2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷含答案

2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣2x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．（5分）为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者．现从所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列关于样本数据的分析正确的是（）A．老年男性志愿者人数为90 B．青年女性志愿者人数为72 C．老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数 D．中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数3．（5分）一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则不同的停放方法数为（）A．70 B．256 C．1680 D．40964．（5分）袋子里有6个大小相同的球，其中2个黑球，4个白球，有放回的取3次，每次随机取1个，设此过程中取到黑球的次数为ξ，则P（ξ＝1）＝（）A．110 B．13 C．495．（5分）已知（x+m）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a5（x+1）5，且i=05ai＝32，则实数A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，若f′（x）+f（x）＞0，f（1）=1e，则A．（0，1） B．（0，e） C．（1，+∞） D．（e，+∞）7．（5分）将三项式展开，得到下列等式：（x2+x+1）0＝1；（x2+x+1）1＝x2+x+1；（x2+x+1）2＝x4+2x3+3x2+2x+1；（x2+x+1）3＝x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1；……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角：若关于x的多项式（x2+ax﹣3）（x2+x+1）5的展开式中，x8的系数为30，则实数a＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣28．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+a2+（e2x+2﹣2a）2，若存在x0，使得f(x0)≤A．2 B．5 C．﹣2 D．﹣5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3x﹣2，则（）A．f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增 B．f（x）有两个极值点 C．f（x）有三个零点 D．直线y＝﹣4是曲线y＝f（x）的切线（多选）10．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为X﹣101P382t12则下列说法正确的是（）A．t＝1或-12 B．C．D(X)=5564 D．D（8（多选）11．（5分）为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20），经计算得：i=120xi＝60，i=120yi＝1200，i=120(xi-x）2＝80，i=120(xi-x)(yi-y）＝640．该小组利用这组数据分别建立了y关于x的线性回归方程l1：ŷ附：y关于x的线性回归方程ŷ=â+b̂x中，A．bî=8 B．C．l1经过点（3，60） D．l2经过点（3，60）（多选）12．（5分）记两个函数f(x)=Atanx，x∈(-π2，π2)，g（x）＝xα的图象的公共点个数是A．φ（1，﹣1）＝1 B．φ（1，1）＝1 C．φ（1，2）＝1 D．φ(2，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知An2=90，则C14．（5分）已知随机变量X～N（μ，σ2），若P（X＜2）＝0.2，P（x＜3）＝0.5，则P（X＜4）的值为．15．（5分）已知函数f（x）＝x（lnx+a）在（1，+∞）上单调递增，则a的最小值为．16．（5分）为研究某新型番茄品种，科学家对大量该品种果实颜色进行了统计，发现果皮为黄色的番茄约占38．果皮为黄色的番茄中，果肉为红色的约占815；果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占730四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射升空，备受关注的“天宫课堂”将继续授课．为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据：喜欢天宫课堂不喜欢天宫课堂合计男生75女生45合计200已知从这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢“天宫课堂”的学生的概率为1320（1）请将上面的2×2列联表补充完整；（2）根据以上数据，依据小概率值α＝0.010的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“天宫课堂”与性别有关联？附：α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+18．（12分）已知2C（1）求n的值；（2）求(x+119．（12分）已知函数f(x)=1（1）若f（x）在x＝2处取得极值，求实数a的值；（2）讨论f（x）的单调性．20．（12分）某学校举办知识竞赛，规则是：比赛共三轮，每名选手只有通过上一轮才能进入下一轮，每轮比赛有两次挑战机会，若第一次挑战成功则直接进入下一轮，第一次不成功可以再挑战一次，若成功同样进入下一轮，两次均未成功，选手比赛终止．已知每次挑战是否成功相互独立．（1）若选手甲第一轮每次挑战成功的概率为45，第二轮每次挑战成功的概率为3（2）已知共有2000名选手参加竞赛，竞赛采用计分制，选手得分X～N（212，σ2），其中270分以上的选手有46名，学校决定对得分高的前317名选手进行表彰，若选手乙的得分为231分，问乙能否获得表彰．