2025优化设计一轮课时规范练25　在导数应用中如何构造函数

课时规范练25在导数应用中如何构造函数一、基础巩固练1.(2024·重庆江北高三模拟)若函数y=f(x)满足xf'(x)>-f(x)在R上恒成立,且a>b,则()A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b)C.af(a)<bf(b) D.af(b)<bf(a)2.(2024·云南昆明高三期中)设a=1e,b=ln33,c=e-2+ln2,设a,b,c的大小关系为(A.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a3.(2024·福建宁德模拟)已知a=ln22,b=1e(e=2.718…为自然对数的底数),c=2ln39,则a,b,cA.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.b>c>a4.(2024·甘肃兰州期末)已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R,都有f'(x)<f(x)成立,则()A.ef(2)<f(3) B.ef(2)≤f(3)C.ef(2)>f(3) D.f(2)<e2f(3)5.(2024·山东威海期中)已知定义在R上的函数f(x)满足xf'(x)-f(x)>0,且f(1)=2,则f(ex)>2ex的解集为()A.(0,+∞) B.(ln2,+∞)C.(1,+∞) D.(0,1)6.(多选题)(2024·河北邯郸联考)已知a>0,b∈R,e是自然对数的底数,若b+eb=a+lna,则a-b的值可以是()A.-1 B.1 C.2 D.37.(多选题)(2023·河北沧州高二校考阶段练习)下列不等关系成立的有()A.6ln5>5ln6 B.5e5<4e6C.ln1.1<0.1 D.e0.1<1.18.(2024·四川眉山高三期中)设函数f(x)的导函数为f'(x),f(0)=1且3f(x)=f'(x)-3,则4f(x)>f'(x)的解集是.

9.(2024·云南曲靖高三模拟)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且满足f'(x)>f(x)在R上恒成立,则不等式f(2x-1)-e3x-2f(1-x)>0的解集是(用区间表示).

二、综合提升练10.(2023·河南郑州模拟)若3a+log3a=9b+3log27b,则下列结论正确的是()A.a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a<b211.(2024·陕西咸阳高三联考)已知函数f(x)=exx-ax,当x2>x1>0时,不等式f(x1)A.(-∞,e) B.(-∞,e]C.(-∞,e2) D.(-∞,12.(2024·黑龙江大庆模拟)设a=1.7,b=tan1.1,c=2ln2.1,则()A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.b<a<c13.(多选题)(2024·海南海口模拟)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x),且2f(x)+f'(x)=x,f(0)=-14,则(A.f(-1)>-2B.f(1)>-1C.f(x)在(-∞,0)内是减函数D.f(x)在(0,+∞)内是增函数14.(2024·四川泸州期末)已知正数x,y满足xlnx+xlny=ey,则xy-3y的最小值为()A.13ln3 B.3-C.-13ln3 D.3+15.(2024·山东潍坊高三期末)定义在(0,+∞)内的函数f(x)的导函数为f'(x),当x>0时,xf'(x)<1,且f(e)=3,则不等式f(x2)-2lnx<2的解集为.

