2025优化设计一轮课时规范练86　离散型随机变量及其分布列、数字特征

课时规范练86离散型随机变量及其分布列、数字特征一、基础巩固练1.若随机变量X的分布列如表,则X的方差D(X)是()X-101P111A.0 B.1 C.14 D.2.一台机器生产某种产品,如果生产出一件甲等品可获利50元,生产出一件乙等品可获利30元,生产一件次品,要赔20元,已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1,则这台机器每生产一件产品,平均预期可获利的钱数为()A.36 B.37 C.38 D.393.已知随机变量ξ的分布列为ξ-101Pabc若a,b,c成等差数列,且E(ξ)=13,则b的值是,D(ξ)的值是.4.医学上发现,某种病毒侵入人体后,人的体温会升高.记病毒侵入后人体的平均体温为X(单位:℃).医学统计发现,X的分布列如下.X37383940P0.10.50.30.1(1)求出E(X),D(X);(2)已知人体体温为X℃时,Y=1.8X+32,求E(Y),D(Y).5.(2024·湖南雅礼中学模拟)一会议举办方拟在某单位招募5名志愿者,该单位甲、乙、丙三个部门可分别向单位推选3名志愿者以供选拔,每个部门有3个小组,每个小组可向本部门推选2名志愿者供部门选拔,假设每名志愿者入选的机会相等.(1)求甲部门志愿者入选人数为1的概率;(2)求所招募的5名志愿者来自三个部门的概率;(3)求某小组志愿者入选人数X的分布列及期望.二、综合提升练6.(2024·陕西西安模拟)某公司计划在2024年年初将200万元用于投资,现有两个项目供选择.项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为79和29.项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为7.有9个外观相同的同规格砝码,其中1个由于生产瑕疵导致质量略有增加,小明想通过托盘天平称量出这个有瑕疵的砝码,设计了如下两种方案,方案一:每次从待称量的砝码中随机选2个,分别放在天平的左、右托盘上,若天平平衡,则选出的2个砝码是没有瑕疵的;否则,有瑕疵的砝码在下降一侧.按此方法,直到找出有瑕疵的砝码为止.方案二:从待称量的砝码中随机选8个,按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上,若天平平衡,则未被选出的那个砝码是有瑕疵的;否则,有瑕疵的砝码在下降一侧,每次再将该侧砝码按个数平分,分别放在天平的左、右托盘上,…,直到找出有瑕疵的砝码为止.(1)记方案一的称量次数为随机变量X,求X的分布列;(2)上述两种方案中,小明应选择何种方案可使称量次数的期望较小?并说明理由.

课时规范练86离散型随机变量及其分布列、数字特征1.D解析E(X)=-1×14+0×12+1×14=0,则D(X)=14×(-1-0)2+12×(0-2.B解析设这台机器每生产一件产品可获利X,则X可能取的数值为50,30,-20,所以X的分布列为P(X=50)=0.6,P(X=30)=0.3,P(X=-20)=0.1,所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利的钱数为50×0.6+30×0.3-20×0.1=37.3.1359解析由a,b,c成等差数列,得由分布列得a+b+c=1,②E(ξ)=-a+c=13,③联立①②③,解得a=16,b=13,c=则D(ξ)=(-1-13)2×16+(0-13)2×13+4.解(1)由题可得,E(X)=37×0.1+38×0.5+39×0.3+40×0.1=38.4,D(X)=(37-38.4)2×0.1+(38-38.4)2×0.5+(39-38.4)2×0.3+(40-38.4)2×0.1=0.64.(2)由Y=1.8X+32可知,E(Y)=1.8E(X)+32=1.8×38.4+32=101.12,D(Y)=1.82×D(X)=1.82×0.64=2.0736.5.解(1)设甲部门志愿者入选人数为1的概率为P1,由题得P1=C3所以甲部门志愿者入选人数为1的概率为5(2)设5名志愿者来自三个部门的概率为P2,由题得P2=1-C3所以所招募的5名志愿者来自三个部门的概率为6(3)由题意可知X的取值为0,1,2,P(X=1)=C2P(X=2)=C2P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=12所以X的分布列为X012P141所以E(X)=0×12+1×46.解若投资项目一,设获利为ξ1万元,则ξ1的分布列为ξ160-30P72所以E(ξ1)=60×79+(-30)×2若投资项目二,设获利为ξ2万元,则ξ2的分布列为ξ21000-60P311所以E(ξ2)=100×35+0×115+(-60)×13=40,所以E(ξ1)D(ξ1)=(60-40)2×79+(-30-40)2×29=1400,D(ξ2)=(100-40)2×35+(0-40)2×115+(-60-40)2×13=5600,所以D(ξ1综上所述,建议该投资公司选择项目一进行投资.7.解(1)由题知,X=1,2,3,4,P(X=1)=C1P(X=2)=C8P(X=3)=C8P(X=4)=C82CX1