河北省邯郸市2024届高三年级下册高考保温数学试题

河北省邯郸市2024届高三下学期高考保温数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

3

1.已知tana=：,。为第一象限角，则sine的值为（）

4

人3「4-34

A.-B.-C.--D.——

5555

2.命题“Vxw（l,y）,d—2%+l>0”的否定是（）

33

A.VA:G（-OO,1],^-2X+1>0B.VXG（1,+OO）,X-2X+1<0

C.3XG（-OO,1],^3-2X+1>0D.BXG（1,+CO）,%3-2X+1<0

3.（2尤2-gj的展开式中，常数项为（）

A.60B.-60C.120D.-120

4.中国地震台网测定：2024年4月3日，中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震.已知地

震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+L5M,2011

年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，则它所释放出来的能量约是中国台湾

花莲县海域发生里氏7.3级地震的多少倍？（）

A.98B.105C.355D.463

5.已知M,N是圆C：/+2y-3=0上的两个点，且|的|=20,尸为MV的中点，。

为直线/：尤-y-3=0上的一点，则|尸。|的最小值为（）

A.2&B.72C.2-A/2D.72-1

6.某疾病全球发病率为0.03%,该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为5%,

检测的误诊率（未患病者判定为阳性的概率）为1%,则某人检测成阳性的概率约为（）

A.0.03%B.0.99%C.1.03%D.2.85%

7.若函数〉=后8$3%+夕）（0>0,-兀<°<兀）的部分图象如图所示，/卜3,石），N0,-⑹

为图象上的两个顶点.设NMON=6,其中。为坐标原点，0<。<兀，则sin（e+°）的值为（）

「出+1D.^±1

22

22

8.已知双曲线C：二-3=1（。>0/>0）,。为坐标原点，月、F?分别为c的左、右焦点,

ab

UULULlULl.।..

点P在双曲线上，且尸轴，〃在/£尸耳外角平分线上，且&.若|o阊=怩凹,

则双曲线的离心率为（）

D.迪

A.后B.0C.2

3

二、多选题

9.已知复数z,三是其共物复数，则下列命题正确的是（）

A.z>z

B.若|z|=l,则卜+百一i|的最小值为1

C.z=-^L（z0）

D.若3+4i是关于x的方程x2+px+q=0（p,qeR）的一个根，则q=5

10.如图，将一块边长为4m的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然

后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（）

A.当x=2m时，正四棱锥的侧面积为4Gm?

B.当x=2m时，正四棱锥的体积为递n?

3

试卷第2页，共4页

C.当尤=2鬲时，正四棱锥外接球的体积为坐工m，

6

D.正四棱锥的体积最大值为三晶3

27

11.定义在R上的函数〃尤)满足：2/(x+l)/(y+l)=/(x-y)-/(^+y),且”2)=-1,

则下列结论正确的是()

A."0)=1B.(1,0)是的对称中心

2024

C.尸(X)是偶函数D.=l

i=0

三、填空题

12.已知向量6=(4,2),若向量°在B上的投影向量为g"且。与6不共线，请写出一个符

合条件的向量a的坐标.

13.记r为等比数列｛%｝的前〃项的和，若%+4=1,4品=7邑，贝.

14.若不等式InxW优lna(a>l)恒成立，则。的取值范围为.

四、解答题

15.已知函数"x)=ae*-xlnx.

⑴当a=l时，求函数在(L〃l))处的切线方程；

⑵若〃元)为增函数，求。的取值范围.

16.某人投掷两枚骰子，取其中一枚的点数记为点P的横坐标x,另一枚的点数记为点尸的

纵坐标,，令事件A="x+y=7"，事件B="x为奇数”.

⑴证明：事件43相互独立；

(2)若连续抛掷这两枚骰子三次，求点尸在圆/+/=12内的次数X的分布列与期望.

17.如图，已知菱形ABCD和菱形ADEF的边长均为2,ZFAD=ZBAD=60°,BF=5

M、N分别为AE、80上的动点，且学=处.

