人教A版选择性必修532时函数的极值课件-4

5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值新课程标准学业水平要求1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.3.体会导数与单调性、极值的关系.1.了解函数的极值及相关的概念.(数学抽象)2.能利用导数求某些函数的极值.(数学运算)3.体会导数在求极值中的应用.(数学运算)4.能利用导数研究与函数极值等相关的问题.(数学运算)

基础认知·自主学习【导学素材】已知y=f(x)的图象(如图).【问题1】函数y=f(x)在b,c,d,e点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?【问题2】y=f(x)在b,c,d,e点的导数值是多少?【问题3】在b,c,d,e点附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律?

1.极值点与极值(1)极小值点与极小值定义:若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,就把__叫做函数y=f(x)的极小值点,____叫做函数y=f(x)的极小值.对于可导函数y=f(x),上述定义等价于:若f'(a)=0,且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则a是函数y=f(x)的极小值点,f(a)是函数y=f(x)的极小值.af(a)(2)极大值点与极大值定义:若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,就把__叫做函数y=f(x)的极大值点,____叫做函数y=f(x)的极大值.对于可导函数y=f(x),上述定义等价于:若f'(b)___,且在点x=b附近的左侧f'(x)___,右侧f'(x)___,则b是函数y=f(x)的极大值点,f(b)是函数y=f(x)的极大值.2.极值点、极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点.(2)极小值、极大值统称为极值.bf(b)=0>0<0【解透教材】1.对极值概念的理解(1)函数的极值是一个局部概念,是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或是最小的.(2)在定义域的某个区间内极大值或极小值并不唯一,也可能不存在,并且极大值与极小值之间无确定的大小关系.2.极值与极值点辨析(1)极值点是指自变量x的值,即横坐标,极值是指函数值y,即纵坐标.(2)极值点一定在区间的内部,端点不可能为极值点.

【思考与交流】(1)函数y=|x|在x=0处是否取得极值?可导吗?提示:由图象易知,在x=0处,y=|x|取得极小值;x=0是一个“尖点”,不可导.(2)函数的极小值唯一吗?提示:不一定,有的函数无极小值,有的函数有唯一一个极小值,有的函数有多个极小值.(3)函数的极大值一定大于它的极小值吗?提示:不一定.(4)导数值为0的点一定是函数的极值点吗?提示:不一定.例如对于函数f(x)=x3,虽有f'(0)=0,但x=0并不是f(x)=x3的极值点,要使导数为0的点成为极值点,还必须满足其他条件.

2.(教材练习改编)函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)(

)A.无极大值点,有四个极小值点B.有三个极大值点,两个极小值点C.有两个极大值点,两个极小值点D.有四个极大值点,无极小值点

【解析】选C.由导数与函数极值的关系知,当f'(x0)=0时,在x0的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x)在x=x0处取得极大值;若在x0的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x)在x=x0处取得极小值,设y=f'(x)图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1,x2,x3,x4,则f(x)在x=x1,x=x3处取得极大值,在x=x2,x=x4处取得极小值.

4.已知函数f(x)在x=x0处连续,下列命题中正确的是 (

)A.导数为零的点一定是极值点B.如果在x=x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值C.如果在x=x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极小值D.如果在x=x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极大值【解析】选B.导数为零的点不一定是极值点,还要满足导函数在这一点的左侧与右侧的函数值异号,故A错误;根据极值的概念,在x=x0附近的左侧f'(x)>0,函数单调递增;在x=x0附近的右侧f'(x)<0,函数单调递减,所以f(x0)为极大值,故B正确,C,D错误.

能力形成·合作探究

4.函数f(x)=(x2-3x+3)ex的极大值与极小值之和为 (

)A.e B.3 C.3-e D.3+e【解析】选D.根据题意得f'(x)=(x2-x)ex,令f'(x)=0,则x=0或1,当x<0或x>1时,f'(x)>0,当0<x<1时,f'(x)<0,所以f(x)极小值=f(1)=e,f(x)极大值=f(0)=3,所以极大值与极小值之和为3+e.【解题策略】求可导函数f(x)极值的步骤(1)定义域:求函数的定义域;(2)求导:求函数的导数f'(x);(3)令f'(x)=0:求出方程f'(x)=0全部的根x0,即导函数f'(x)的零点;(4)列表:方程的根x0将整个定义域分成若干个区间,把x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内;(5)结论:若导数f'(x)在x0附近左正右负,则函数f(x)在x0处取得极大值;若左负右正,则函数f(x)取得极小值.【加固训练】当x=1时,三次函数有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数过原点,则此函数是(

)A.y=x3+6x2+9x

B.y=x3-6x2+9x

C.y=x3-6x2-9x

D.y=x3+6x2-9x

2.函数f(x)=x3-3x2+1的极小值点为________.

【解析】由f'(x)=3x2-6x=0,解得x=0或x=2.列表:所以当x=2时,f(x)取得极小值.答案:2x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

【解题策略】讨论f(x)极值点的策略可导函数f(x)的极值点,一定是方程f'(x)=0的根(即导函数f'(x)的零点),反之不成立.对于导函数f'(x)的零点,可采用f'(x)的图象、解方程f'(x)=0、零点存在定理等方法寻找.

类型三

函数极值的综合应用(数学运算、逻辑推理)【典例】若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a=________,b=________