艺考生数学教学数列教案(含答案)

2014艺考生教学13,14讲第十三讲等差数列※基础知识1．等差数列的定义：对于一个数列，如果从第二项起每一项与前一项的差都等于同一个常数（(常数)），那么这个数列叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差。2．等差数列的通项公式：；3．等差数列前项和公式：4．等差数列的性质：（1）若，则；（2）若为等差数列（其中），则也为等差数列；（3）在等差数列中，以下数列也是等差数列：①，，，…；②，，，…；③，，，…；④，，（4）（）；5．判断和证明数列是等差数列的方法（1）定义法：(常数)（2）通项公式法：数列是等差数列（为常数，）；（3）中项公式法：※典型例题：题型一基本量的有关计算例1（1）.求等差数列8，5，2…的第20项（2）.-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？例2在等差数列中，已知，，求,,例3（1）正整数前n个数的和是___________（2）在等差数列中已知a1=12,a6=27,则d=___________（3）在等差数列中已知，a7=8，则a1=_______________（4）与的等差中项是________________-（5）等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是54（6）在等差数列{an}中，a4+a7+a10+a13=20，则S16=______。题型二等差数列性质的应用例4（1）.数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（）A.B.C.D.不存在（2）设是数列的前n项的和，且，则是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，且是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列（3）等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为（）A、89B、-101C、101（4）等差数列{an}中，a1+a7=42，a10-a3=21，则前10项的S10等于（）A、720B、257C、255（5）等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()(A)130(B)170(C)210(D)260（6）在等差数列中，则的值为（）A.84B.72（7）在等差数列中，前15项的和，为（）A.6B.3（8）等差数列中,,则此数列前20项的和等于（）A.160B.180（9）在等差数列中,若，则的值等于（）A.45B.75C.180题型三已知数列的前项和，求通项公式例5．已知下列数列的前项和，分别求它们的通项公式.；⑵；⑶；⑷※巩固练习1．若数列{an}的通项公式为an＝－n＋5，则此数列是()A．公差为－1的等差数列 B．公差为5的等差数列C．首项为5的等差数列 D．公差为n的等差数列2．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是()A．92B．47C．3．等差数列的相邻4项是a＋1，a＋3，b，a＋b，那么a，b的值分别是()A．2,7B．1,6C4．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是()A．an＝2n－2(n∈N*)B．an＝2n＋4(n∈N*)C．an＝－2n＋12(n∈N*)D．an＝－2n＋10(n∈N*)5．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于()A．－1B．1C6．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是()A．15B．30C．7．等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝()A．64B．30C8．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，则数列{an＋bn}的前100项的和为()A．0B．4475C9．等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝14.记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则S13＝()A．168B．156C10．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝()A．45B．75C．11．已知等差数列{an}的公差为1，且a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99，则a3＋a6＋a9＋…＋a96＋a99＝()A．99B．66C12．等差数列{an}中，前4项和为1，前8项和为4，则a17＋a18＋a19＋a20＝()A．7B．8C13．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项和公差分别为()A.eq\f(1,2)，eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)，1C.eq\f(1,2)，2D．1，eq\f(1,2)14．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n,3n＋1)，则eq\f(a8,b8)＝__________，eq\f(an,bn)＝__________.15．集合M＝{m|m＝7n，n∈N*且m<100}中各元素的和为__________．16．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.17．首项是18，公差为3的等差数列的第__________项开始大于100.18.在数列{an}中，a1＝8，a4＝2且an＋2－2an＋1＋an＝0，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.第十四讲等比数列※基础知识1．定义：如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的比值是同一个常数，这个数列就叫做等比数列。即（,为常数，且）为等比数列或2．通项公式：3．前n项和4．性质：（1）（）（2）特别地，（3）等比数列的前项和为()，则，，，等比数列，公比为※典型例题：题型一等比数列的基本计算例1.（1）.求下列等比数列的首项，公比，通项①:1，3，9，…，2187②:（2）.求等比数列1/2，1/4，1/8……的前8项的和;（3）.在等比数列中，已知求（4）.根据下列条件，求等比数列的前n项和①:②:题型二等比数列的性质例2（1）．已知是等比数列，且，，那么（2）.在等比数列，已知，，求（3）.在等比数列中，，求该数列前七项之积（4）.在等比数列中，，，求，(5).(2009广东文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=（）A．B．C．D．2(6)．（2010广东文）已知数列{}为等比数列,是它的前n项和，若,且与的等差中项为，则S5=()A．35B．