AEBD

⑴证明：MN〃平面EDC；

(2)当MN的长最小时，求平面脑棋与平面MND的夹角余弦值.

18.动点M到定点/(1,0)的距离与它到直线x=4的距离之比为记点M的轨迹为曲线「.

若尸(不，儿)为r上的点，且%40.

(1)求曲线「的轨迹方程；

⑵已知4(-2,0),3(2,0),直线/交曲线「于两点，点C在X轴上方.

①求证：kPA-kPB为定值；

②若的"=3心一直线/是否过定点，若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.

19.柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就

是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设

4，。2，%，…，…，2eR,则

(a；+«2H-----1~4：)仅：+£H-----2+a2b2H-----1-anbn)当且仅当bt=0(7=1,2,…,w)或存

在一个数%,使得4=屹。=1,2,…，同时，等号成立.

(1)请你写出柯西不等式的二元形式；

(2)设P是棱长为血的正四面体A3CD内的任意一点，点尸到四个面的距离分别为4、d2>

4、4，求42+4；+送+“：的最小值；

(3)己知无穷正数数列｛(｝满足：①存在meR,使得4〈加«=1,2,…)；②对任意正整数

i、j(i手j)，均有,广々17「.求证:对任意〃"，〃eN*,恒有机

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】利用商关系和平方关系可求答案.

【详解】因为tana==3,所以s2in吧a=3=,

4coscr4

169

又因为siEe+cos2a=1,所以sin2a+§sin2a=1,sin2a=-；

3

因为a为第一象限角，所以sina=g.

故选：A

2.D

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.

【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，

所以命题“Vxe(l,+oo),炉_2%+1>0”的否定是lve(l,+oo),尤3一2彳+14().

故选：D.

3.A

【分析】根据二项式定理通项公式当r=4时，代入通项公式可得到答案.

r6r123r

【详解】依题意有小=42元2广］」)=(-l)x2-C；x-,r=0,l,,6,

令12—3r=0=>r=4,所以常数项为(—l)，x2?C：=60,

故选：A.

4.C

【分析】利用指对数的互化可得分别求两次地震的能量，再应用指数的运算性质求地震能量

的倍数.

【详解】由题设，

日本东北部海域发生里氏9.0级地震所释放出来的能量g=10—,

中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震所释放出来的能量与WO""""",

F1rv4.8+1.5x9

所以直=所药=1产工355.

故选：C.

5.B

答案第1页，共17页

【分析】先根据弦长得出点P的轨迹，利用直线与圆的位置关系即可解决.

【详解】圆C的标准方程：x2+(y-l)2=4,圆心C(O,1),半径为2,

由|建V|=2近，可得|CP|="^=也,

所以点P在以C(0,1)为圆心，应为半径的圆上,

|0-1-3|

又点C到直线/：x-y-3=0的距离d=2V2,

所以归。|的最小值为20-拒=0.

【分析】根据题意，某人检测成阳性包含两种情况：非患者检测为阳性和患者检测为阳性,

结合互斥事件的概率加法公式，即可求解.

【详解】由题意，未患病者判定为阳性的概率为1%,患病者判定为阳性的概率为95%,

所以某人检测成阳性包含两种情况：

①非患者检测为阳性的概率为(1-0.3%)xl%=Q00997；

②患者检测为阳性的概率为。3%*(1-5%)=0.00285,

所以某人检测成阳性的概率为0.00997+0.00285=0.01282^1.03%.

故选：C.

7.A

【分析】首先由已知条件列出方程组求解得夕，再利用向量求出夹角凡最后求得sin®+0)

即可.

_T27rJr

【详解】由图可知，-=4,r=8=-,

答案第2页，共17页

71

CD=—

A/3COS（-3G+夕）=退4

由题意知<解得:

6cos（G+o）=-\/3

又因为四=卜3,6）,ON=（1,-后），且NM0N=9,

OM-ON-6A/3

2月x2一2

5兀

因为0«84兀，所以。=L.

