2024年广东省深圳市光明区公明中学中考数学三模试卷

第1页（共1页）2024年广东省深圳市光明区公明中学中考数学三模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列实数为无理数的是（）A． B．π C．0.22••• D．﹣52．（3分）设计师石昌鸿耗时两年，将34个省市的风土人情、历史典故转化为形象生动的符号，别具一格．石昌鸿设计的以下省市的简称标志中（）A． B． C． D．3．（3分）祖冲之是世界上第一位将圆周率计算到小数点后第7位的数学家，截至2024年3月14日，人类已经将圆周率计算到小数点后约105万亿位．从最初的小数点后几位，每一次精度的提升都代表着人类计算能力的巨大进步．数据105万亿用科学记数法表示为（）A．1.05×1013 B．1.05×1014 C．105×1012 D．0.105×10144．（3分）下列函数中，有最小值的是（）A． B． C．y＝x2 D．y＝﹣（x﹣1）2+15．（3分）如图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图）用去一部分液体后如图2所示，此时液面直径AB＝（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm6．（3分）一次函数y＝2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于点A、B，若点A、B关于原点对称（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．37．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这么一首诗：“今有布绢四十定，共卖价钞六百八．四定绢价九十贯，三定布价该五十，堪把芳名题郡邑．”其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，3定布价50贯，欲问绢布有多少，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．设有绢x定，依据题意可列方程组为（）A． B． C． D．8．（3分）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C（1）～（3）是其作图过程．（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等9．（3分）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1（即小正方形的顶点）B、C，使O为△ABC的外心（）A． B． C．4 D．10．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+（6﹣2m）x﹣m2+3的对称轴在y轴的右侧，当x＞2时，y的值随着x值的增大而减小，设P的纵坐标为t，若t≤3（）A．m≥ B．≤m＜3 C．m＜3 D．1≤m＜3二、填空题（每题3分，共15分）11．（3分）若有意义，则x的取值范围是．12．（3分）2024年5月18日是第48个国际博物馆日．某班计划从小王、小华、小亮、小明四名同学中随机选出两名同学前往山西地质博物馆参加主题日活动，则恰好选中小王和小华的概率是．13．（3分）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙），扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为（精确到个位，参考数据：≈4.58）．14．（3分）如图，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，过点B作BC⊥x轴于点C，连结OA，OB，并延长OA，CB交于点P．若A是OP的中点△ABP﹣S△OBC的值为（结果用含k的代数式表示）．15．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为BE，点D的对应点落在BA延长线上的点F处，点C的对应点为点G，EF＝5，则四边形AFGH的面积为．三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）16．（5分）计算：．17．（7分）先化简，再从﹣2，0，2中选择一个合适的值代入求值．18．（8分）为了落实课后服务工作的相关要求，某校于周一下午同时开设了四门特色课程供七年级学生选择（每个学生必选且只选一门）：A．体育生活：B．生物沙龙；D．音乐交流．该校七年级共有600人，全体七年级学生的选课情况统计如图1．（1）求该校七年级学生选择A课程的学生共有多少人？（2）为了解A课程的学习效果，对七年级选择A课程的所有学生进行了一次“30秒跳绳”成绩检测，并从中随机抽取了30名学生的“30秒跳绳”成绩进行统计（如图2）．①其中70≤x＜80这一组的数据为72，73，74，77，77，则这组数据的中位数是，众数是；②根据以上信息，估计七年级选择A课程的所有学生本次检测的“30秒跳绳”成绩超过77个的人数．19．（8分）已知⊙O经过A、C、D三点，点D在BA边上，CD⊥AC（1）求作⊙O．（请保留尺规作图痕迹，不写作法）（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）若，，求BC的长．