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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则的大小为()A. B. C. D.2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a–1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是A. B.C. D.3.已知为定义在上的奇函数,若当时,(为实数),则关于的不等式的解集是()A. B. C. D.4.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案,形若铜钱,寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点,则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是()A. B. C. D.5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的长为()A. B. C. D.6.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值是()A.7 B.5 C.3 D.27.一场考试需要2小时,在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为()A. B. C. D.8.的展开式中,满足的的系数之和为()A. B. C. D.9.某学校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5,30],样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A.56 B.60 C.140 D.12010.将函数的图象先向右平移个单位长度,在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,若函数在上没有零点,则的取值范围是()A. B.C. D.11.点是单位圆上不同的三点,线段与线段交于圆内一点M,若,则的最小值为()A. B. C. D.12.如图,在矩形中的曲线分别是,的一部分,,,在矩形内随机取一点,若此点取自阴影部分的概率为,取自非阴影部分的概率为,则()A. B. C. D.大小关系不能确定二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是______.14.若,i为虚数单位,则正实数的值为______.15.四边形中,,,,,则的最小值是______.16.《九章算术》中记载了“今有共买豕,人出一百,盈一百;人出九十,适足。问人数、豕价各几何?”.其意思是“若干个人合买一头猪,若每人出100,则会剩下100;若每人出90,则不多也不少。问人数、猪价各多少?”.设分别为人数、猪价,则___,___.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图所示的几何体中,,四边形为正方形,四边形为梯形,,,,为中点.(1)证明:;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天,每名员工休假的概率都是,且是否休假互不影响,若一家店铺的员工全部休假,而另一家无人休假,则调剂1人到该店维持营业,否则该店就停业.(1)求发生调剂现象的概率;(2)设营业店铺数为X,求X的分布列和数学期望.19.(12分)设函数,其中是自然对数的底数.(Ⅰ)若在上存在两个极值点,求的取值范围;(Ⅱ)若,函数与函数的图象交于,且线段的中点为,证明:.20.(12分)已知抛物线的焦点为,准线与轴交于点,点在抛物线上,直线与抛物线交于另一点.(1)设直线,的斜率分别为,,求证:常数;(2)①设的内切圆圆心为的半径为,试用表示点的横坐标;②当的内切圆的面积为时,求直线的方程.21.(12分)在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=1,AA1=2,E,F,G分别是棱AA1,AC和A1C1的中点,以为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值;(2)求二面角F-BC1-C的余弦值.22.(10分)已知椭圆的短轴的两个端点分别为、,焦距为.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线与椭圆有两个不同的交点、,设为直线上一点,且直线、的斜率的积为.证明:点在轴上.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
根据椭圆的定义可得,,再利用余弦定理即可得到结论.【详解】由题意,,,又,则,由余弦定理可得.故.故选:C.【点睛】本题考查椭圆的定义,考查余弦定理,考查运算能力,属于基础题.2、B【解析】
依照偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(﹣x)=f(x),且定义域关于原点对称,a﹣1=﹣2a,即可得解.【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称,且f(x)是定义在[a–1,2a]上的偶函数,得a–1=–2a,解得a=,又f(–x)=f(x),∴b=0,∴a+b=.故选B.【点睛】本题考查偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(﹣x)=f(x);奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称,定义域区间两个端点互为相反数.3、A【解析】
先根据奇函数求出m的值,然后结合单调性求解不等式.【详解】据题意,得,得,所以当时,.分析知,函数在上为增函数.又,所以.又,所以,所以,故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质应用,侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.4、C【解析】令圆的半径为1,则,故选C.5、D【解析】
先根据三视图还原几何体是一个四棱锥,根据三视图的数据,计算各棱的长度.【详解】根据三视图可知,几何体是一个四棱锥,如图所示:由三视图知:,所以,所以,所以该几何体的最长棱的长为故选:D【点睛】本题主要考查三视图的应用,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.6、B【解析】
由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件,表示的可行域,如图,由可得,将变形为,平移直线,由图可知当直经过点时,直线在轴上的截距最大,最大值为,故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.7、B【解析】
因为时针经过2小时相当于转了一圈的,且按顺时针转所形成的角为负角,综合以上即可得到本题答案.【详解】因为时针旋转一周为12小时,转过的角度为,按顺时针转所形成的角为负角,所以经过2小时,时针所转过的弧度数为.故选:B【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制,属于基础题.8、B【解析】