6

”….（八、.（3K5兀\.3兀5兀3兀.5兀

所以sin，+0）=sin1=sin—cosFcos——sin——

、）46J4646

应.⑻（01_痣+0

「了JJX2-4-

故选：A

8.B

【分析】根据题意，由条件可得点P的坐标，再结合条件可得PM垂直平分N%,从而可得

OM//FtN,再结合O&M4&N可得.。乙加F2PN,从而得到a,"c的关系，由双曲

线离心率的计算公式即可得到结果.

【详解】如图所示，不妨设尸在第一象限，延长与6加交于点N,

22

因为尸乙，x轴，月(c,o),将x=c代入双曲线中，可得二一与=1,

a'b'

8(b2}

解得y=±幺，且尸在第一象限，则Pa—,

a<a)

UUUUUUL1

因为M在/鸟尸耳的外角平分线上，且-?〃=(),

则F2M1PM,ZF2PM=ZNPM,

故PM垂直平分NB，PN6为等腰三角形，

b2

所以|P£|=|PN|=?,/为N"中点，

因为O,M分别为百入，叫的中点，

则为百瑞N的中位线，&OMUF\N,

答案第3页，共17页

=；阳N|=g（闺尸|+|PM）=；（闺尸|+|尸用），

由双曲线的定义可得用4-忱闾=2a,则忻尸|=2a+|PB|=2a+J,

所以|0叫=；（忻P|+|P闾）=、2a+£+£]=a+£,

乙乙、ac^t）C^L

又因为OM//RN,贝IOF2MFXF2N,

因为|O6卜阳M，所以OF2M,都是等腰三角形，

则ZMOF2=ZNF[F2=ZOMF2=ZF.NF2,

故。2…则黑=制,

又因为|叫|=2|峥|=2|。词=2c,

b2

贝整理可得2/=户+勺，

b2ca

a

因为廿=c2",则2c2=c2-/

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了双曲线的定义以及离心率的计算，难度较大，解答本

题的关键在于结合条件得到OM〃6N,结合相似比以及双曲线的定义，从而得到结果.

9.BC

【分析】利用复数的几何意义，模长公式，复数相等，共辗复数等知识可求答案.

答案第4页，共17页

【详解】对于A,复数(虚部不为0)不能比较大小，所以A不正确；

对于B,设2=。+历，a,beR,由|z|=1可得/+从=1,设。=8$6/=5也6,

贝娱+6_力=仙+南+仅_1)2=J26cos0-2sin6+5

=j4sin(O+e)+5,当sin(O+a)=-l时，卜+若-“取到最小值1,B正确；

对于C,设2=。+为，a,beR,\z^=cr+b2,zz=(^a+bi)(a-bi)=a1+b2,

所以归:z彳，即z卫(z/O)，C正确；

z

对于D,(3+4i)2+p(3+4i)+q=0(p,qeR),整理得(3p+q—7)+(24+4p)i=0,

所以3p+g-7=0且24+4p=0,解得°=-6,q=25,D不正确.

故选：BC

10.BCD

【分析】作出示意图，对于A：可求得4S枷=8〃/判断A；对于B：当x=2时，P0=班,

可得丫=拽加判断B；,设外接球的半径为r,可得/■=：,进而求得体积判断C；可得

OE=|AB=1X,＜。=J4T2,可得1卡卜宁,利用利用换元法，结合导数可

求其最大值判断D.

