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文档简介
浙江省上杭县达标名校2024年中考数学最后一模试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.已知二次函数y=x2+bx﹣9图象上A、B两点关于原点对称,若经过A点的反比例函数的解析式是y=,则该二次函数的对称轴是直线()A.x=1 B.x= C.x=﹣1 D.x=﹣2.如图1,等边△ABC的边长为3,分别以顶点B、A、C为圆心,BA长为半径作弧AC、弧CB、弧BA,我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形,显然莱洛三角形仍然是轴对称图形.设点I为对称轴的交点,如图2,将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合,且AB⊥DE,DE=2π,将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动,当它第一次回到起始位置时,这个图形在运动中扫过区域面积是()A.18π B.27π C.π D.45π3.已知一个布袋里装有2个红球,3个白球和a个黄球,这些球除颜色外其余都相同.若从该布袋里任意摸出1个球,是红球的概率为,则a等于()A. B. C. D.4.若△ABC与△DEF相似,相似比为2:3,则这两个三角形的面积比为()A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.9:45.若是关于x的方程的一个根,则方程的另一个根是()A.9 B.4 C.4 D.36.如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结AO并延长交⊙O于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为()A. B.8 C. D.7.如图,直线AB∥CD,AE平分∠CAB,AE与CD相交于点E,∠ACD=40°,则∠DEA=()A.40° B.110° C.70° D.140°8.小明乘出租车去体育场,有两条路线可供选择:路线一的全程是25千米,但交通比较拥堵,路线二的全程是30千米,平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%,因此能比走路线一少用10分钟到达.若设走路线一时的平均速度为x千米/小时,根据题意,得A.25x-C.30(1+80%)x-9.如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体,则它的俯视图是()A. B. C. D.10.如图,等腰△ABC中,AB=AC=10,BC=6,直线MN垂直平分AB交AC于D,连接BD,则△BCD的周长等于()A.13 B.14 C.15 D.16二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,若AC=3DF,则OE:EB=_____.12.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是.13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,AB=6cm,将△ABC以点B为中心顺时针旋转,使点C旋转到AB边延长线上的点D处,则AC边扫过的图形(阴影部分)的面积是_____cm1.(结果保留π).14.如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,以BC为边在三角形外作正方形BCDE,连接BD,CE交于点O,则线段AO的最大值为_____.15.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别是AO、AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则EF=_____cm.16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2,⊙C的半径为1,点P是斜边AB上的点,过点P作⊙C的一条切线PQ(点Q是切点),则线段PQ的最小值为_____.17.如图,小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥,已知扇形的半径为5cm,弧长是cm,那么围成的圆锥的高度是cm.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)2018年10月23日,港珠澳大桥正式开通,成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景线.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛,来衔接桥梁和海地隧道,西人工岛上的点和东人工岛上的点间的距离约为5.6千米,点是与西人工岛相连的大桥上的一点,,,在一条直线上.如图,一艘观光船沿与大桥段垂直的方向航行,到达点时观测两个人工岛,分别测得,与观光船航向的夹角,,求此时观光船到大桥段的距离的长(参考数据:,,,,,).19.(5分)在平面直角坐标系中,已知直线y=﹣x+4和点M(3,2)(1)判断点M是否在直线y=﹣x+4上,并说明理由;(2)将直线y=﹣x+4沿y轴平移,当它经过M关于坐标轴的对称点时,求平移的距离;(3)另一条直线y=kx+b经过点M且与直线y=﹣x+4交点的横坐标为n,当y=kx+b随x的增大而增大时,则n取值范围是_____.20.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B求证:△ADF∽△DEC;若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的长.21.(10分)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,且B点的坐标为(3,0),经过A点的直线交抛物线于点D(2,3).求抛物线的解析式和直线AD的解析式;过x轴上的点E(a,0)作直线EF∥AD,交抛物线于点F,是否存在实数a,使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出满足条件的a;如果不存在,请说明理由.22.(10分)解不等式组,并将解集在数轴上表示出来.23.(12分)如图,已知,.求证.24.(14分)A粮仓和B粮仓分别库存粮食12吨和6吨,现决定支援给C市10吨和D市8吨.已知从A粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为400元和800元;从B粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为300元和500元.设B粮仓运往C市粮食x吨,求总运费W(元)关于x的函数关系式.(写出自变量的取值范围)若要求总运费不超过9000元,问共有几种调运方案?求出总运费最低的调运方案,最低运费是多少?
