2025优化设计一轮课时规范练88　正态分布

课时规范练88正态分布1.(2024·山西名校联盟模拟)某工厂生产的新能源汽车的某部件产品的质量指标X服从正态分布N(5,σ2)(σ>0),若P(X≥9.2)=0.24,则P(0.8<X≤5)=()A.0.12 B.0.24 C.0.26 D.0.482.某单位招聘员工,先对应聘者的简历进行评分,评分达标者进入面试环节.现有1000人应聘,他们的简历评分X服从正态分布N(60,102),若80分及以上为达标,则估计进入面试环节的人数为()(附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.12 B.23 C.46 D.1593.设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)4.(2021·新高考Ⅱ,6)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),下列结论中不正确的是()A.σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等5.(多选题)(2024·浙江绍兴模拟)设随机变量X~N(0,22),随机变量Y~N(0,32),则()A.E(X)=E(Y)B.D(X)=2,D(Y)=3C.P(X≤-2)+P(X≤2)=1D.P(|X|≤1)<P(|Y|≤1)6.(多选题)(2024·广东茂名模拟)随机变量X~N(μ,σ2)且P(X≤2)=0.5,随机变量Y~B(3,p),若E(Y)=E(X),则()A.μ=2 B.D(X)=2σ2C.p=23 D.D(3Y)=7.(2024·河南郑州模拟)已知某小麦品种的株高X(单位:cm)服从正态分布N(78,σ2),且P(76<X≤80)=0.80,现从该品种小麦中任取2株,则这2株小麦株高都超过80cm的概率为.

8.(2024·安徽滁州模拟)某品牌的一款纯电动车单次最大续航里程X(单位:千米)服从正态分布N(2000,102).任选一辆该款电动车,则它的单次最大续航里程恰在[1970,2020]的概率为.(参考公式:随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)

9.已知某种袋装食品每袋质量X~N(500,16),则随机抽取10000袋这种食品,袋装质量在区间(492,504]的约袋(质量单位:g).(附:X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)

10.(2024·重庆巴蜀中学模拟)某校研发了ChatGPT的“学习APP”,供该校所有教师学习使用.该校共有教师1000名,为了解教师们的学习情况,随机抽取了100名教师,在指定的一天统计了这100名教师利用“学习APP”学习ChatGPT技术的时长(单位:min),得到了如图所示的频率分布直方图.学习时长不低于120min的教师称为“学习积极分子”.(1)求统计的这100名教师中“学习积极分子”的人数,并根据频率分布直方图,估计在指定当天教师学习ChatGPT时长的平均数(每组数据以该组区间的中点值为代表);(2)由频率分布直方图可知,该校教师在指定当天学习ChatGPT的时长X近似服从正态分布N(μ,σ2)(其中μ近似为样本平均数,σ取10.8),求该校教师在指定当天学习ChatGPT的时长位于区间[101.2,133.6]上的概率.(附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)11.为调查禽类某种病菌感染情况,某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中A指标的检测数据进行整理,绘成如下频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,估计这5000只家禽血液样本中A指标值的中位数(结果保留两位小数).(2)通过长期调查分析可知,该养殖场家禽血液中A指标的值X服从正态分布N(7.4,2.632).(ⅰ)若其中一个养殖棚有1000只家禽,估计其中血液A指标的值不超过10.03的家禽数量(结果保留整数);(ⅱ)在统计学中,把发生概率小于1%的事件称为小概率事件,通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外,每天还会随机抽检20只家禽,若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中A指标的值大于12.66,判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常,并分析说明理由.参考数据:①0.022753≈0.00001,0.9772517≈0.7;②若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.12.(2024·山东济南模拟)某高中学校计划优化课程,增加学生体育锻炼时间,提高体质健康水平,某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试,得到如下表格:序号i12345678910成绩xi/分38414451545658647480记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x,s2,经计算∑i=110(xi-x)2=1690,∑(1)求x;(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格,从这10名学生中任取3名,记体质测试成绩不合格的人数为X,求X的分布列;(3)经统计,高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ,σ2),用x,s2的值分别作为μ,σ2的近似值,若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试,记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]的人数为Y,求Y的数学期望E(Y).附:若Y~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Y≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤Y≤μ+3σ)≈0.9973.13.春节期间,我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况,在某高速收费点发现大年初三上午9:20~10:40这一时间段内有600辆车通过,将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9:20~9:40记作区间[20,40),9:40~10:00记作[40,60),10:00~10:20记作[60,80),10:20~10:40记作[80,100],例如:10点04分,记作时刻64.(1)估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);(2)为了对数据进行分析,现采用分层随机抽样的方法从这600辆车中抽取10辆,再从这10辆车中随机抽取4辆,记X为9:20~10:00之间通过的车辆数,求X的分布列与数学期望;(3)由大数据分析可知,车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可用这600辆车在9:20~10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替,σ2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表),已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点,估计在9:46~10:40之间通过的车辆数(结果保留到整数).参考数据:若T~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤T≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤T≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤T≤μ+3σ)≈0.9973.