【详解】用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器如图所示：

对于A：当x=2时，即AB=2,由题意可得.ABP的边AB上的高为2,

所以侧面面积为4s神=4x；x2x2=8加2,故A错误；

对于B：当x=2时，由题意可得侧面斜高尸E=2,OE=^AB=\,

可得尸O=/^=G，所以V=；SABo/°P=gx2x2x0=半1113,故B正确;

对于C：当x=2V^时，RJOE=—AB=5/3,PO=C4-3=1,

答案第5页，共17页

正四棱锥外接球的球心M在直线P。上，设外接球的半径为,,

则”_1）2+（卡）2=/，解得r=工,所以正四棱锥外接球的体积为

23326

故c正确；

对于D：-^nOE=-AB=-x,PO=.4--x2,

22V4

222

V=1-SABCD^OP=^xxxxx^4-^x=尤2/_圣=1xV16-X,

令f=J16-de（0,4），贝|J/⑺=g（16-r）,求导得广⑺=，（16-3产），

令广⑺=0,则!（16—3»）=0,解得/=迪，

当fe（0,半），/"）＞0,小（殍,4）,f'（t）＜0,

所以国3,此时工=苧时取等号，故D正确.

故选：BCD.

11.ABD

【分析】令x=y=l,求出/（。）=1可判断A；令x=l,y=-x,可判断B；若尸（力是偶函

数,则/'（r）=7'（x）,利用/"+x）=「（I）,得到了'（X）的周期为2,的周期也为

2,产生矛盾可判断C；由/（x+4）=-〃x+2）=〃x）,所以〃x）的周期为4,赋值法求出

/（1）,/（3）,利用周期性求值可判断D.

【详解】对于A,令x=y=l,可得2/（2）/（2）=/（0）—"2）,因为〃2）=-1,

所以“0）=1,故A正确；

对于B,令x=l,y=-x,可得2/（2）/。一同=/。+力一〃1一无），

即/（l+x）+/（l-x）=0,所以（LO）是〃x）的对称中心，故B正确；

对于c若于（X）是偶函数,则m（x）,

因为〃l+x）+〃l一尤）=。，所以尸（1+”=尸。一x）,/（-%）=/（2+^）=/（%）,

从而得到「（力的周期为2,〃x）的周期也为2,

而〃。）=1¥/（2）=-1,故C错误；

答案第6页，共17页

对于D,由C得〃x+4)=—/(x+2)=/(x),所以的周期为4,

令无=y=0,得2/(1)/(1)=〃0)-〃0)=0,得/⑴=0,

令x=2,y=l,得2〃3)〃2)=/(1)-43)=0,43)=0,

所以/(。)+/(1)+/(2)+43)=1-1=。，所以

2024

S/(0=2024x0+/(2024)=/(0)=l,故D正确.

i=0

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：解题是利用特殊值法，结合函数的性质求解.

12.(1,3)(答案不唯一)

a-bb1,

【分析】根据题意，得到求得进而可写出一个向量，得到答案・

【详解】由向量8=(4,2),可得向量忖=而，

1a-bb1.

因为向量a在6上的投影向量为5匕，可得向=可得分6=10，

设a=（羽y）,可得4x+2y=10,取x=l,y=3,

此时向量a与向量b不共线，故a=(L3).

故答案为：(1,3)(答案不唯一).

13.—

16

【分析】由等比数列的求和公式和等比数列的性质进行计算即可求解.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为4,由题意可得4X1,

可得4“1一074（1一”

解得“2=；，

由4s6=7SZ，

\-q1-q

22

又4+々4=1，BPaxq+a2q=1,所以〃1+2=2,

同理%+%=2，%+火=,，a,+a10=-,0,1+^=—,

24816

因S]2=%+Cl?+Q3+〃4+。5+。6+〃7+。8+。9+%0+1+。12，

答案第7页，共17页

bi、rcc1IIII63

所以Si2=2+ld----1----1----1----=——.

122481616

故答案为：

16

14.ee,+oo

【分析】借助》二1。8〃、与>=优的图象关于直线y=%对称性，先讨论y=与>=优的

图象的交点个数，即可求解.

【详解】不等式lnxW"lna(〃>l)恒成立，

即不等式叱4o,恒成立，

ma

即不等式log.XW优恒成立，

先求解y=10gli%与y=的相切的情况.

