2025优化设计一轮课时规范练69　直线与椭圆

课时规范练69直线与椭圆一、基础巩固练1.直线y=x+1与椭圆x2+y22=1的位置关系是(A.相离 B.相切C.相交 D.无法确定2.已知直线y=-x+1与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,A.223 B.423 C.23.(2024·吉林长春模拟)已知椭圆x216+y29A.8x-6y-7=0 B.3x+4y=0C.3x+4y-12=0 D.6x+8y-25=04.已知椭圆x22+y2=1与直线y=x+m交于A,B两点,且|AB|=423,则实数A.±1 B.±12 C.2 D.±5.(2024·辽宁辽阳模拟)已知直线y=-12x+2与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A,BA.32 B.12 C.34 6.(2023·新高考Ⅱ,5)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=(A.23 B.23 C.-23 D7.已知椭圆x29+y2=1,过左焦点F作倾斜角为π6的直线交椭圆于A,B两点,则弦AB的长为8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F的直线与椭圆交于A,B两点.若AB的中点为P19.(2024·河南郑州模拟)直线l:x+y-1=0与椭圆C:x24+y22=1交于A,B两点,椭圆的右顶点为P,则10.已知椭圆C:x2a2+y2b2(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C的右焦点且倾斜角为135°的直线l交椭圆C于M,N两点,求|MN|的值.二、综合提升练11.(2024·江西九江模拟)已知直线l1:y=2x+2过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,与C交于A,B两点,与l1平行的直线l2与C交于M,N两点.若AB的中点为P,MN的中点为Q,且PQA.x24+y23=1C.x29+y28=112.椭圆C:ax2+by2=1与直线x+y=1相交于A,B两点,D是AB的中点,O为坐标原点,OD的斜率为12,则椭圆C的离心率为.13.直线x+y-1=0截椭圆x24+y23=1所得弦的中点M14.(2024·广东云浮模拟)已知椭圆E:x2a2+y2b2=(1)求椭圆E的方程;(2)斜率为1的直线l与椭圆E交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为C(-3,2),求△PAB的面积.15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,62),直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为M,(1)求椭圆C的标准方程.(2)当m=1时,椭圆C上是否存在P,Q两点,使得P,Q关于直线l对称?若存在,求出P,Q的坐标;若不存在,请说明理由.

课时规范练69直线与椭圆1.C解析联立y=x+1,x2+y22=1,得3x2+2x-1=0,则Δ=222.B解析由条件知c=1,e=ca=22,所以a=2,b=1,椭圆方程为x2联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1),43,-133.C解析设弦的两个端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1216+y129=1,即(x1-x2)(x1+x2)16=-(y1+y2)(y1-y2)9,易知故以点2,32为中点的弦所在的直线方程为y-32=-整理得3x+4y-12=0.4.A解析由x22+y2=1,y=x+m,消去y并整理,得3设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-4m3,x1x2由题意,得|AB|=2(x1+x5.A解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则x12a2+y12b2=1,x22由题意可得x1+x2=4,y1+y2=2,y1-y2x1-x2=-12,则-4b6.C解析如图所示,椭圆x23+y2=1的左、右焦点分别为F1(-2,0),F2(设点F1,F2到直线y=x+m的距离分别为d1,d2,由点到直线的距离公式可知d1=|-2+m|2由x23+y2=1,y=x+m,消去y可得4∵y=x+m与椭圆C交于A,B两点,∴Δ=36m2-16(3m2-3)>0,即-2<m<2.∵△F1AB的面积是△F2AB的两倍,∴有12·|AB|·d1=2×12·|AB|·d2,即d1=2d2,两边平方整理,得3m2+102m+6=0,解得m=-23或m=-3又-2<m<2,∴m=-23.故选7.2解析在椭圆x29+y2=1中,a=3,b=1,则c=a2-b2=22,故点F设点A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知,直线AB的方程为y=33(x+22),即x=3y-22联立x=3y-22,x2+9y2=9,可得12y2-46y-1=0,Δ=16×6+4×12=144>0,则所以|AB|=1+3·(y1+y8.2x29+4y29=1解析∵12c-1=1,∴c=32.令则x12a2+∴(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)9.103解析联立x24+y22=1,x+y-1=0,得3x2-4x-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y所以|AB|=1+1易知点P(2,0),故点P到直线l:x+y-1=0的距离d=|所以△ABP的面积S=12|AB|·d=10.解(1)由题得1解得a∴椭圆C的标准方程为x24+(2)由(1)知椭圆C的右焦点坐标为(1,0).又直线l的斜率k=-1,∴直线l的方程为x+y-1=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),联立x24+y23=1,x+∴x1+x2=87,x1x2=-8∴|MN|=1+k2|x1-x211.C解析设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),易知x1≠x2,则x两式作差得(x1+所以y1-若O为坐标原点,则kOP=-b22a2,同理kOQ=-b22a2,即kOP=kPQ=-b22a2=-49,所以b2a2=89.又l1过点(-1,0),所以C的方程为x29+12.22解析设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),易知x1≠x2,x0y0则ax12+by12=1,ax22+by22=1,两式作差有a(x1-x2)(x1+x又x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,kOD=y0x0,∴ax0by0∴椭圆C的方程为ax2+2ay2=1,且a>0,即x21a设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a1,b1,则a1故椭圆C的离心率e=113.34解析设直线x+y-1=0与椭圆x24+y23=1的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2则Mx1+x22,y1+y22因为A,B在椭圆上,则x124+整理得y12-y22x12-x22=14.解(1)由题意ca=63,9a2+(2)设直线AB的方程为y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2),联立x2+3y2=12,y=x+t,消去y得4x2+6tx+3t2-则x1+x2=-3t2,x1x2=3t2-124,则AB的中点M的横坐标为xM=-依题意知CM⊥AB,即kCM·kAB=-1,即yM-2xM+3×1=t4-2-3t4+3=-1,解得t=2,满足Δ>∴|AB|=1+kAB2·(x1+x2)2-4x∴S△PAB=12|AB|·d=615.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则M(x1即kOM=y1+y2x1+x2=-12.因为A,B在椭圆C上,又kAB=y1-y2x1-x2=1,所以1a又因为椭圆C过点1,62,所以1a2+32b2=1,解得a2=所以椭圆C的标准方程为x24+(2)不存在.理由如下,由题意可知,直线l的方程为y=x+1.假设椭圆C上存在P,Q两点,使得P,Q关于直线l对称,设P(x3,y3),Q(x4,y4),PQ的中点为N(x0,y0),所以