanβ＝0.题型三三角恒等变换的应用【例3】已知△ABC是非直角三角形.(1)求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC；(2)若A＞B且tanA＝－2tanB，求证：tanC＝eq\f(sin2B,3－cos2B)；(3)在(2)的条件下，求tanC的最大值.【解析】(1)因为C＝π－(A＋B)，所以tanC＝－tan(A＋B)＝eq\f(－(tanA＋tanB),1－tanAtanB)，所以tanC－tanAtanBtanC＝－tanA－tanB，即tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.(2)由(1)知tanC＝eq\f(－(tanA＋tanB),1－tanAtanB)＝eq\f(tanB,1＋2tan2B)＝eq\f(sinBcosB,cos2B＋2sin2B)＝＝eq\f(sin2B,2(2－\f(1＋cos2B,2)))＝eq\f(sin2B,3－cos2B).(3)由(2)知tanC＝eq\f(tanB,1＋2tan2B)＝eq\f(1,2tanB＋\f(1,tanB))≤eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4)，当且仅当2tanB＝eq\f(1,tanB)，即tanB＝eq\f(\r(2),2)时，等号成立.所以tanC的最大值为eq\f(\r(2),4).【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识.【变式训练3】在△ABC中，tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＋1＝tanAtanB，试判断△ABC的形状.【解析】由已知得tanB＋tanC＝eq\r(3)(1－tanBtanC)，eq\r(3)(tanA＋tanB)＝－(1－tanAtanB)，即eq\f(tanB＋tanC,1－tanBtanC)＝eq\r(3)，eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\f(\r(3),3).所以tan(B＋C)＝eq\r(3)，tan(A＋B)＝－eq\f(\r(3),3).因为0＜B＋C＜π，0＜A＋B＜π，所以B＋C＝eq\f(π,3)，A＋B＝eq\f(5π,6).又A＋B＋C＝π，故A＝eq\f(2π,3)，B＝C＝eq\f(π,6).所以△ABC是顶角为eq\f(2π,3)的等腰三角形.总结提高三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：①统一角度，即化为同一个角的三角函数；②统一名称，即化为同一种三角函数；③统一结构形式.5.5三角函数的图象和性质典例精析题型一三角函数的周期性与奇偶性【例1】已知函数f(x)＝2sineq\f(x,4)coseq\f(x,4)＋eq\r(3)coseq\f(x,2).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)令g(x)＝f(x＋eq\f(π,3))，判断g(x)的奇偶性.【解析】(1)f(x)＝2sineq\f(x,4)coseq\f(x,4)＋eq\r(3)coseq\f(x,2)＝sineq\f(x,2)＋eq\r(3)coseq\f(x,2)＝2sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,3))，所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,\f(1,2))＝4π.(2)g(x)＝f(x＋eq\f(π,3))＝2sin[eq\f(1,2)(x＋eq\f(π,3))＋eq\f(π,3)]＝2sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,2))＝2coseq\f(x,2).所以g(x)为偶函数.【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.【变式训练1】函数y＝sin2x＋sinxcosx的最小正周期T等于()A.2π B.π C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,3)【解析】y＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＝eq\f(\r(2),2)(eq\f(\r(2),2)sin2x－eq\f(\r(2),2)cos2x)＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sin(2x－eq\f(π,4))＋eq\f(1,2)，所以T＝eq\f(2π,2)＝π.故选B.题型二求函数的值域【例2】求下列函数的值域：(1)f(x)＝eq\f(sin2xsinx,1－cosx)；(2)f(x)＝2cos(eq\f(π,3)＋x)＋2cosx.【解析】(1)f(x)＝eq\f(2sinxcosxsinx,1－cosx)＝eq\f(2cosx(1－cos2x),1－cosx)＝2cos2x＋2cosx＝2(cosx＋eq\f(1,2))2－eq\f(1,2)，当cosx＝1时，f(x)max＝4，但cosx≠1，所以f(x)＜4，当cosx＝－eq\f(1,2)时，f(x)min＝－eq\f(1,2)，所以函数的值域为[－eq\f(1,2)，4).(2)f(x)＝2(coseq\f(π,3)cosx－sineq\f(π,3)sinx)＋2cosx＝3cosx－eq\r(3)sinx＝2eq\r(3)cos(x＋eq\f(π,6))，所以函数的值域为[－2eq\r(3)，2eq\r(3)].【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键.【变式训练2】求y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域.【解析】令t＝sinx＋cosx，则有t2＝1＋2sinxcosx，即sinxcosx＝eq\f(t2－1,2).所以y＝f(t)＝t＋eq\f(t2－1,2)＝eq\f(1,2)(t＋1)2－1.又t＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))，所以－eq\r(2)≤t≤eq\r(2).故y＝f(t)＝eq\f(1,2)(t＋1)2－1(－eq\r(2)≤t≤eq\r(2))，从而f(－1)≤y≤f(eq\r(2))，即－1≤y≤eq\r(2)＋eq\f(1,2).所以函数的值域为[－1，eq\r(2)＋eq\f(1,2)].题型三三角函数的单调性【例3】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示.(1)求ω，φ的值；(2)设g(x)＝f(x)f(x－eq\f(π,4))，求函数g(x)的单调递增区间.【解析】(1)由图可知，T＝4(eq\f(π,2)－eq\f(π,4))＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝2.