新疆兵团第二师华山中学高二下学期期中考试数学（理）试题

20172018学年第二学期高二年级期中考试理科数学试卷（考试时间：120分钟，满分：150分）命题教师：袁青选择题（每题5分，共60分）1.设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0},集合B＝{x|1＜x＜3},则A∪B＝()A．{x|－1＜x＜3}B．{x|－1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2.若复数z满足eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，其中为的共轭复数，则z＝()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i3.命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x02<0D．∃x0∈R，|x0|＋x02≥0执行如图所示的程序框图，则输出的结果是()A．5040B．4850C．2450D．25505.设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋log22－x，x＜1，,2x－1，x≥1，))则f(－2)＋f(log212)＝()A.3B.6C.96.为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点()A.向左平行移动eq\f(π,3)个单位长度B.向右平行移动eq\f(π,3)个单位长度C.向左平行移动eq\f(π,6)个单位长度D.向右平行移动eq\f(π,6)个单位长度7.已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝eq\f(1,3).若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A.4B.－4C.eq\f(9,4)D.－eq\f(9,4)8.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种9.已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．212 B．211C．210 D．2910.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π＋4D.3π＋411.已知则不等式的解集为（） B．211 D．2912.在三棱锥PABC中，AB=BC=CP=1，平面PBC和平面ABC所成角为则三棱锥PABC外接球的体积为（）填空题（每题5分，共20分）13.设随机变量且则___．若则________．15.已知定点Q(2，－1)，F为抛物线y2＝4x的焦点，动点P为抛物线上任意一点，当|PQ|＋|PF|取最小值时，P的坐标为________．16.已知函数则函数在上的所有零点之和为________．解答题（17,18,19，20,21每题各12分，22,23每题10分）17.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．18.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，且平面，，与底面所成角为.（=1\*ROMANI）证明：平面平面；（=2\*ROMANII）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.19.某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20，25)，第2组[25，30)、第3组[30，35)、第4组[35，40)、第5组[40，45)，得到的频率分布直方图如图所示.(1)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动,应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率；(3)在(2)的条件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望.20.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(3),2),左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：eq\f(x2,4a2)＋eq\f(y2,4b2)＝1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(ⅰ)求eq\f(|OQ|,|OP|)的值；(ⅱ)求△ABQ面积的最大值.21.设(1)若恒成立，求正实数a的取值范围；(2)设且A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是曲线y＝g(x)上任意两点，若对任意的a≤－1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围．请从第22,23题中选一题作答。22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线的参数方程为.（1）若a=1，求C与的交点坐标；（2）若C上的点到的距离的最大值为，求a.23.已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)＜|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围.

高二理科数学期中考试参考答案选择题15AACCC610DBBDD1112BA填空题13.0.314.15.16.三.解答题17.(1)等比数列{bn}的公比q＝eq\f(b3,b2)＝eq\f(9,3)＝3，所以b1＝eq\f(b2,q)＝1，b4＝b3q＝27.∴bn＝3n－1..............................................................................3分设等差数列{an}的公差为d.因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.所以an＝2n－1(n＝1，2，3，…)．.......................................................................................6分(2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.从而数列{cn}的前n项和Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝eq\f(n（1＋2n－1）,2)＋eq\f(1－3n,1－3)＝n2＋eq\f(3n－1,2)...............12分18.【解析】（=1\*ROMANI）底面是平行四边形，且,又平面，，面…平面平面.....................................................................................................5分（=2\*ROMANII）平面，与底面所成角为在中，在中，，故，设与相交于点，取的中点，连结，则平面，平面以分别为轴方向建立空间直角坐标系，...............................................7分，,，，设平面的法向量由得，取，则故平面的一个法向量为............................9分由得，取，则平面的一个法向量...................................................................................11分设平面与平面所成二面角为，且因为为锐角.