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、D【解析】
设A点坐标为(a,),则可求得B点坐标,把两点坐标代入抛物线的解析式可得到关于a和b的方程组,可求得b的值,则可求得二次函数的对称轴.【详解】解:∵A在反比例函数图象上,∴可设A点坐标为(a,).∵A、B两点关于原点对称,∴B点坐标为(﹣a,﹣).又∵A、B两点在二次函数图象上,∴代入二次函数解析式可得:,解得:或,∴二次函数对称轴为直线x=﹣.故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的性质,待定系数法求二次函数解析式,根据条件先求得b的值是解题的关键,注意掌握关于原点对称的两点的坐标的关系.2、B【解析】
先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示,利用矩形的面积和扇形的面积之和即可.【详解】如图1中,∵等边△DEF的边长为2π,等边△ABC的边长为3,∴S矩形AGHF=2π×3=6π,由题意知,AB⊥DE,AG⊥AF,
∴∠BAG=120°,∴S扇形BAG==3π,∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3(S矩形AGHF+S扇形BAG)=3(6π+3π)=27π;故选B.【点睛】本题考查轨迹,弧长公式,莱洛三角形的周长,矩形,扇形面积公式,解题的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF扫过的图形.3、A【解析】
此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.根据题意得:,解得:a=1,经检验,a=1是原分式方程的解,故本题选A.4、C【解析】
由△ABC与△DEF相似,相似比为2:3,根据相似三角形的性质,即可求得答案.【详解】∵△ABC与△DEF相似,相似比为2:3,∴这两个三角形的面积比为4:1.故选C.【点睛】此题考查了相似三角形的性质.注意相似三角形的面积比等于相似比的平方.5、D【解析】
解:设方程的另一个根为a,由一元二次方程根与系数的故选可得,解得a=,故选D.6、D【解析】∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,AB=8,∴AC=AB=1.设⊙O的半径为r,则OC=r-2,在Rt△AOC中,∵AC=1,OC=r-2,∴OA2=AC2+OC2,即r2=12+(r﹣2)2,解得r=2.∴AE=2r=3.连接BE,∵AE是⊙O的直径,∴∠ABE=90°.在Rt△ABE中,∵AE=3,AB=8,∴.在Rt△BCE中,∵BE=6,BC=1,∴.故选D.7、B【解析】
先由平行线性质得出∠ACD与∠BAC互补,并根据已知∠ACD=40°计算出∠BAC的度数,再根据角平分线性质求出∠BAE的度数,进而得到∠DEA的度数.【详解】∵AB∥CD,∴∠ACD+∠BAC=180°,∵∠ACD=40°,∴∠BAC=180°﹣40°=140°,∵AE平分∠CAB,∴∠BAE=∠BAC=×140°=70°,∴∠DEA=180°﹣∠BAE=110°,故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义,解题的关键是熟练掌握两直线平行,同旁内角互补.8、A【解析】若设走路线一时的平均速度为x千米/小时,根据路线一的全程是25千米,但交通比较拥堵,路线二的全程是30千米,平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%,因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程.解:设走路线一时的平均速度为x千米/小时,25故选A.9、A【解析】试题分析:从上面看易得上面一层有3个正方形,下面中间有一个正方形.故选A.【考点】简单组合体的三视图.10、D【解析】
由AB的垂直平分MN交AC于D,根据线段垂直平分线的性质,即可求得AD=BD,又由△CDB的周长为:BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC,即可求得答案.【详解】解:∵MN是线段AB的垂直平分线,∴AD=BD,∵AB=AC=10,∴BD+CD=AD+CD=AC=10,∴△BCD的周长=AC+BC=10+6=16,故选D.【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质,比较简单,注意数形结合思想与转化思想的应用.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、1:2【解析】
△ABC与△DEF是位似三角形,则DF∥AC,EF∥BC,先证明△OAC∽△ODF,利用相似比求得AC=3DF,所以可求OE:OB=DF:AC=1:3,据此可得答案.【详解】解:∵△ABC与△DEF是位似三角形,∴DF∥AC,EF∥BC∴△OAC∽△ODF,OE:OB=OF:OC∴OF:OC=DF:AC∵AC=3DF∴OE:OB=DF:AC=1:3,则OE:EB=1:2故答案为:1:2【点睛】本题考查了位似的相关知识,位似是相似的特殊形式,位似比等于相似比,位似图形的对应顶点的连线平行或共线.12、1.【解析】试题分析:因为2+2<4,所以等腰三角形的腰的长度是4,底边长2,周长:4+4+2=1,答:它的周长是1,故答案为1.考点:等腰三角形的性质;三角形三边关系.13、9π【解析】