又由f(eq\f(π,2))＝1知，sin(π＋φ)＝1，又f(0)＝－1，所以sinφ＝－1.因为|φ|＜π，所以φ＝－eq\f(π,2).(2)f(x)＝sin(2x－eq\f(π,2))＝－cos2x.所以g(x)＝(－cos2x)[－cos(2x－eq\f(π,2))]＝cos2xsin2x＝eq\f(1,2)sin4x.所以当2kπ－eq\f(π,2)≤4x≤2kπ＋eq\f(π,2)，即eq\f(kπ,2)－eq\f(π,8)≤x≤eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,8)(k∈Z)时g(x)单调递增.故函数g(x)的单调增区间为[eq\f(kπ,2)－eq\f(π,8)，eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,8)](k∈Z).【点拨】观察图象，获得T的值，然后再确定φ的值，体现了数形结合的思想与方法.【变式训练3】使函数y＝sin(eq\f(π,6)－2x)(x∈[0，π])为增函数的区间是()A.[0，eq\f(π,3)] B.[eq\f(π,12)，eq\f(7π,12)]C.[eq\f(π,3)，eq\f(5π,6)] D.[eq\f(5π,6)，π]【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选C.总结提高1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.5.6函数y＝Asin(ωx＋)的图象和性质典例精析题型一“五点法”作函数图象【例1】设函数f(x)＝sinωx＋eq\r(3)cosωx(ω＞0)的周期为π.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到.【解析】(1)f(x)＝sinωx＋eq\r(3)cosωx＝2(eq\f(1,2)sinωx＋eq\f(\r(3),2)cosωx)＝2sin(ωx＋eq\f(π,3))，又因为T＝π，所以eq\f(2π,ω)＝π，即ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,3))，所以函数f(x)＝sinωx＋eq\r(3)cosωx(ω＞0)的振幅为2，初相为eq\f(π,3).(2)列出下表，并描点画出图象如图所示.(3)把y＝sinx图象上的所有点向左平移eq\f(π,3)个单位，得到y＝sin(x＋eq\f(π,3))的图象，再把y＝sin(x＋eq\f(π,3))的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的图象，然后把y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))的图象.【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)形式，再令ωx＋φ＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π求出相应的x值及相应的y值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.

【变式训练1】函数的图象如图所示，则()A.k＝eq\f(1,2)，ω＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,6)B.k＝eq\f(1,2)，ω＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,3)C.k＝eq\f(1,2)，ω＝2，φ＝eq\f(π,6)D.k＝－2，ω＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,3)【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k＝eq\f(1,2).另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数ω由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T＝4×(eq\f(8π,3)－eq\f(5π,3))＝4π，故ω＝eq\f(1,2).将点(eq\f(5π,3)，0)代入解析式y＝2sin(eq\f(1,2)x＋φ)，得eq\f(1,2)×eq\f(5π,3)＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－eq\f(5π,6)，k∈Z.结合各选项可知，选项A正确.题型二三角函数的单调性与值域【例2】已知函数f(x)＝sin2ωx＋eq\r(3)sinωxsin(ωx＋eq\f(π,2))＋2cos2ωx，x∈R(ω＞0)在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为eq\f(π,6).(1)求ω的值；(2)若将函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间.【解析】(1)f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2ωx＋eq\f(1,2)cos2ωx＋eq\f(3,2)＝sin(2ωx＋eq\f(π,6))＋eq\f(3,2).令2ωx＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，将x＝eq\f(π,6)代入可得ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,6))＋eq\f(3,2)，经过题设的变化得到函数g(x)＝sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,6))＋eq\f(3,2)，当x＝4kπ＋eq\f(4,3)π，k∈Z时，函数g(x)取得最大值eq\f(5,2).令2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(1,2)x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3,2)π，即[4kπ＋eq\f(4π,3)，4kπ＋eq\f(10,3)π](k∈Z)为函数的单调递减区间.【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.【变式训练2】若将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移eq\f(π,4)个单位后得到的图象关于点(eq\f(π,3)，0)对称，则|φ|的最小值是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,2) D.eq\f(3π,4)【解析】将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移eq\f(π,4)个单位后得到y＝2sin[3(x－eq\f(π,4))＋φ]＝2sin(3x－eq\f(3π,4)＋φ)的图象.