，即平面与平面所成二面角的余弦值为....................................12分19.解(1)由题意可知，第3组的人数为0.06×5×1000＝300，第4组的人数为0.04×5×1000＝200，第5组的人数为0.02×5×1000＝100，第3、4、5组共600名志愿者，故由分层抽样的特点可知每组抽取的人数为：第3组eq\f(12,600)×300＝6，第4组eq\f(12,600)×200＝4，第5组eq\f(12,600)×100＝2，所以第3、4、5组分别抽取6人，4人，2人................................................................................4分(2)从12名志愿者中抽取3名共有Ceq\o\al(3,12)＝220种可能，第4组至少有一位志愿者被抽中有Ceq\o\al(3,12)－Ceq\o\al(3,8)＝164种可能，所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为P＝eq\f(164,220)＝eq\f(41,55).............................................8分(3)ξ的可能取值为：0,1,2,3,且P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,6)Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(20,220)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(90,220)，p(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(90,220)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(0,6),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(20,220).所以ξ的分布列为ξ0123Peq\f(20,220)eq\f(90,220)eq\f(90,220)eq\f(20,220)E(ξ)＝0×eq\f(20,220)＋1×eq\f(90,220)＋2×eq\f(90,220)＋3×eq\f(20,220)＝eq\f(33,22)...........................................................................................12分20..解(1)由题意知2a＝4,则a＝2,又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2),a2－c2＝b2,可得b＝1,所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1...........................................................................................5分(2)由(1)知椭圆E的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.(ⅰ)设P(x0,y0),eq\f(|OQ|,|OP|)＝λ,由题意知Q(－λx0,－λy0).因为eq\f(xeq\o\al(2,0),4)＋yeq\o\al(2,0)＝1,又eq\f(（－λx0）2,16)＋eq\f(（－λy0）2,4)＝1,即eq\f(λ2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0),4)＋yeq\o\al(2,0)))＝1,所以λ＝2,即eq\f(|OQ|,|OP|)＝2..............................................7分(ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).将y＝kx＋m代入椭圆E的方程,可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2由Δ＞0,可得m2＜4＋16k2,①则有x1＋x2＝－eq\f(8km,1＋4k2),x1x2＝eq\f(4m2－16,1＋4k2).所以|x1－x2|＝eq\f(4\r(16k2＋4－m2),1＋4k2).因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB的面积S＝eq\f(1,2)|m||x1－x2|＝eq\f(2\r(16k2＋4－m2)|m|,1＋4k2)＝eq\f(2\r(（16k2＋4－m2）m2),1＋4k2)＝2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(m2,1＋4k2)))\f(m2,1＋4k2)).设eq\f(m2,1＋4k2)＝t,将y＝kx＋m代入椭圆C的方程,可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0,由Δ≥0,可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0＜t≤1,因此S＝2eq\r(（4－t）t)＝2eq\r(－t2＋4t),故S≤2eq\r(3),当且仅当t＝1,即m2＝1＋4k2时取得最大值2eq\r(3).由(ⅰ)知,△ABQ面积为3S,所在△ABQ面积的最大值为6eq\r(3)...................................................12分21.(1)因为f(x)＝ex－a(x＋1)，所以f′(x)＝ex－a.由题意，知a>0，故由f′(x)＝ex－a＝0，解得x＝lna.故当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的最小值为f(lna)＝elna－a(lna＋1)＝－alna...........................................................3分由题意，若∀x∈R，f(x)≥0恒成立，即f(x)＝ex－a(x＋1)≥0恒成立，故有－alna≥0，又a>0，所以lna≤0，解得0<a≤1.所以正实数a的取值范围为(0，1]．...........................................................................................5分(2)设x1，x2是任意的两个实数，且x1<x2.则直线AB的斜率为k＝eq\f(g（x2）－g（x1）,x2－x1)，由已知k>m，即eq\f(g（x2）－g（x1）,x2－x1)>m.因为x2－x1>0，所以g(x2)－g(x1)>m(x2－x1)，即g(x2)－mx2>g(x1)－mx1，因为x1<x2，所以函数h(x)＝g(x)－mx在R上为增函数，故有h′(x)＝g′(x)－m≥0恒成立，所以m≤g′(x)．而g′(x)＝ex－a－eq\f(a,ex)，又a≤－1<0，故g′(x)＝ex＋eq\f(（－a）,ex)－a≥2eq\r(ex×\f(（－a）,ex))－a＝2eq\r(－a)－a.而2eq\r(－a)－a＝2eq\r(－a)＋(eq\r(－a))2＝(eq\r(－a)＋1)2－1≥3，所以m的取值范围为(－∞，3]．.......................................................................................12分22.【解析】（