附：若随机变量X～N（μ，σ²），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.683；P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.954；P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.997．21．（12分）为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产．（1）现从试产的新产品中取出6件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对6件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望；（2）设每件新产品为次品的概率都为p（0＜p＜1），且各件新产品是否为次品相互独立．记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为f（p），问p取何值时，f（p）最大．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣1+ax2，其中a∈R．（1）若f（x）存在唯一的极值点，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：x1

2022-2023学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣2x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：函数f（x）＝lnx﹣2x，可得f'（x）=1x-因此曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为﹣1；故选：B．2．（5分）为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者．现从所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列关于样本数据的分析正确的是（）A．老年男性志愿者人数为90 B．青年女性志愿者人数为72 C．老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数 D．中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数【解答】解：根据饼状图老年志愿者占比10%，则人数为10%×300＝30＜90，故A错，青年志愿者占比60%，则人数为300×60%＝180人，而女性占比40%，则青年女性志愿者人数为180×40%＝72，故B正确；老年女性志愿者人数为30×70%＝21人，中年女性人数为300×30%×30%＝27人，则C错误；中年男性志愿者人数为300×30%×70%＝63人，青年男性志愿者人数为300×60%×60%＝108，则D错误．故选：B．3．（5分）一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则不同的停放方法数为（）A．70 B．256 C．1680 D．4096【解答】解：一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则不同的停放方法数为A8故选：C．4．（5分）袋子里有6个大小相同的球，其中2个黑球，4个白球，有放回的取3次，每次随机取1个，设此过程中取到黑球的次数为ξ，则P（ξ＝1）＝（）A．110 B．13 C．49【解答】解：由题意可知ξ＝1表示三次中，有且只有一次取到黑球，另外两次取到白球，每一次取到黑球的概率为24+2=1所以P（ξ＝1）=C故选：C．5．（5分）已知（x+m）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a5（x+1）5，且i=05ai＝32，则实数A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：已知（x+m）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a5（x+1）5，且i=05a则令x＝0，可得i=05ai＝m5＝32，解得故选：D．6．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，若f′（x）+f（x）＞0，f（1）=1e，则A．（0，1） B．（0，e） C．（1，+∞） D．（e，+∞）【解答】解：记g（x）＝exf（x），则g′（x）＝exf（x）+exf′（x）＝ex[f′（x）+f（x）]，因为f′（x）+f（x）＞0，所以g′（x）＞0，所以g（x）在R上单调递增，由f(lnx)＜1x知x＞0，所以原不等式等价于xf（又因为f（1）=1e，所以g（1）＝所以原不等式等价于elnxf（lnx）＜ef（1），即g（lnx）＜g（1），所以lnx＜1，解得0＜x＜e，即f(lnx)＜1x的解集是（0，故选：B．7．（5分）将三项式展开，得到下列等式：（x2+x+1）0＝1；（x2+x+1）1＝x2+x+1；（x2+x+1）2＝x4+2x3+3x2+2x+1；（x2+x+1）3＝x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1；……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角：若关于x的多项式（x2+ax﹣3）（x2+x+1）5的展开式中，x8的系数为30，则实数a＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：由题意可得：（x2+x+1）5＝x10+5x9+15x8+30x7+45x6+51x5+45x4+30x3+15x2+10x+1，则（x2+ax﹣3）（x2+x+1）5的展开式中，x8的系数为1×45+a×30+（﹣3）×15＝30a，又x8的系数为30，则30a＝30，即a＝1．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+a2+（e2x+2﹣2a）2，若存在x0，使得f(x0)≤A．