因为函数y=log。％与y=优的图象关于直线丫=*对称，

所以切点一定在直线y=x上，且切线斜率为1,

假设切点坐标为(1,不)

则*=X。①

由y=优求导得yr=ax\na,

所以a'"lna=l,即a〜②

ma

由①②得%=々湎=-^—,

Ina

J_i

所以a与=a[na=*g“e==-----,

e=xIna

所以e=J—,所以lna=,，解得“一2，

Inaea~e

因为当a>l时，

指数函数,的导数y'=a〔na递增，

对数函数产bg〃％的导数y'=一J—递减，

xlna

如图：

答案第8页，共17页

y=logaxx

因此可得：

当时，没有公共点，

当〃一£，有1个公共点，

当时，有2个公共点・

结合图象可知：当〃之盛时，不等式1。丸龙工优恒成立，

-1A

即若不等式恒成立，则。的范围为ee,+。.

_7

-1\

故答案为：ee,+a>

,7

【点睛】关键点点睛:本题求解的关键是把不等式的恒成立问题转化为指数函数图象与直线

)=%公共点个数问题，进而利用导数的几何意义求解.

15.(l)(e-l)x-y+l=O

⑵

【分析】(1)根据题意，由导数的几何意义，结合直线的点斜式方程，即可得到结果；

(2)根据题意，将问题转化为((无)上。在xe(O,+«)上恒成立，构造函数

gG)=W"(x>。)，即。之8口).，求导即可得到其最值，从而得到结果.

【详解】(1)当a=l时，/(x)=ev-xlnx,即〃l)=e,所以切点坐标为(l,e),

又因为_f(x)=e，—如x—1,则广⑴=e-l,

由直线的点斜式方程可得y-e=(e-l)(x-l),

答案第9页，共17页

化简可得(e—l)x—y+l=O.

(2)因为函数〃x)=ae"-xlnx定义域为(0,+e),J=L/,(A：)=aeT-(l+lnx),

为(0,+巧上增函数等价于尸⑺20在xe(0,E)上恒成立，

由尸(x)NO可得aW坐空，令g(x)=^U(x>0),

ee

所以只需aNg(x)a，求导可得g'(x)=ef[1Inx],

^/z(x)=--1-lnx,贝！J,(%)=一-y--<0,

xxx

即M力是(o,+8)上的减函数,又砌=0,

故％=1是"(X)的唯一零点，

当X£(0,1)时,/z(x)>0,g<%)>0,g(x)递增，

当x£(1,+00)时,h^x)<0,g，(x)<0,g(x)递减,

故当X=1时，g(x)取得极大值且为最大值，g⑴=4

所以即。的取值范围是一,+°°].

eLe)

16.(1)证明见解析，

(2)分布列见解析，期望为;.

【分析】(1)要证明事件43相互独立的充要条件是尸(A5)=尸(A)-P(B),所以先要去求出

111

P(A)=-,P(B)=N，P(AB)=—,然后再根据充要条件加以判断；

(2)先求出抛掷这两枚骰子一次，满足点尸在圆尤2+/=12内的概率，然后根据连续抛掷

三次，说明即可用二项分布的概率公式计算分布列和求出期望.

【详解】(1)证明：由题意可知尸点的坐标有36种，其中事件A所包含的基本事件有

(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6种，所以尸

3oo

1Q1

事件3所包含的基本事件有18种，所以P(8)=9=4,

362

31

积事件AB有。,6),(3,4),(5,2),共3种，所以P(A8)=^=K，

答案第10页，共17页

满足P(AB)=P(A>P(B),所以事件A、8相互独立;

(2)点尸在圆Y+y2=12内的基本事件有：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),共

6种，

所以点P在圆Y+丁=12内的概率为三:4,

366

由题意可知，3,1

p(x=0)=c?胃=2

5I275

P(x=i)=c；

216)

5

p(X=2)=C：I嗜

3

5

P(X=3)=C；

所以，X的分布列为

X0123

12575151

P

216216216216

所以E(X)=3x[="

62

17.(1)证明见解析

⑵姮

65

【分析】(1)先证明M7V〃EG,由线线平行得出线面平行;

⑵先根据出的长最小求出嘤=器的比值’再由建立坐标系求出平面“仍与平面

MND的夹角余弦值.