33C．31D(7).（2011广东文）已知是递增等比数列，，则此数列的公比．(8).（2012广东文）若等比数列满足，则_______________(9).（2013广东文）设数列是首项为1，公比为-2的等比数列，则例3（2012广东文）设数列的前项和为，数列的前项和为，满足．(1)求的值；(2)求数列的通项公式。例4．（2013广东文）设各项均为正数的数列的前n项的和为Sn，满足，，且构成等比数列。（1）证明：；（2）求数列的通项公式；※巩固练习1．若等比数列的首项为eq\f(9,8)，末项为eq\f(1,3)，公比为eq\f(2,3)，则这个数列的项数为()A．3B．4C．5D．62．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝()A．64B．81C．3．等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝8，则a5＝()A．16B．16或－16C．4．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a52，a2＝1，则a1A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．25．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()A.eq\f(n2,4)＋eq\f(7n,4)B.eq\f(n2,3)＋eq\f(5n,3)C.eq\f(n2,2)＋eq\f(3n,4)D．n2＋n6．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5＝()A．27B．27或－27C7．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于()A．210B．220C．2168．如果数列{an}是等比数列，那么()A．数列{an2}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lgan}是等比数列D．数列{nan}是等比数列9．在等比数列{an}中，a5a7＝6，a2＋a10＝5.则eq\f(a18,a10)等于()A．－eq\f(2,3)或－eq\f(3,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D.eq\f(2,3)或eq\f(3,2)10．若等比数列{an}的前n项之和Sn＝3n＋a，则a等于()A．－4B．－2C11．{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5A.eq\f(15,2)B.eq\f(31,4)C.eq\f(33,4)D.eq\f(17,2)12．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是()A．7B．9C13．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝__________.14．在8和5832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是__________．15．已知等比数列{an}，a1＋a3＝5，a3＋a5＝20，则{an}的通项公式为__________．16．等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则eq\f(a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10)的值为_______．17．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q＝_________.18．设等比数列{an}的公比q＝eq\f(1,2)，前n项和为Sn，则eq\f(S4,a4)＝________.19．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.第十三讲等差数列1．[答案]A[解析]∵an＝－n＋5，∴an＋1－an＝[－(n＋1)＋5]－(－n＋5)＝－1，∴{an}是公差d＝－1的等差数列．2．[答案]C[解析]a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，由－89＝－2n＋3得：n＝46.3．[答案]A[解析]由题设2(a＋3)＝a＋1＋b，∴a－b＋5＝0，又2b＝(a＋3)＋(a＋b)，∴2a－b由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＋5＝0,2a－b＋3＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝7)).4．[答案]D[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2·a4＝12,a2＋a4＝8,d<0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝6,a4＝2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8,d＝－2))，∴an＝－2n＋10.5．[答案]B[解析]∵{an}是等差数列，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4∴d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1.6．[答案]A[解析]∵a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝15，故选A.7．[答案]D[解析]∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a6＋a9＝16,a4＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋13d＝16,a1＋3d＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－5,d＝2))，∴a11＝a1＋10d＝15.8．[答案]C[解析]设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝40，c100＝a100＋b100＝139，{cn}是等差数列，∴前100项和S100＝eq\f(100c1＋c100,2)＝eq\f(100×40＋139,2)＝8950.9．[答案]D[解析]∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a7－a10＝8,a11－a4＝14))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1－d＝8,7d＝14))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝2,a1＝10))，∴S13＝13a1＋eq\f(13×12,2)d＝286.10．[答案]C[解析]由题设a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450得a5＝90，∴a2＋a8＝2a511．