根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=30°,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=AB,然后求出阴影部分的面积=S扇形ABE﹣S扇形BCD,列计算即可得解.【详解】∵∠C是直角,∠ABC=60°,∴∠BAC=90°﹣60°=30°,∴BC=AB=×6=3(cm),∵△ABC以点B为中心顺时针旋转得到△BDE,∴S△BDE=S△ABC,∠ABE=∠CBD=180°﹣60°=110°,∴阴影部分的面积=S扇形ABE+S△BDE﹣S扇形BCD﹣S△ABC=S扇形ABE﹣S扇形BCD=﹣=11π﹣3π=9π(cm1).故答案为9π.【点睛】本题考查了旋转的性质,扇形的面积计算,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,求出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键.14、【解析】
过O作OF⊥AO且使OF=AO,连接AF、CF,可知△AOF是等腰直角三角形,进而可得AF=AO,根据正方形的性质可得OB=OC,∠BOC=90°,由锐角互余的关系可得∠AOB=∠COF,进而可得△AOB≌△COF,即可证明AB=CF,当点A、C、F三点不共线时,根据三角形的三边关系可得AC+CF>AF,当点A、C、F三点共线时可得AC+CF=AC+AB=AF=7,即可得AF的最大值,由AF=AO即可得答案.【详解】如图,过O作OF⊥AO且使OF=AO,连接AF、CF,∴∠AOF=90°,△AOF是等腰直角三角形,∴AF=AO,∵四边形BCDE是正方形,∴OB=OC,∠BOC=90°,∵∠BOC=∠AOF=90°,∴∠AOB+∠AOC=∠COF+∠AOC,∴∠AOB=∠COF,又∵OB=OC,AO=OF,∴△AOB≌△COF,∴CF=AB=4,当点A、C、F三点不共线时,AC+CF>AF,当点A、C、F三点共线时,AC+CF=AC+AB=AF=7,∴AF≤AC+CF=7,∴AF的最大值是7,∴AF=AO=7,∴AO=.故答案为【点睛】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定与性质,熟练掌握相关定理及性质是解题关键.15、2.1【解析】
根据勾股定理求出AC,根据矩形性质得出∠ABC=90°,BD=AC,BO=OD,求出BD、OD,根据三角形中位线求出即可.【详解】∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,BD=AC,BO=OD,∵AB=6cm,BC=8cm,∴由勾股定理得:BD=AC==10(cm),∴DO=1cm,∵点E、F分别是AO、AD的中点,∴EF=OD=2.1cm,故答案为2.1.【点评】本题考查了勾股定理,矩形性质,三角形中位线的应用,熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.16、.【解析】
当PC⊥AB时,线段PQ最短;连接CP、CQ,根据勾股定理知PQ2=CP2﹣CQ2,先求出CP的长,然后由勾股定理即可求得答案.【详解】连接CP、CQ;如图所示:∵PQ是⊙C的切线,∴CQ⊥PQ,∠CQP=90°,根据勾股定理得:PQ2=CP2﹣CQ2,∴当PC⊥AB时,线段PQ最短.∵在Rt△ACB中,∠A=30°,BC=2,∴AB=2BC=4,AC=2,∴CP===,∴PQ==,∴PQ的最小值是.故答案为:.【点睛】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用;注意掌握辅助线的作法,注意当PC⊥AB时,线段PQ最短是关键.17、4【解析】
已知弧长即已知围成的圆锥的底面半径的长是6πcm,这样就求出底面圆的半径.扇形的半径为5cm就是圆锥的母线长是5cm.就可以根据勾股定理求出圆锥的高.【详解】设底面圆的半径是r,则2πr=6π,∴r=3cm,∴圆锥的高==4cm.故答案为4.三、解答题(共7小题,满分69分)18、5.6千米【解析】
设PD的长为x千米,DA的长为y千米,在Rt△PAD中利用正切的定义得到tan18°=,即y=0.33x,同样在Rt△PDB中得到y+5.6=1.33x,所以0.33x+5.6=1.33x,然后解方程求出x即可.【详解】设PD的长为x千米,DA的长为y千米,在Rt△PAD中,tan∠DPA=,即tan18°=,∴y=0.33x,在Rt△PDB中,tan∠DPB=,即tan53°=,∴y+5.6=1.33x,∴0.33x+5.6=1.33x,解得x=5.6,答:此时观光船到大桥AC段的距离PD的长为5.6千米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用:根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案.19、(1)点M(1,2)不在直线y=﹣x+4上,理由见解析;(2)平移的距离为1或2;(1)2<n<1.【解析】