2 B．5 C．﹣2 D．﹣5【解答】解：已知函数f（x）＝x2﹣2ax+a2+（e2x+2﹣2a）2＝（x﹣a）2+（e2x+2﹣2a）2，此时函数f（x）可以看作是动点M（x，e2x+2）与动点N（a，2a）之间距离的平方，因为动点M在函数g（x）＝e2x+2的图象上，动点N在直线y＝2x上，要求问题转化成求直线上的动点到曲线的最小距离，易知g′（x）＝2e2x+2，y′＝2，此时2e2x+2＝2，解得x＝﹣1，则点（﹣1，1）到直线y＝2x的最小距离d=3所以f（x）≥d2=9若存在x0，使得f(x此时f（x0）=9即直线MN与直线y＝2x垂直，点N恰好为垂足，因为kMN=2a-1所以2a-1a+1解得a=1则x0故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3x﹣2，则（）A．f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增 B．f（x）有两个极值点 C．f（x）有三个零点 D．直线y＝﹣4是曲线y＝f（x）的切线【解答】解：已知f（x）＝x3﹣3x﹣2，函数定义域为R，可得f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），当x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝﹣1时，函数f（x）取得极大值，极大值f（﹣1）＝0，当x＝1时，函数f（x）取得极小值，极小值f（1）＝﹣4，当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x）→+∞，作出函数f（x）图象如下所示：所以函数f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减，故选项A错误；函数f（x）有两个极值点，别分为x＝﹣1，x＝1，故选项B正确；函数f（x）存在两个零点，故选项C错误；不妨设切点为（x0，f（x0）），则曲线y＝f（x）在切点处的切线方程为y﹣（x03-3x0﹣2）＝（3x02-即y＝（3x02-3）x若直线y＝﹣4是曲线y＝f（x）的切线，此时3x解得x0＝1，符合题意，则直线y＝﹣4是曲线y＝f（x）的切线，故选项D正确．故选：BD．（多选）10．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为X﹣101P382t12则下列说法正确的是（）A．t＝1或-12 B．C．D(X)=5564 D．D（8【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，由X的分布列，有38+2t2-32t-38又由0＜2t2-32对于B，由A的结论，t＝1，则离散型随机变量X的分布列为X﹣101P381812则E（X）＝（﹣1）×38+0×18对于C，D（X）＝（﹣1-18）2×38+（0-18）2×1对于D，D（8X+9）＝64D（x）＝55，D错误．故选：BC．（多选）11．（5分）为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20），经计算得：i=120xi＝60，i=120yi＝1200，i=120(xi-x）2＝80，i=120(xi-x)(yi-y）＝640．该小组利用这组数据分别建立了y关于x的线性回归方程l1：ŷ附：y关于x的线性回归方程ŷ=â+b̂x中，A．bî=8 B．C．l1经过点（3，60） D．l2经过点（3，60）【解答】解：对于选项A，b1=i=1对于选项B，因为b2所以b1•b2=r2对于选项C和D，由题意知，x=120i=120x所以线性回归方程l1和l2均经过样本中心点（3，60），即选项C和D正确．故选：ACD．（多选）12．（5分）记两个函数f(x)=Atanx，x∈(-π2，π2)，g（x）＝xα的图象的公共点个数是A．φ（1，﹣1）＝1 B．φ（1，1）＝1 C．φ（1，2）＝1 D．φ(2，【解答】解：对于A，当A＝1，α＝﹣1时，f（x）＝tanx，x∈（-π2，π2），g（x）＝在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝g（x）的图象，如图所示：由此可得两函数有2个交点，所φ（1，﹣1）＝2，故A错误；对于B，当A＝1，α＝1时，f（x）＝tanx，x∈（-π2，π2），g（x在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝g（x）的图象，如图所示：由此可得两函数有1个交点，所φ（1，1）＝1，故B正确；对于C，当A＝1，α＝2时，f（x）＝tanx，x∈（-π2，π2），g（x）＝在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝g（x）的图象，如图所示：由此可得两函数有1个交点，所φ（1，2）＝1，故C正确；对于D，当A＝2，α=12时，f（x）＝2tanx，x∈（-π2，π2），g在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝g（x）的图象，如图所示：由此可得两函数有2个交点，所φ（2，12）＝2，故D故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知An2=90，则C【解答】解：因为An2=90，即n（n﹣1）＝90，且n∈则n＝10，则C12故答案为：66．14．（5分）已知随机变量X～N（μ，σ2），若P（X＜2）＝0.2，P（x＜3）＝0.5，则P（X＜4）的值为0.8．【解答】解：因为随机变量X～N（μ，σ2），若P（X＜2）＝0.2，P（X＜3）＝0.5，则对称轴为μ＝3，则P（2＜X＜3）＝0.5﹣0.2＝0.3，则P（X＜4）＝0.5+0.3＝0.8．故答案为：0.8．15．（5分）已知函数f（x）＝x（lnx+a）在（1，+∞）上单调递增，则a的最小值为﹣1．【解答】解：因为函数f（x）＝x（lnx+a）在（1，+∞）上单调递增，所以f′（x）＝lnx+a+1≥0在（1，+∞）上恒成立，即a≥﹣lnx﹣1在（1，+∞）上恒成立，令g（x）＝﹣lnx﹣1，因为g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）＜g（1）＝﹣1，所以a≥﹣1，即a的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．