【详解】(1)延长4V交直线QC于点G,连结EG,

答案第11页，共17页

因为菱形ABC。，所以AB〃OG,

bzBNAN

所以——=——，

BDAG

AMBN

又7F=茄’

所以桨=*，所以MN//EG,

AEAG

因为MNU平面EDC,后Gu平面EDC,nMNIIEG,

所以MV//平面EDC.

(2)取AD的中点。，连接PO,BO,FD,BD,

因为菱形ABC。和菱形AD£F的边长均为2,ZFAD=ZBAD=60°,

所以R9=BO=JL

且歹OJ.AD,BOLAD,

又FOBO=O,FOu平面FOB,BOu平面FOB,

所以AD_L平面/03,

又BF=^,所以△F03为等边三角形,

取3。中点a,连接FH,则切JLO3,

由平面得AD_LEF/,

又FHLOB,AD±FH,OBAD=O,

所以FH_L平面ABO,

所以以。4所在直线为x轴，02所在直线为y轴，过。作平行于EH的直线为z轴，建立空

间直角坐标系，如图：

答案第12页，共17页

E

J2G〕

,B(0,^,0),一司，

了

‘57

设黑嚏=

贝llAM=AAE，BN-ABD，

(Q3、

贝iJM-32+1,—A,-A,N

(22)

MN=(2A-l,-—A+>j3,--A

22

显然彳=；时〃乂的长最小，

此时｛一驾,o]MN=jo,f,q

r3

AM=6DN=

设平面M7VA的法向量为加=（%，M，zJ,平面脑VD的法向量为〃=（%2，%/2），

m-AM=0

则

m•MN=0

363c

-----XH--------y,H-----Zi=0

214141

即

A/33.

一y一4=o

I414

答案第13页，共17页

令解得4=1,再=1,则相=（1,百小，

nDN

n-MN=O

1百

—XH-----%=。

2o2*42

即＜

百3

z=0

U——%——42

令y2=6,解得Z2=l,%2=-3,则”=卜3,6,1),

设平面加\幺与平面的夹角为。,

m-n1___V65

贝UcOSe=|cOS/n，T=

H.同A/5XV13-65

即当MN的长最小时，平面AW1与平面MM）的夹角余弦值为叵.

65

尤2V2

18.⑴-匕=1

43

⑵①证明见解析；②定点（1,0）

【分析】（1）根据求轨迹方程的方法列式化简即可求得.

（2）①根据两点间的斜率公式，结合尸（七,为）为「上的点，代入化简即可求得定值.

②直线/：”=四+乙根据两点间的斜率公式和条件上m=330，结合韦达定理，求得，的值,

从而确定定点坐标.

【详解】（1）设M（x,y）,动点〃到定点p（l,。）的距离与它到直线尤=4的距离之比为:，

则J（xT『+y2化简得《+二=1,

|x-4|243

22

所以M的轨迹曲线r的轨迹方程?+]=i.

22（y2A

（2）①尸&,%）为「上的点，则配+生=1,y；=31-于，

4314J

=^<>yl

因为4（—2,0）,3（2,0）,则L•脸3（定值），所以

%+2X-2_4=;

Q4

答案第14页，共17页

kpA，kpB为定值.

②直线/恒过定点(1,0),理由如下：

31

由①知，kAD-kBD=--,因为左5。=3攵AC，所以“

22

设直线/：x=+:―+^-=1,

将直线/与曲线「联立方程得(3疗+4b2+6研y+3»—12=0,

则X+A=36/n¥-4(3m2+4).(3r2-12)>0,

因为A(—2,0),3(2,0),配=三万，b=*，

所”上.k=^1_________2^______1

所以皿AL占+2尤?=+2一(阳口+2)(阳++2)=一4'

即(m2+4)%为+俄6+2)(%+%)+0+2)2=0,

所以3"+4)(/一%-疗功+2)16(