20．（8分）某超市以20元每件的价格购进了一批玩具，并以每件不低于进货价且利润率不高于45%的价格进行销售．设售价为x元/件，每天销售量为y件，部分数据如表所示．销售单价x（元/件）…212223…每天销售数量y（件）…380360340…（1）设每天销售利润为w元，求w与x的函数表达式并写出x的取值范围；（2）当这种玩具每天销售利润为1500元时，求这种玩具的售价；（3）当这种玩具的售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？21．（9分）地球有多大？2000多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）利用太阳光线测量出了地球子午线的周长．下面让我们一起开启“探求地球周长”的数学项目化学习之旅．项目任务（一）如图1，某日正午，小红在B地（与太阳直射点A在同一子午线上），则∠AOB＝，若测得AB之间弧长为l，则地球子午线周长为．（用含α，l的代数式表示）项目任务（二）如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为α，β，若测得BC之间弧长为l，则地球子午线周长为．（用含α，β，l的代数式表示）项目任务（三）如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，按下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了∠PQH＝θ，请据此计算出地球的半径与周长．（用含h，θ的代数式表示）22．（10分）综合与实践【问题情境】在数学活动课上，同学们以等边三角形为背景，探究动点运动过程中产生的数学问题．已知△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一点，以AD为边作矩形ADEF（顶点A，D，E，F按逆时针顺序排列），直线EF分别与射线BC、直线AC交于点M，N．【初步探究】针对老师给出的问题背景，小敏画出了点D与点B重合时的图形，如图1，请你解答：（1）猜想EM与FN的数量关系，并说明理由；【深入思考】（2）在小敏研究的基础上，小捷同学画出了点N恰好是EF的中点时的图形，如图2的值；【拓展延伸】（3）在点D运动过程中，直接写出当CN＝2CM时的值．

2024年广东省深圳市光明区公明中学中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列实数为无理数的是（）A． B．π C．0.22••• D．﹣5【解答】解：A、是有理数；B、π是无理数；C、8.22•••是有理数；D、﹣5是有理数，故选：B．2．（3分）设计师石昌鸿耗时两年，将34个省市的风土人情、历史典故转化为形象生动的符号，别具一格．石昌鸿设计的以下省市的简称标志中（）A． B． C． D．【解答】解：A、该图不是轴对称图形；B、该图不是轴对称图形；C、该图不是轴对称图形；D、该图是轴对称图形；故选：D．3．（3分）祖冲之是世界上第一位将圆周率计算到小数点后第7位的数学家，截至2024年3月14日，人类已经将圆周率计算到小数点后约105万亿位．从最初的小数点后几位，每一次精度的提升都代表着人类计算能力的巨大进步．数据105万亿用科学记数法表示为（）A．1.05×1013 B．1.05×1014 C．105×1012 D．0.105×1014【解答】解：105万亿＝105000000000000＝1.05×1014，故选：B．4．（3分）下列函数中，有最小值的是（）A． B． C．y＝x2 D．y＝﹣（x﹣1）2+1【解答】解：A、没有最小值；B、没有最小值；C、y＝x4的最小值为0，符合题意；D、y＝﹣（x﹣1）3+1有最大值，不符合题意，故选：C．5．（3分）如图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图）用去一部分液体后如图2所示，此时液面直径AB＝（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，垂足为N，∵CD∥AB，∴△CDO∽△ABO′，即相似比为，∴＝，∵OM＝15﹣7＝8（cm），O′N＝11﹣2＝4（cm），∴＝∴AB＝3（cm），故选：C．6．（3分）一次函数y＝2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于点A、B，若点A、B关于原点对称（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3【解答】解：将一次函数y＝2x+m的图象向上平移3个单位长度后的直线解析式为y＝3x+m+3，∵y＝2x+m+3与反比例函数的图象交于点A、B、B关于原点对称，∴直线y＝2x+m+5是正比例函数，即m+3＝0，∴m＝﹣5，故选：B．7．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这么一首诗：“今有布绢四十定，共卖价钞六百八．四定绢价九十贯，三定布价该五十，堪把芳名题郡邑．”其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，3定布价50贯，欲问绢布有多少，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．