因为该函数的图象关于点(eq\f(π,3)，0)对称，所以2sin(3×eq\f(π,3)－eq\f(3π,4)＋φ)＝2sin(eq\f(π,4)＋φ)＝0，故有eq\f(π,4)＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－eq\f(π,4)(k∈Z).当k＝0时，|φ|取得最小值eq\f(π,4)，故选A.题型三三角函数的综合应用【例3】已知函数y＝f(x)＝Asin2(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜eq\f(π,2))的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).(1)求φ的值；(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2008).【解析】(1)y＝Asin2(ωx＋φ)＝eq\f(A,2)－eq\f(A,2)cos(2ωx＋2φ)，因为y＝f(x)的最大值为2，又A＞0，所以eq\f(A,2)＋eq\f(A,2)＝2，所以A＝2，又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，所以eq\f(1,2)×eq\f(2π,2ω)＝2，所以ω＝eq\f(π,4).所以f(x)＝eq\f(2,2)－eq\f(2,2)cos(eq\f(π,2)x＋2φ)＝1－cos(eq\f(π,2)x＋2φ)，因为y＝f(x)过点(1,2)，所以cos(eq\f(π,2)＋2φ)＝－1.所以eq\f(π,2)＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，解得φ＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，又因为0＜φ＜eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,4).(2)方法一：因为φ＝eq\f(π,4)，所以y＝1－cos(eq\f(π,2)x＋eq\f(π,2))＝1＋sineq\f(π,2)x，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4，又因为y＝f(x)的周期为4,2008＝4×502.所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＝4×502＝2008.方法二：因为f(x)＝2sin2(eq\f(π,4)x＋φ)，所以f(1)＋f(3)＝2sin2(eq\f(π,4)＋φ)＋2sin2(eq\f(3π,4)＋φ)＝2，f(2)＋f(4)＝2sin2(eq\f(π,2)＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，又因为y＝f(x)的周期为4,2008＝4×502.所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＝4×502＝2008.【点拨】函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ，可得x＝eq\f(kπ－φ,ω)，两相邻对称轴间的距离为周期的一半，解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决.【变式训练3】已知函数f(x)＝Acos2ωx＋2(A＞0，ω＞0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(20)＝.【解析】f(x)＝Acos2ωx＋2＝A×eq\f(1＋cos2ωx,2)＋2＝eq\f(Acos2ωx,2)＋eq\f(A,2)＋2，则由题意知A＋2＝6，eq\f(2π,2ω)＝8，所以A＝4，ω＝eq\f(π,8)，所以f(x)＝2coseq\f(π,4)x＋4，所以f(2)＝4，f(4)＝2，f(6)＝4，f(8)＝6，f(10)＝4，…观察周期性规律可知f(2)＋f(4)＋…＋f(20)＝2×(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38.总结提高1.用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，关键是五个点的选取，一般令ωx＋φ＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整ωx＋φ的取值，以便列表时能使x在给定的区间内取值.2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x本身而言的，无论沿x轴平移还是伸缩，变化的总是x.3.在解决y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质时，应将ωx＋φ视为一个整体x后再与基本函数y＝sinx的性质对应求解.5.7正弦定理和余弦定理典例精析题型一利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，AB＝eq\r(2)，BC＝1，cosC＝eq\f(3,4).(1)求sinA的值；(2)求的值.【解析】(1)由cosC＝eq\f(3,4)得sinC＝eq\f(\r(7),4).所以sinA＝eq\f(BCsinC,AB)＝eq\f(1×\f(\r(7),4),\r(2))＝eq\f(\r(14),8).(2)由(1)知，cosA＝eq\f(5\r(2),8).所以cosB＝－cos(A＋C)＝－cosAcosC＋sinAsinC＝－eq\f(15\r(2),32)＋eq\f(7\r(2),32)＝－eq\f(\r(2),4).所以·＝·(＋)＝＋＝－1＋1×eq\r(2)×cosB＝－1－eq\f(1,2)＝－eq\f(3,2).【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识.【变式训练1】在△ABC中，已知a、b、c为它的三边，且三角形的面积为eq\f(a2＋b2－c2,4)，则∠C＝.【解析】S＝eq\f(a2＋b2－c2,4)＝eq\f(1,2)absinC.所以sinC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝cosC.所以tanC＝1，又∠C∈(0，π)，所以∠C＝eq\f(π,4).题型二利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题【例2】设△ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边长，并且sin2A＝sin(eq\f(π,3)＋B)sin(eq\f(π,3)－B)＋sin2B.(1)求角A的值；(2)若＝12，a＝2eq\r(7)，求b，c(其中b＜c).【解析】(1)因为sin2A＝(eq\f(\r(3),2)cosB＋eq\f(1,2)sinB)(eq\f(\r(3),2)cosB－eq\f(1,2)sinB)＋sin2B＝eq\f(3,4)cos2B－eq\f(1,4)sin2B＋sin2B＝eq\f(3,4)，所以sinA＝±eq\f(\r(3),2).