高中数学必修1阶段质量检测（三）函数的应用

阶段质量检测（三）函数的应用(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值()A．大于0 B．小于0C．无法判断 D．等于0解析：选C由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．2．函数f(x)＝lg|x|的零点是()A．(1,0) B．(1,0)和(－1,0)C．1 D．1和－1解析：选D由f(x)＝0，得lg|x|＝0，所以|x|＝1，x＝±1.故选D.3．函数f(x)＝x2＋x＋b的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．以上均有可能解析：选D因为Δ＝1－4b的符号不定，可正、可负、可为零，故D正确．4．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：选B因为f(－1)＝eq\f(1,2)－3＜0，f(0)＝1＞0，所以f(x)在区间(－1,0)上存在零点．5．以半径为R的半圆上任意一点P为顶点，直径AB为底边的△PAB的面积S与高PD＝x的函数关系式是()A．S＝Rx B．S＝2Rx(x＞0)C．S＝Rx(0＜x≤R) D．S＝πR2解析：选CS△PAB＝eq\f(1,2)·AB·PD＝Rx，又0＜PD≤R，∴S＝Rx(0＜x≤R)．6．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是()解析：选C把y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度后，只有选项C中图象与x轴无交点．7．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是()A．[5,6) B．(5,6]C．[6,7) D．(6,7]解析：选B若按x千米(x∈Z)计价，则6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6.故实际行程应属于区间(5,6]．8．在物价飞速上涨的今天，某商品2015年零售价比2014年上涨25%，欲控制2016年比2014年只上涨10%，则2016年应比2015年降价()A．15% B．12%C．10% D．8%解析：选B设2016年应比2015年降价x%，则(1＋25%)(1－x%)＝1＋10%，解得x＝12.9．设函数f(x)＝lnx－eq\f(1,2)x2＋1(x＞0)，则函数y＝f(x)()A．在区间(0,1)，(1,2)内均有零点B．在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点C．在区间(0,1)，(1,2)内均无零点D．在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点解析：选Afeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝lneq\f(1,e)－eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＋1＜0，f(1)＝ln1－eq\f(1,2)＋1＞0，f(2)＝ln2－2＋1＜0，故选A.10．若函数f(x)唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))内，则与f(0)符号相同的是()A．f(4) B．f(2)C．f(1) D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))解析：选C由函数零点的判断方法可知，f(2)，f(4)与f(0)符号相反，f(1)与f(2)符号相反，故f(1)与f(0)符号相同，故选C.11．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是()A．2x>x>lgx B．2x>lgx>xC．x>2x>lgx D．lgx>x>2x解析：选A结合y＝2x，y＝x及y＝lgx的图象易知，当x∈(0,1)时，2x>x>lgx.12．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0<x1<x0，则f(x1)的值为()A．恒为正值 B．等于0C．恒为负值 D．不大于0解析：选A∵函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x0)＝0，∴当x∈(0，x0)时，均有f(x)>0，而0<x1<x0，∴f(x1)>0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则a＝________.解析：a＝0时，f(x)只有一个零点－1，a≠0时，由Δ＝1＋4a＝0，得a＝－eq\f(1,4).答案：0或－eq\f(1,4)14．若f(x)为R上的奇函数，且1是该函数的一个零点，则f(0)＋f(－1)＝________.解析：由题意可知f(0)＝f(1)＝0.又f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(0)＋f(－1)＝0.答案：015．2015年年底某市人口数达到54.8万，若人口的年平均增长率为x%，设2036年年底人口数为y(万)，那么y与x的函数解析式为________．解析：由题意，2016年年底人口数为54.8(1＋x%)，2017年年底人口数为54.8(1＋x%)2，…，故2036年年底人口数为54.8(1＋x%)21.答案：y＝54.8(1＋x%)2116．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.解析：∵2<a<3<b<4，∴f(2)＝loga2＋2－b<1＋2－b＝3－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>1＋3－b＝4－b>0，即f(2)·f(3)<0，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴函数f(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点x0，且x0∈(2,3)，∴n＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3,2.(1)求f(x)；(2)当函数f(x)的定义域为[0,1]时，求其值域．解：(1)因为f(x)的两个零点分别是－3,2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－3＝0，,f2＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9a－3b－8－a－ab＝0，,4a＋2b－8－a－ab＝0，))解得a＝－3，b＝5，f(x)＝－3x2－3x＋18.(2)由(1)知f(x)＝－3x2－3x＋18的对称轴x＝－eq\f(1,2)，函数开口向下，所以f(x)在[0,1]上为减函数，f(x)的最大值f(0)＝18，最小值f(1)＝12，所以值域为[12,18]．18．(本小题满分12分)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.(1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比－1大．解：(1)f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.(2)由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,－m＞－1，,f－1＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m－4＞0，,m＜1，,1－2m＋3m＋4＞0.))∴－5＜m＜－1，∴m的取值范围为(－5，－1)．19．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？解：(1)由题意知y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.15x，0≤x≤10，,1.5＋2log5x－9，x＞10.))(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，即log5(x－9)＝2，∴x－9＝52，解得x＝34.所以老江的销售利润是34万元．20．(本小题满分12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－eq\f(1,2)，求满足f(logx)≥0的x的取值集合．解：∵－eq\f(1,2)是函数的一个零点，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0.∵y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上递增，∴当logx≤0，即x≥1时，若f(logx)≥0，则logx≥－eq\f(1,2)，解得x≤2，即1≤x≤2.由对称性可知，当logx＞0时，eq\f(1,2)≤x＜1.综上所述，x的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).21．(本小题满分12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量am3，只付基本费8元和每户每月定额损耗费c元；若用水量超过am3时，除了付以上的基本费和损耗费外，超过部分每1m3付b元的超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元．该市一个家庭某年第一季度的用水量和支付费用如下表：月份用水量/m3水费/元1992151932233根据上表中的数据，求a，b，c的值．解：设每月用水量为xm3，支付水费为y元，则y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8＋c，0＜x≤a，①,8＋bx－a＋c，x＞a.②))由题意知0≤c≤5，∴8＋c≤13.故用水量15m3,22m3均大于最低限量am3.将x＝15，y＝19和x＝22，y＝33分别代入②中，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(19＝8＋b15－a＋c，,33＝8＋b22－a＋c，))解得b＝2.∴2a＝c＋19.③不妨设1月份用水量也超过最低限量，即9＞a.这时，将x＝9代入②中得9＝8＋2×(9－a)＋c，解得2a＝c＋17，与③矛盾，∴9≤a，则有8＋c＝9，∴c＝1，a＝10.22．(本小题满分12分)小张周末自己驾车旅游，早上8点从家出发，驾车3h后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系式为s(t)＝－5t(t－13)．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60km/h的速度沿原路返回．(1)求这天小张的车所走的路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式；(2)在距离小张家60km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．解：(1)依题意得，当0≤t≤3时，s(t)＝－5t(t－13)，∴s(3)＝－5×3×(3－13)＝150.即小张家距离景点150km，小张的车在景点逗留时间为16－8－3＝5(h)．∴当3<t≤8时，s(t)＝150，小张从景点回家所花时间为eq\f(150,60)＝2.5(h)，故s(10.5)＝2×150＝300.∴当8