2025优化设计一轮课时规范练62　空间几何体的外接球

课时规范练62空间几何体的外接球一、基础巩固练1.(2020·天津,5)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12π B.24π C.36π D.144π2.已知正三棱锥P-ABC的侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,则其外接球的表面积为()A.3a2π B.3a2πC.12a2π D.43a2π3.(2024·湖南长郡中学月考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面的半径分别为4和5,则该圆台的体积为()A.61π B.62π C.63π D.64π4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=1,∠ABC=90°,AA1=2,则此三棱柱外接球的表面积为()A.5π B.6π C.7π D.8π5.(2024·浙江余姚模拟)在正四棱锥S-ABCD中,底面是边长为2的正方形,侧面是腰长为6的等腰三角形,则正四棱锥S-ABCD的外接球的体积为()A.27π2 B.9C.9π2 D.6.(2024·江西南昌模拟)在三棱锥P-ABC中,已知PA=BC=213,AC=BP=41,CP=AB=61,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为()A.77π B.64π C.108π D.72π7.(2021·天津,6)两个圆锥的底面是一个球的同一截面,顶点均在球面上,若球的体积为32π3,两个圆锥的高之比为1∶3,则这两个圆锥的体积之和为(A.3π B.4π C.9π D.12π8.已知三棱锥M-ABC的四个顶点均在表面积为32π的球面上,AB=BC=22,AC=4,则三棱锥M-ABC的体积的最大值为()A.82 B.4+42C.8+823 D9.正方体的表面积为96,则正方体外接球的表面积为.

10.(2024·陕西汉中模拟)中国古代数学著作《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.在如图所示的堑堵ABC-A1B1C1中,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,则堑堵ABC-A1B1C1的外接球的体积是.

11.已知矩形ABCD的边长分别为1,3,沿对角线AC折起,使四个顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为.

二、综合提升练12.已知一个正六棱锥的所有顶点都在一个球的表面上,六棱锥的底面边长为1,侧棱长为2,则球的表面积为()A.4π3 B.8π3 C.16π13.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在球O的球面上,若正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为6,底面积为3,则球O的表面积为()A.19π3 B.7π3 C.2π 14.已知正三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上,其侧棱与底面所成角为π3,且PA=23,则球O的表面积为.

课时规范练62空间几何体的外接球1.C解析∵2R=(23×2)2+(23)2=6,∴2.A解析因为正三棱锥P-ABC的侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=a,如图,将正三棱锥放到棱长为a的正方体中,则正三棱锥的外接球即为正方体的外接球,故正方体的外接球的半径R=a2+a2+a22=3a2,所以外接球的表面积S=4πR2=43.A解析由题可得,该球的半径为5.因为圆台的下底面半径为5,所以圆台的高为52-42=3,所以圆台的体积为13π×(42+4×5+524.B解析因为AB=BC=1,∠ABC=90°,AA1=2,所以将直三棱柱补为长、宽、高分别为1,1,2的长方体,故其体对角线为直三棱柱外接球的直径,直径长度为1+1+4=6,所以直三棱柱外接球的半径为62,则此三棱柱外接球的表面积为4π×(62)25.C解析如图所示,设外接球的球心为O,半径为R,底面中心为E,连接SE,BO,BE.因为在正四棱锥S-ABCD中,底面是边长为2的正方形,侧面是腰长为6的等腰三角形,所以BE=2,SE=SB2-在Rt△OBE中,R2=OE2+BE2,即R2=(2-R)2+(2)2,解得R=32,所以外接球的体积V=43πR6.A解析因为三棱锥的对棱相等,所以可以把它看成长方体的面对角线构成的几何体,设长方体的同一顶点三条棱长分别为a,b,c,且长方体的面对角线长为213,则a因为长方体体对角线为长方体外接球直径,即为三棱锥外接球的直径,则2R=a2+b2所以球的表面积为4πR2=77π.7.B解析如图所示,设两个圆锥的底面圆圆心为点D,因为两个圆锥的高之比为3∶1,则AD=3BD.设球的半径为R,则4πR33=32π3,所以BD=1,AD=3.因为CD⊥AB,则∠CAD+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°,所以∠CAD=∠BCD.又因为∠ADC=∠BDC,所以△ACD∽△CBD,所以ADCD=CDBD,故这两个圆锥的体积之和为13π×CD2·(AD+BD)=13π×38.C解析根据题意知,△ABC是一个直角三角形,其面积为4,其外接圆的圆心在斜边AC的中点上,设外接圆的圆心为Q,当MQ与平面ABC垂直时,三棱锥M-ABC的体积最大.设球心为O,半径为R,4πR2=32π,得R=22,点O到平面ABC的距离为(22所以三棱锥M-ABC体积的最大值为13×12×22×22×(2+29.48π解析设正方体的棱长为a,因为正方体的表面积为96,可得6a2=96,解得a=4,则正方体的体对角线长为42+42+42=43.设正方体的外接球的半径为R,可得2R=所以外接球的表面积为S=4πR2=4π×(23)2=48π.10.1252π3解析将该堑堵补充为一个长方体,如图设长方体的体对角线为d,则d2=32+42+52=50,所以d=52,即外接球的直径为52,所以外接球的体积为43πR311.4π解析将长方形ABCD沿对角线AC折起,使顶点A,B,C,D落在同一个球面上,取AC中点O,则OA=OB=OC=OD,故该球的半径为R=OA=12AC=12所以该球的表面积为S=4πR2=4π.12.C解析如图,正六棱锥P-ABCDEF,G为正六边形ABCDEF的中心,连接PG,则PG⊥平面ABCDEF,外接球的球心O在PG上.因为AG⊂平面ABCDEF,所以PG⊥AG.由题意可知,AG=1,PA=2,所以PG=P设外接球的半径为R,则OA=OP=R,所以OG=3-R,在Rt△GOA中,OA2=AG2+OG2,所以R2=12+(3-R)2,解得R=23所以球的表面积为4πR2=4π×(23)2=13.A解析由正三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,设其高为h,AC=BC=AB=a.因为正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为6,底面积为3,可得3a×h=6,且34a2=3,解得a=2,h=1.设△ABC的外接圆半径为r,则2r=2sinπ3,解得r=233.设球O的半径为R,则R2=r2所以球O的表面积为4π×14.16π解析如图,正