,有,,三种情形,用中的系数乘以中的系数,然后相加可得.【详解】当时,的展开式中的系数为.当,时,系数为;当,时,系数为;当,时,系数为;故满足的的系数之和为.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理,掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键.9、C【解析】
试题分析:由题意得,自习时间不少于小时的频率为,故自习时间不少于小时的频率为,故选C.考点:频率分布直方图及其应用.10、A【解析】
根据y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律,求得g(x)的解析式,根据定义域求出的范围,再利用余弦函数的图象和性质,求得ω的取值范围.【详解】函数的图象先向右平移个单位长度,可得的图象,再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象,∴周期,若函数在上没有零点,∴,∴,,解得,又,解得,当k=0时,解,当k=-1时,,可得,.故答案为:A.【点睛】本题考查函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换及零点问题,此类问题通常采用数形结合思想,构建不等关系式,求解可得,属于较难题.11、D【解析】
由题意得,再利用基本不等式即可求解.【详解】将平方得,(当且仅当时等号成立),,的最小值为,故选:D.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用,考查基本不等式的应用,属于中档题.12、B【解析】
先用定积分求得阴影部分一半的面积,再根据几何概型概率公式可求得.【详解】根据题意,阴影部分的面积的一半为:,于是此点取自阴影部分的概率为.又,故.故选B.【点睛】本题考查了几何概型,定积分的计算以及几何意义,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】
该程序的功能为利用循环结构计算并输出变量的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【详解】模拟程序的运行,可得:,,不满足条件,执行循环体,,,不满足条件,执行循环体,,,不满足条件,执行循环体,,,不满足条件,执行循环体,,,此时满足条件,退出循环,输出的值为1.故答案为:1.【点睛】本题考查程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,属于基础题.14、【解析】
利用复数模的运算性质,即可得答案.【详解】由已知可得:,,解得.故答案为:.【点睛】本题考查复数模的运算性质,考查推理能力与计算能力,属于基础题.15、【解析】
在中利用正弦定理得出,进而可知,当时,取最小值,进而计算出结果.【详解】,如图,在中,由正弦定理可得,即,故当时,取到最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查解三角形,同时也考查了常见的三角函数值,考查逻辑推理能力与计算能力,属于中档题.16、10900【解析】
由题意列出方程组,求解即可.【详解】由题意可得,解得.故答案为10900【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法,用消元法来求解即可,属于基础题型.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)【解析】
(1)取的中点,结合三角形中位线和长度关系,为平行四边形,进而得到,根据线面平行判定定理可证得结论;(2)以,,为,,轴建立空间直角坐标系,分别求得两面的法向量,求得法向量夹角的余弦值;根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值;【详解】(1)取的中点,连结,因为为中点,,,所以,,∴为平行四边形,所以,又因为,所以;(2)由题及(1)易知,,两两垂直,所以以,,为,,轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,易知面的法向量为设面的法向量为则可得所以,如图可知二面角为锐角,所以余弦值为【点睛】本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角,正确求解法向量是解题的关键,属于中档题.18、(1)(2)见解析,【解析】
(1)根据题意设出事件,列出概率,运用公式求解;(2)由题得,X的所有可能取值为,根据(1)和变量对应的事件,可得变量对应的概率,即可得分布列和期望值.【详解】(1)记2家小店分别为A,B,A店有i人休假记为事件(,1,2),B店有i人,休假记为事件(,1,2),发生调剂现象的概率为P.则,,.所以.答:发生调剂现象的概率为.(2)依题意,X的所有可能取值为0,1,2.则,,.所以X的分布表为:X012P所以.【点睛】本题是一道考查概率和期望的常考题型.19、(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.【解析】
(Ⅰ)依题意在上存在两个极值点,等价于在有两个不等实根,由参变分类可得,令,利用导数研究的单调性、极值,从而得到参数的取值范围;(Ⅱ)由题解得,,要证成立,只需证:,即:,只需证:,设,即证:,再分别证明,即可;【详解】解:(Ⅰ)由题意可知,,在上存在两个极值点,等价于在有两个不等实根,由可得,,令,则,令,可得,当时,,所以在上单调递减,且当时,单调递增;当时,单调递减;所以是的极大值也是最大值,又当,当大于0趋向与0,要使在有两个根,则,所以的取值范围为;(Ⅱ)由题解得,,要证成立,只需证:即:,只需证:设,即证:要证,只需证:令,则在上为增函数,即成立;要证,只需证明:令,则在上为减函数,,即成立成立,所以成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,利用导数证明不等式,属于难题;20、(1)证明见解析;(2)①;②.【解析】
(1)设过的直线交抛物线于,,联立,利用直线的斜率公式和韦达定理表示出,化简即可;(2)由(1)知点在轴上,故,设出直线方程,求出交点坐标,因为内心到三角形各边的距离相等且均为内切圆半径,列出方程组求解即可.【详解】(1)设过的直线交抛物线于,,联立方程组,得:.于是,有:,又,;(2)①由(1)知点在轴上,故,联立的直线方程:.,又点在抛物线上,得,又,;②由题得,(解法一)所以直线的方程为(解法二)设内切圆半径为,则.设直线的斜率为,则:直线的方程为:代入直线的直线方程,可得于是有:得,又由(1)可设内切圆的圆心为则,即:,解得:所以,直线的方程为:.【点睛】本题主要考查了抛物线的性质,直线与抛物线相关的综合问题的求解,考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.21、(1).(2).【解析】
(1)先根据空间直角坐标系,求得向量和向量的坐标,再利用线线角的向量方法求解.(2)分别求得平面BFC1的一个法向量和平面BCC1的
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