课时规范练88正态分布1.C解析由正态分布可知,P(X≤5)=P(X>5)=0.5,P(X≤0.8)=P(X≥9.2)=0.24,所以P(0.8<X≤5)=0.5-P(X≤0.8)=0.26.2.B解析因为X~N(60,102),则P(X≥80)=P(X≥60+20)≈1-0.95452=0.02275,所以估计进入面试环节的人数为1000×3.C解析X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22)的密度曲线分别关于直线x=μ1,x=μ2对称,因此结合所给图象可得μ1<μ2,所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1),因为X~N(μ1,σ12)的密度曲线较Y~N(μ2,σ22)的密度曲线“瘦高”,所以0<σ1<σ2,所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1),由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知,对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t),P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正确,D错误.4.D解析对于A,σ越小,代表正态曲线越陡,故A正确;对于B,测量结果服从正态分布N(10,σ2),则正态曲线的对称轴为直线x=10,故B正确;对于C,结合正态曲线可知x=10.01与x=9.99关于对称轴(直线x=10)对称,故C正确;对于D,结合正态曲线可知,区间(9.9,10.2)与(10,10.3)不关于对称轴(直线x=10)对称,故D错误.故选D.5.AC解析由随机变量X~N(0,22),随机变量Y~N(0,32)知,E(X)=E(Y)=0,D(X)=4,D(Y)=9,故A正确,B错误;由于随机变量X服从正态分布,正态密度曲线的对称轴为直线X=0,所以P(X≤-2)+P(X≤2)=P(X>2)+P(X≤2)=1,故C正确;由于随机变量X,Y均服从正态分布,且正态曲线的对称轴均为y轴,D(X)=4<D(Y)=9,在正态密度曲线中,X的峰值较高,正态曲线越瘦高,随机变量分布比较集中,所以P(|X|≤1)>P(|Y|≤1),故D错误.故选AC.6.AC解析因为X~N(μ,σ2),且P(X≤2)=0.5,所以μ=2,故E(X)=μ=2,D(x)=σ2,故选项A正确,选项B错误;因为Y~B(3,p),所以E(Y)=3p=E(X),所以3p=2,解得p=23,故选项C正确D(3Y)=9D(Y)=9×3×23×1-2故选AC.7.0.01解析由小麦株高服从正态分布N(78,σ2),得μ=78,所以P(X>80)=1-0.80所以这2株小麦株高都超过80cm的概率为0.12=0.01.8.0.9759解析由题意X~N(2000,102),∴μ=2000,σ=10,∴P(1970≤X≤2020)=P(μ-3σ≤X≤μ+2σ)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)-12[P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)-P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)]≈0.9973-12×(0.9973-0.9545)=0.9759.8186解析由题意得P(500-4≤X≤500+4)≈0.6827,P(500-8≤X≤500+8)≈0.9545,则P(492<X≤496)≈0.9545-故P(492<X≤504)≈0.1359+0.6827=0.8186,则袋装质量在区间(492,504]的约有10000×0.8186=8186袋.10.解(1)该校100名教师中“学习积极分子”的人数为100×(10×0.028+10×0.020+10×0.012)=60,指定当天教师学习ChatGPT时长的平均数为10×(95×0.006+105×0.014+115×0.02+125×0.028+135×0.02+145×0.012)=122.8.(2)由题意得X~N(122.8,10.82),则P(101.2≤X≤133.6)=P(122.8-21.6≤X≤122.8+10.8)=P(122.8-10.8×2≤X≤122.8+10.8)=P(μ-2σ≤X≤μ+σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-12×(P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ))≈0.9545-12×(0.9545-0.6827)=0.11.解(1)由2×(0.02+0.06+0.14)=0.44,2×(0.02+0.06+0.14+0.18)=0.8,可得中位数在区间[7,9)内,设中位数为x,则2×(0.02+0.06+0.14)+(x-7)×0.18=0.5,解得x≈7.33.(2)(ⅰ)由X~N(7.4,2.632),可得P(7.4-2.63≤X≤7.4+2.63)=P(4.77≤X≤10.03)≈0.6827,则P(X≤10.03)=P(4.77≤X≤10.03)2故该养殖棚中血液A指标的值不超过10.03的家禽约有1000×0.84135=841.35≈841只.(ⅱ)P(7.4-2×2.63≤X≤7.4+2×2.63)=P(2.14≤X≤12.66)≈0.9545,P(X>12.66)≈1-0.95452=0.02275,随机抽检20只相当于进行20次独立重复试验,设恰有3只血液中A指标的值大于12.66为事件B,则P(B)=C203×0.022753×(1-0.02275)12.解(1)x=110×(38+41+44+51+54+56+58+64+74+(2)因为体质测试不合格的学生有3名,所以X的可能取值为0,1,2,3.因为P(X=0)=C7P(X=1)=C7P(X=2)=C7P(X=3)=C所以X的分布列为X0123P72171(3)因为x=56,s2=110∑i=110(xi-x)2=110