16．（5分）为研究某新型番茄品种，科学家对大量该品种果实颜色进行了统计，发现果皮为黄色的番茄约占38．果皮为黄色的番茄中，果肉为红色的约占815；果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占730．根据上述数据，估计该新型番茄果肉为红色的概率值为【解答】解：黄皮非红肉的番茄为P1=3因为果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占730所以730=P1P因此P红肉＝1﹣P非红肉＝1-3故答案为：14四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射升空，备受关注的“天宫课堂”将继续授课．为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据：喜欢天宫课堂不喜欢天宫课堂合计男生75女生45合计200已知从这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢“天宫课堂”的学生的概率为1320（1）请将上面的2×2列联表补充完整；（2）根据以上数据，依据小概率值α＝0.010的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“天宫课堂”与性别有关联？附：α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+【解答】解：（1）由题意可得：喜欢天宫课堂不喜欢天宫课堂合计男生7525100女生5545100合计13070200（2）零假设为H0：喜欢天宫课堂与性别之间无关联，x2=200×(75×45-55×25根据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢天宫课堂与性别有关系，故依据小概率值α＝0.010的独立性检验，能认为该校学生喜欢“天宫课堂”与性别有关联．18．（12分）已知2C（1）求n的值；（2）求(x+1【解答】解：（1）因为2Cn1解得n＝6；（2）由（1）知，n＝6，∴(x+12x)n令6-32r=∴展开式中的常数项为T5故二项展开式中的常数项为151619．（12分）已知函数f(x)=1（1）若f（x）在x＝2处取得极值，求实数a的值；（2）讨论f（x）的单调性．【解答】解：（1）依题意，f'(x)=x-(a+1)+a则f'(2)=2-(a+1)+a解得：a＝2，经检验，符合题意．（2）函数定义域为（0，+∞），因为f(x)=x-(a+1)+a所以，当a＝1时f'(x)=(x-1)2x≥0当a≤0时，若0＜x＜1，f'（x）＜0，f（x）在（0，1）递减，若x＞1，f'（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增；当0＜a＜1时，若a＜x＜1，f'（x）＜0，f（x）在（a，1）单调递减，若0＜x＜a或x＞1，f'（x）＞0，f（x）在（0，a）和（1，+∞）递增；当a＞1时，若1＜x＜a，f'（x）＜0，f（x）在（1，a）单调递减，若0＜x＜1或x＞a，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）和（a，+∞）单调递增；综上，当a≤0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；当0＜a＜1时，f（x）在（a，1）单调递减，在（0，a）和（1，+∞）单调递增；当a＝1时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞1时，f（x）在（1，a）单调递减，在（0，1）和（a，+∞）单调递增．20．（12分）某学校举办知识竞赛，规则是：比赛共三轮，每名选手只有通过上一轮才能进入下一轮，每轮比赛有两次挑战机会，若第一次挑战成功则直接进入下一轮，第一次不成功可以再挑战一次，若成功同样进入下一轮，两次均未成功，选手比赛终止．已知每次挑战是否成功相互独立．（1）若选手甲第一轮每次挑战成功的概率为45，第二轮每次挑战成功的概率为3（2）已知共有2000名选手参加竞赛，竞赛采用计分制，选手得分X～N（212，σ2），其中270分以上的选手有46名，学校决定对得分高的前317名选手进行表彰，若选手乙的得分为231分，问乙能否获得表彰．附：若随机变量X～N（μ，σ²），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.683；P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.954；P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.997．【解答】解：（1）设Bi：第i次通过第二关，Ai：第i次通过第一关，甲可以进入第三关的概率为P，由题意知P＝（P（A1）+P（A1A2））•（P（B1）+P（B1B2））＝（（2）∵选手得分X～N（212，σ2），∴对称轴为μ＝212，∵3172000=0.1585%，且∴462000=0.023%，且∴μ+2σ＝270，则σ=270-212∴前317名参赛者的最低得分高于μ+σ＝241，而乙的得分为231分，所以乙无法获得奖励．21．（12分）为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产．（1）现从试产的新产品中取出6件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对6件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望；（2）设每件新产品为次品的概率都为p（0＜p＜1），且各件新产品是否为次品相互独立．记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为f（p），问p取何值时，f（p）最大．【解答】解：（1）根据题意可知X的取值可能为2，3，4，5，则可以得到：P(x=2)=C22C62=115，P（XP（X＝5）=4×3×2×2×46×5×4×3×12=4则X的分布列为：X23456P121413所以