设有绢x定，依据题意可列方程组为（）A． B． C． D．【解答】解：设有绢x定，布y定，依据题意可列方程组为．故选：A．8．（3分）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C（1）～（3）是其作图过程．（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等【解答】解：由作图得：DO＝BO，AO＝CO，∴四边形ABCD为平行四边形，故选：C．9．（3分）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1（即小正方形的顶点）B、C，使O为△ABC的外心（）A． B． C．4 D．【解答】解：如图所示，∵点O为△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，点B和点C的位置如图所示，∴，故选：A．10．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+（6﹣2m）x﹣m2+3的对称轴在y轴的右侧，当x＞2时，y的值随着x值的增大而减小，设P的纵坐标为t，若t≤3（）A．m≥ B．≤m＜3 C．m＜3 D．1≤m＜3【解答】解：抛物线y＝﹣x2+（6﹣7m）x﹣m2+3的对称轴为x＝＝﹣m+3，∵抛物线y＝﹣x2+（3﹣2m）x﹣m2+3的对称轴在y轴的右侧，∴﹣m+3＞0，解得m＜4①，∵当x＞2时，y的值随着x值的增大而减小，抛物线开口向下，∴﹣m+3≤6，解得m≥1②，∵点P是抛物线上的点，设P的纵坐标为t，∴二次函数y＝﹣x2+（4﹣2m）x﹣m2+8最大值小于等于3，即≤3③，由①②③可得≤m＜3，故选：B．二、填空题（每题3分，共15分）11．（3分）若有意义，则x的取值范围是x≥0且x≠3．【解答】解：由题意得，x≥0且x﹣3≠8，解得x≥0且x≠3．故答案为：x≥6且x≠3．12．（3分）2024年5月18日是第48个国际博物馆日．某班计划从小王、小华、小亮、小明四名同学中随机选出两名同学前往山西地质博物馆参加主题日活动，则恰好选中小王和小华的概率是．【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好是小王和小华的结果数为2种，∴恰好选中小王和小华的概率是．故答案为：13．（3分）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙），扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为74（精确到个位，参考数据：≈4.58）．【解答】解：如图，连接AB，则AC＝60﹣30＝30（cm），BC＝（x﹣60）cm，在Rt△ABC中，BC＝＝≈4×4.58＝13.74≈14（cm），∴x﹣60＝14，∴x＝74，故答案为：74．14．（3分）如图，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，过点B作BC⊥x轴于点C，连结OA，OB，并延长OA，CB交于点P．若A是OP的中点△ABP﹣S△OBC的值为（结果用含k的代数式表示）．【解答】解：如图，作AE⊥x轴，∵点A在反比例函数图象上，且是OP的中点，∴S△AOE＝，S△AOB＝S△APB，S△OBC＝，∵AE∥CP，∴△OAE∽△OCP，∴，∴S△POC＝4S△AOE＝8×＝7k，∴S△PAB＝×（7k﹣，∴S△ABP﹣S△OBC＝﹣＝．故答案为：．15．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为BE，点D的对应点落在BA延长线上的点F处，点C的对应点为点G，EF＝5，则四边形AFGH的面积为10.5．【解答】解：如图所示，连接BD，交BC于点M，设AE＝x，∵，∴AB＝8x，∵折叠，∴ED＝EF＝5，BD＝BF，∠ADB＝∠AFE，∵∠BAD＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠AFE＝90°，∴FO⊥BD，∵∠BAE＝∠BOE＝90°，∠ABE＝∠OBE，∴△AEB≌△OEB（AAS），∴BO＝AB＝2x，∴AF＝OD，在Rt△AEF中，，∵，∴，解得：x＝3（负值舍去），∴，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴tan∠ADB＝tan∠CBD，∴，∵OB＝AB＝6，∴，∴，则，∵折叠，∴．故答案为：10.5．三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）16．（5分）计算：．【解答】解：原式＝1﹣2+2＝1﹣．17．（7分）先化简，再从﹣2，0，2中选择一个合适的值代入求值．【解答】解：＝＝＝，∵x≠2，﹣2，∴x＝5，∴原式＝．18．（8分）为了落实课后服务工作的相关要求，某校于周一下午同时开设了四门特色课程供七年级学生选择（每个学生必选且只选一门）：A．体育生活：B．生物沙龙；D．音乐交流．该校七年级共有600人，全体七年级学生的选课情况统计如图1．（1）求该校七年级学生选择A课程的学生共有多少人？（2）为了解A课程的学习效果，对七年级选择A课程的所有学生进行了一次“30秒跳绳”成绩检测，并从中随机抽取了30名学生的“30秒跳绳”成绩进行统计（如图2）．