(1)将x=1代入y=-x+4,求出y=-1+4=1≠2,即可判断点M(1,2)不在直线y=-x+4上;(2)设直线y=-x+4沿y轴平移后的解析式为y=-x+4+b.分两种情况进行讨论:①点M(1,2)关于x轴的对称点为点M1(1,-2);②点M(1,2)关于y轴的对称点为点M2(-1,2).分别求出b的值,得到平移的距离;(1)由直线y=kx+b经过点M(1,2),得到b=2-1k.由直线y=kx+b与直线y=-x+4交点的横坐标为n,得出y=kn+b=-n+4,k=.根据y=kx+b随x的增大而增大,得到k>0,即>0,那么①,或②,分别解不等式组即可求出n的取值范围.【详解】(1)点M不在直线y=﹣x+4上,理由如下:∵当x=1时,y=﹣1+4=1≠2,∴点M(1,2)不在直线y=﹣x+4上;(2)设直线y=﹣x+4沿y轴平移后的解析式为y=﹣x+4+b.①点M(1,2)关于x轴的对称点为点M1(1,﹣2),∵点M1(1,﹣2)在直线y=﹣x+4+b上,∴﹣2=﹣1+4+b,∴b=﹣1,即平移的距离为1;②点M(1,2)关于y轴的对称点为点M2(﹣1,2),∵点M2(﹣1,2)在直线y=﹣x+4+b上,∴2=1+4+b,∴b=﹣2,即平移的距离为2.综上所述,平移的距离为1或2;(1)∵直线y=kx+b经过点M(1,2),∴2=1k+b,b=2﹣1k.∵直线y=kx+b与直线y=﹣x+4交点的横坐标为n,∴y=kn+b=﹣n+4,∴kn+2﹣1k=﹣n+4,∴k=.∵y=kx+b随x的增大而增大,∴k>0,即>0,∴①,或②,不等式组①无解,不等式组②的解集为2<n<1.∴n的取值范围是2<n<1.故答案为2<n<1.【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换,一次函数图象上点的坐标特征,一次函数的性质,解一元一次不等式组,都是基础知识,需熟练掌握.20、(1)见解析(2)6【解析】
(1)利用对应两角相等,证明两个三角形相似△ADF∽△DEC.(2)利用△ADF∽△DEC,可以求出线段DE的长度;然后在在Rt△ADE中,利用勾股定理求出线段AE的长度.【详解】解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC∴∠C+∠B=110°,∠ADF=∠DEC∵∠AFD+∠AFE=110°,∠AFE=∠B,∴∠AFD=∠C在△ADF与△DEC中,∵∠AFD=∠C,∠ADF=∠DEC,∴△ADF∽△DEC(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=1.由(1)知△ADF∽△DEC,∴,∴在Rt△ADE中,由勾股定理得:21、(1)y=-x2+2x+3;y=x+1;(2)a的值为-3或.【解析】
(1)把点B和D的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得出方程组,解方程组即可;由抛物线解析式求出点A的坐标,设直线AD的解析式为y=kx+a,把A和D的坐标代入得出方程组,解方程组即可;(2)分两种情况:①当a<-1时,DF∥AE且DF=AE,得出F(0,3),由AE=-1-a=2,求出a的值;②当a>-1时,显然F应在x轴下方,EF∥AD且EF=AD,设F(a-3,-3),代入抛物线解析式,即可得出结果.【详解】解:(1)把点B和D的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得:解得:b=2,c=3,∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;当y=0时,-x2+2x+3=0,解得:x=3,或x=-1,∵B(3,0),∴A(-1,0);设直线AD的解析式为y=kx+a,把A和D的坐标代入得:解得:k=1,a=1,∴直线AD的解析式为y=x+1;(2)分两种情况:①当a<-1时,DF∥AE且DF=AE,则F点即为(0,3),∵AE=-1-a=2,∴a=-3;②当a>-1时,显然F应在x轴下方,EF∥AD且EF=AD,设F(a-3,-3),由-(a-3)2+2(a-3)+3=-3,解得:a=;综上所述,满足条件的a的值为-3或.【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点;二次函数的性质;待定系数法求二次函数解析式及平行四边形的判定,综合性较强.22、原不等式组的解集为﹣4<x≤1,在数轴上表示见解析.【解析】分析:根据解一元一次不等式组的步骤,大小小大中间找,可得答案详解:解不等式①,得x>﹣4,解不等式②,得x≤1,把不等式①②的解集在数轴上表示如图,原不等式组的解集为﹣4<x≤1.点睛:本题考查了解一元一次不等式组,利用不等式组的解集的表示方法是解题关键.23、见解析【解析】
根据∠ABD=∠DCA,∠ACB=∠DBC,求证∠ABC=∠DCB,然后利用AAS可证明△ABC≌△DCB,即可证明结论.【详解】
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