[答案]B[解析]设a1＋a4＋a7＋…＋a97＝A，a2＋a5＋a8＋…a98＝B，a3＋a6＋a9＋…＋a99＝C，∵{an}是等差数列公差为1，∴A、B、C成等差数列且公差为33，则B＝eq\f(A＋B＋C,3)＝eq\f(99,3)＝33，∴C＝B＋33＝66.12．[答案]C[解析]S4＝1，S8＝4，设bn＝a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n(n＝1,2,3……)则{bn}是等差数列，b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3.公差d＝b2－b1＝2，∴a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝b1＋4d＝9.13．[答案]A[解析]S偶－S奇＝5d＝15－12.5，∴d＝0.5.由10a1＋eq\f(10×9,2)×0.5＝15＋12.5得，a1＝0.5.14．[答案]eq\f(15,23)，eq\f(2n－1,3n－1)[解析]利用eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1)得出eq\f(a8,b8)＝eq\f(15,23)，eq\f(an,bn)＝eq\f(2n－1,3n－1).15．[答案]735[解析]由7n<100，n∈N*得n≤14，∴集合M中共有14个元素，它们构成以a1＝7为首项，a14＝98为末项的等差数列．∴Sn＝eq\f(147＋98,2)＝735.16．[答案]13[解析]∵a5＝a2＋6，∴3d＝6，∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.17．[答案]29[解析]an＝18＋3(n－1)＝3n＋15，由3n＋15>100得n>28eq\f(1,3)，∵n∈N*，∴n＝29.18.[解析](1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴{an}是等差数列，又∵a4＝a1＋3d＝8＋3d＝2，∴d＝－2，∴an＝8－2(n－1)＝10－2n.(2)令10－2n≥0得n≤5，∴当n≤5时，an≥0，当n≥6时，an<0.∴n≤5时，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝8n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋9n.当n≥6时，Sn＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2(a1＋a2＋…＋a5)－(a1＋a2＋…＋an)＝2×(－52＋9×5)－[8n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)]＝n2－9n＋40.∴Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－n2＋9nn≤5，n∈N*,n2－9n＋40n≥6，n∈N*)).第十四讲等比数列1．[答案]B[解析]eq\f(9,8)·(eq\f(2,3))n－1＝eq\f(1,3)，∴(eq\f(2,3))n－1＝eq\f(8,27)＝(eq\f(2,3))3∴n＝4.2．[答案]A[解析]∵{an}是等比数列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，∴设等比数列的公比为q，则a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2.∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1∴a7＝a1q6＝26＝64.3．[答案]A[解析]a4＝a1q3＝q3＝8，∴q＝2，∴a5＝a4q＝16.4．[答案]B[解析]设公比为q，由已知得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2，因为等比数列{an}的公比为正数，所以q＝eq\r(2)，故a1＝eq\f(a2,q)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故选B.5．[答案]A[解析]由题意可得(a1＋2d)2＝a1(a1＋5d)，∵a1＝2，∴d＝eq\f(1,2)，∴Sn＝2n＋eq\f(nn－1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(n2,4)＋eq\f(7n,4)，故选A.6．[答案]B[解析]∵q2＝eq\f(a3＋a4,a2＋a1)＝9，∴q＝±3，因此a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27或－27.故选B.7．[答案]B[解析]设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5C＝a3a6a9…a30，则A、B公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，∴C＝B·210＝220.8．[答案]A[解析]设bn＝an2，则eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋12,an2)＝(eq\f(an＋1,an))2＝q2∴{bn}成等比数列；eq\f(2an＋1,2an)＝2an＋1－an≠常数；当an<0时lgan无意义；设cn＝nan则eq\f(cn＋1,cn)＝eq\f(n＋1an＋1,nan)＝eq\f(n＋1q,n)≠常数．9．[答案]D[解析]a2a10＝a5a由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2a10＝6,a2＋a10＝5))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝2,a10＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝3,a10＝2)).∴eq\f(a18,a10)＝eq\f(a10,a2)＝eq\f(3,2)或eq\f(2,3).故选D.10．[答案]D[解析]a1＝S1＝3＋a，a2＝S2－S1＝32－3＝6，a3＝S3－S2＝33－32＝18，由a1·a3＝a22得，a＝－1.11．[答案]B[解析]{an}是正数组成的等比数列，∴a3＝eq\r(a2a4)＝1，又S3＝7，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝1,\f(a11－q3,1－q)＝7))，消去a1得，eq\f(q2＋q＋1,q2)＝7，解之得q＝eq\f(1,2)，∴a1＝4，∴S5＝eq\f(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝eq\f(31,4).12．[答案]D[解析]由S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)即(21－S10)2＝S10(49－21)∴S10＝7或6313．[答案]3·2n