①其中70≤x＜80这一组的数据为72，73，74，77，77，则这组数据的中位数是75，众数是77；②根据以上信息，估计七年级选择A课程的所有学生本次检测的“30秒跳绳”成绩超过77个的人数．【解答】解：（1）600×（1﹣15%﹣20%﹣25%）＝240（人），答：该校七年级学生中选择A课程的学生共有240人；（2）①第4个数是75，故中位数是75，77出现次数最多，故众数是77，故答案为：75，77；②240×＝112（人），答：估计七年级选择A课程的所有学生本次检测的“30秒跳绳”成绩超过77个的人数有112人．19．（8分）已知⊙O经过A、C、D三点，点D在BA边上，CD⊥AC（1）求作⊙O．（请保留尺规作图痕迹，不写作法）（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）若，，求BC的长．【解答】（1）解：如图，作AD的垂直平分线，以O为圆心；（2）证明：连接OC，∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∴∠A+∠ADC＝90°，∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，∴∠A+∠OCD＝90°，∵∠A＝∠BCD，∴∠BCD+∠OCD＝90°，∴∠OCB＝90°，∴OC⊥BC，∵OC为半径，∴BC为⊙O的切线；（3）解：过点C作CM⊥AD于点M，∵S△ACD＝AD•CM，∴4＝2，∴CM＝8，∵AD＝2，∴OC＝，∴OM＝＝5，∵∠BCO＝90°，∴∠CBO+∠BOC＝90°，又∵∠MCO+∠MOC＝90°，∴∠MCO＝∠CBO，∵∠BOC＝∠COM，∴△COM∽△BOC，∴，∴，∴OB＝5，∴BC＝＝＝2．20．（8分）某超市以20元每件的价格购进了一批玩具，并以每件不低于进货价且利润率不高于45%的价格进行销售．设售价为x元/件，每天销售量为y件，部分数据如表所示．销售单价x（元/件）…212223…每天销售数量y（件）…380360340…（1）设每天销售利润为w元，求w与x的函数表达式并写出x的取值范围；（2）当这种玩具每天销售利润为1500元时，求这种玩具的售价；（3）当这种玩具的售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）由题意，设y与x满足一次函数关系式为y＝kx+b，由表格数据可得一次函数过（21，380），360），∴．∴．∴一次函数的关系式为y＝﹣20x+800．∴每天销售利润为w＝（x﹣20）（﹣20x+800）＝﹣20x2+1200x﹣16000，即w＝﹣20x2+1200x﹣16000．∵售价每件不低于进货价且利润率不高于45%，∴20≤x≤20+45%×20，即20≤x≤29．（2）由题意，令w＝1500，∴1500＝﹣20x4+1200x﹣16000．∴x＝25或x＝35．又20≤x≤29，∴x＝25．答：这种玩具的售价为25元．（3）由题意，∵利润w＝﹣20x2+1200x﹣16000＝﹣20（x﹣30）2+2000，又﹣20＜3，20≤x≤29，∴当x＝29时，w取最大值．答：这种玩具的售价定为29元时，每天销售利润最大．21．（9分）地球有多大？2000多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）利用太阳光线测量出了地球子午线的周长．下面让我们一起开启“探求地球周长”的数学项目化学习之旅．项目任务（一）如图1，某日正午，小红在B地（与太阳直射点A在同一子午线上），则∠AOB＝α，若测得AB之间弧长为l，则地球子午线周长为．（用含α，l的代数式表示）项目任务（二）如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为α，βa﹣β，若测得BC之间弧长为l，则地球子午线周长为．（用含α，β，l的代数式表示）项目任务（三）如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，按下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了∠PQH＝θ，请据此计算出地球的半径与周长．（用含h，θ的代数式表示）【解答】解：任务（一）∵太阳光线是平行线，∴OA∥CD，∵∠ODC＝α，∴∠AOB＝∠ODC＝α，设地球的半径为r，∵AB之间弧长为l，∴，∴，∴地球子午线周长为2πr＝2π•＝，故答案为：α，；任务（二）：如图所示，延长EF交OB于P，∵太阳光线是平行线，∴MN∥EF，∵∠OMN＝α，∴∠EPM＝∠OMN＝α，∵∠OEP＝β，∴∠BOC＝∠EPM﹣∠OEP＝α﹣β，设地球的半径为r5，∵BC之间弧长为l，∴＝l，∴，∴地球子午线周长为，故答案为：a﹣β，；任务（三）：由题意得，当小亮趴在地上平视远方，此时小亮视线所在的直线HQ与⊙O相切于点H，太阳再次完全消失在地平线的瞬间，设这个切点为T，OH2，∴OP＝PH+OH＝h+r4，由切线的性质可得∠PHQ＝∠PTO＝90°，∴∠HQP+∠HPQ＝90°＝∠TPO+∠TOP，∴∠TOP＝∠PQH＝θ，在Rt△TPO中，，∴，∴，∴地球的半径为，∴地球的周长＝．22．（10分）综合与实践【问题情境】在数学活动课上，同学们以等边三角形为背景，探究动点运动过程中产生的数学问题．已知△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一点，以AD为边作矩形ADEF（顶点