16.(2024·浙江宁波高三模拟)若对任意的x1,x2∈[1,π2],x1<x2,x2sinx1-

课时规范练25在导数应用中如何构造函数1.B解析由xf'(x)>-f(x),设g(x)=xf(x),则g'(x)=xf'(x)+f(x)>0,所以g(x)在R上是增函数,又因为a>b,所以g(a)>g(b),即af(a)>bf(b),故选B.2.A解析构造函数f(x)=xex,则f'(x)=1-xex,当x>1时,f'(x)<0,函数f(x)=xex在[1,+∞)内为减函数,而a=1e=f(1),b=ln33=ln3eln3=f(ln3),c=e-2+ln2=2e2=f(2),又因为1<ln3<3.C解析设f(x)=lnxx,所以f'(x)=1-lnxx2(x>0),当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)=lnxx单调递增;当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)=lnxx单调递减.因为a=ln22=2ln24=ln44=f(4),b=1e4.C解析由已知得f'(x)-f(x)<0,设g(x)=f(x)ex,则g'(x)=f'(x)-f(x)ex<0,所以g(x)在R上单调递减,所以5.A解析设g(x)=f(x)x,x>0,因为xf'(x)-f(x)>0,所以g'(x)=xf'(x)-f(x)x2>0,所以g(x)在(0,+∞)内单调递增,因为f(1)=2,所以g(1)=f(1)1=2,由f(ex)>2ex,且ex>0得f(ex)ex>2,则g(ex)=f(ex)ex>2=g(1),所以e6.BCD解析设函数f(x)=x+ex,则f(x)在R上单调递增,所以f(b)-f(lna)=b+eb-(lna+elna)=a+lna-(lna+a)=0,所以b=lna,即a=eb,所以a-b=eb-b,令g(x)=ex-x,则g'(x)=ex-1,当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)≥g(0)=1,从而a-b≥1,结合选项,选项BCD符合题意,故选BCD.7.ABC解析对于A,∵15625=56>65=7776,∴ln56>ln65,因此6ln5>5ln6,故A正确;对于B,∵5<4e,∴5e5<4e6,故B正确;对于C,令函数f(x)=lnx-x+1(x>1),f'(x)=1x-1=1-xx<0,故f(x)在(1,+∞)内单调递减,∴f(1.1)<f(1)=0,即ln1.1<0.1,故C正确;对于D,令函数g(x)=ex-x-1(1>x>0),g'(x)=ex-1>0,故g(x)在(0,1)内单调递增,∴g(0.1)>g(0)=0,即e0.1>1.1,故D错误8.(ln23,+∞)解析令g(x)=f(x)+1e3x,因为f(0)=1,故g(0)=f(0)+1e0=2,所以g'(x)=f'(x)e3x-3(f(x)+1)e3x(e3x)2=f'(x)-3f(x)-3e3x=0,所以g(x)为常数函数,则9.(23,+∞)解析令g(x)=f(x)ex,则g'(x)=f'(x)-f(x)ex>0,所以g(x)在R上单调递增,由f(2x-1)-e3x-2·f(1-x)>0,两端同除以e2x-1,并移项得f(2x-1)e2x-1>f(1-x)e1-x,即g(2x-1)>g(1-x),又因为g(x)在R上单调递增10.B解析设f(x)=3x+log3x,易知f(x)在(0,+∞)内单调递增,∵3a+log3a=9b+3log27b=32b+log3b,∴f(2b)=32b+log3(2b)>32b+log3b=3a+log3a=f(a),∴2b>a,故A错误,B正确;又f(a)-f(b2)=3a+log3a-(3b2+log3b2)=32b+log3b-(3b2+log3b2)=32b-3b2-log3b,当b=1时,f(a)-f(b2)=6>0,此时f(a)>f(b2),有a>b2,当b=2时,f(a)-f(b2)=-log32<0,此时f(a)<f(b2),有a<b2,所以11.D解析因为当x2>x1>0时,不等式f(x1)x2−f(x2)x1<0恒成立,所以f(x1)x2<f(x2)x1,即x1f(x1)<x2f(x2).令g(x)=xf(x)=ex-ax2,则g(x1)<g(x2),又因为x1<x2,所以g(x)在(0,+∞)内单调递增,所以g'(x)=ex-2ax≥0在(0,+∞)内恒成立,分离参数得2a≤exx恒成立,令h(x)=exx(x>0),则只需2a≤h(x)min,而h'(x)=ex·x-1x2,令h'(x)>0,得x>1,令h'(x)<0,得0<x<1,12.C解析因为y=tanx在(0,π2)内单调递增,所以b=tan1.1>tanπ3=3>1.7=a,所以b>a.令f(x)=ex-ex,则f'(x)=ex-e,当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)在(1,+∞)内单调递增,则f(1.7)=e1.7-1.7e>f(1)=0,则e1.7>1.7e>1.7×2.7=4.59>4.41=2.12,因此1.7>ln2.12=2ln2.1,即a>c,故c<a<b13.ABD解析令g(x)=e2xf(x),可得g'(x)=e2x[2f(x)+f'(x)],因为2f(x)+f'(x)=x,所以g'(x)=e2xx,当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减.又因为f(0)=-14,可得g(0)=e0f(0)=-14,由g(-1)>g(0),即e-2f(-1)>-14,可得f(-1)>-14e2>-2,又由g(1)>g(0),即e2f(1)>-14,可得f(1)>-14e2>-1,因为g(x)=e2xf(x),可得f(x)=g(x)e2x,可得f'(x)=g'(x)-2g(x)e2x,设h(x)=g'(x)-2g(x),可得h'(x)=(所以函数h(x)为增函数,又因为h(0)=g'(0)-2g(0)=-e0f(0)=14>0,所以f'(x)>所以f(x)在(0,+∞)内是增函数,所以D正确.故选ABD.14.B解析因为xlnx+xlny=ey,即xln(xy)=ey,所以(xy)ln(xy)=yey,所以ln(xy)eln(xy)=yey.令g(x)=xex(x>0),则g'(x)=(x+1)ex>0,所以g(x)=xex在(0,+∞)内单调递增,所以ln(xy)=y,即xy=ey,所以xy-3y=ey-3y,令f(x)=ex-3x(x>0),则f'(x)=ex-3,令f'(x)=ex-3>0,解得x>ln3;令f'(x)=ex-3<0,解得0<x<ln3.所以f(x)=ex-3x在(0,ln3)内单调递减,在(ln3,+∞)内单调递增,所以f(x)min=eln3-3×ln3=3-3ln3,即xy-3y的最小值为3-3ln3,故选B.15.(e,+∞)解析构造函数g(x)=f(x)-lnx(x>0),则g'(x)=f'(x)-1x=xf'(x)-1x<0,所以g(x)在(0,+∞)内单调递减,由f(x2)-2lnx<2,得f(x2)-lnx2<f(e)-lne,即g(x2)<g(e),所以x2>e,x>0,解得x>e,所以不等式f(x216.cos1-sin