又A为锐角，所以A＝eq\f(π,3).(2)由＝12可得cbcosA＝12.①由(1)知A＝eq\f(π,3)，所以cb＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcosA，将a＝2eq\r(7)及①代入得c2＋b2＝52.③③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10.因此，c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根.又b＜c，所以b＝4，c＝6.【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力.【变式训练2】在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且满足(2a－c)cosB＝bcosC.(1)求角B的大小；(2)若b＝eq\r(7)，a＋c＝4，求△ABC的面积.【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入(2a－c)cosB＝bcosC，整理得2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB，即2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sinA，在△ABC中，sinA＞0,2cosB＝1，因为∠B是三角形的内角，所以B＝60°.(2)在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB，将b＝eq\r(7)，a＋c＝4代入整理，得ac＝3.故S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(3,2)sin60°＝eq\f(3\r(3),4).题型三正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】(2010陕西)如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq\r(3)海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点需要多长时间？【解析】由题意知AB＝5(3＋eq\r(3))(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得eq\f(DB,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，所以DB＝＝＝＝eq\f(5\r(3)(\r(3)＋1),\f(\r(3)＋1,2))＝10eq\r(3)(海里).又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20eq\r(3)在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BDBCcos∠DBC＝300＋1200－2×10eq\r(3)×20eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900，所以CD＝30(海里)，则需要的时间t＝eq\f(30,30)＝1(小时).所以，救援船到达D点需要1小时.【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是：(1)根据题意，抽象地构造出三角形；(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边与角的对应关系；(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解；(4)给出结论.【变式训练3】如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进mkm后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件时，该船没有触礁危险.【解析】由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得eq\f(BM,sin(90°－α))＝eq\f(m,sin(α－β))，解得BM＝eq\f(mcosα,sin(α－β))，要使船没有触礁危险需要BMsin(90°－β)＝eq\f(mcosαcosβ,sin(α－β))＞n.所以α与β的关系满足mcosαcosβ＞nsin(α－β)时，船没有触礁危险.总结提高1.正弦定理、余弦定理体现了三角形中角与边存在的一种内在联系，如证明两内角A＞B与sinA＞sinB是一种等价关系.2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角的关系，再用恒等变形(如因式分解、配方)求解，注意等式两边的公因式不要随意约掉，否则会漏解.3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断角的范围，以免增解或漏解.5.8三角函数的综合应用典例精析题型一利用三角函数的性质解应用题【例1】如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是一半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在上，相邻两边CQ、CR分别落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.【解析】如图，连接AP，过P作PM⊥AB于M.设∠PAM＝α，0≤α≤eq\f(π,2)，则PM＝90sinα，AM＝90cosα，所以PQ＝100－90cosα，PR＝100－90sinα，于是S四边形PQCR＝PQ·PR＝(100－90cosα)(100－90sinα)＝8100sinαcosα－9000(sinα＋cosα)＋10000.设t＝sinα＋cosα，则1≤t≤eq\r(2)，sinαcosα＝eq\f(t2－1,2).S四边形PQCR＝8100·eq\f(t2－1,2)－9000t＋10000＝4050(t－eq\f(10,9))2＋950(1≤t≤eq\r(2)).当t＝eq\r(2)时，(S四边形PQCR)max＝14050－9000eq\r(2)m2；当t＝eq\f(10,9)时，(S四边形PQCR)min＝950m2.【点拨】同时含有sinθcosθ，sinθ±cosθ的函数求最值时，可设sinθ±cosθ＝t，把sinθcosθ用t表示，从而把问题转化成关于t的二次函数的最值问题.注意t的取值范围.【变式训练1】若0＜x＜eq\f(π,2)，则4x与sin3x的大小关系是()A.4x＞sin3x B.4x＜sin3xC.4x≥sin3x D.与x的值有关【解析】令f(x)＝4x－sin3x，则f′(x)＝4－3cos3x.因为f′(x)＝4－3cos3x＞0，所以f(x)为增函数.又0＜x＜eq\f(π