2024年广东省深圳市二模数学试卷含详解

2024年深圳市高三年级第二次调研考试

数学

2024.4

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用2B铅

笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的

答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知〃为正整数，且1>2”,则（）

A.n—\B.zz=2C.n=3D.n>4

2.已知正方体ABC。-ABCiR,过点A且以。耳为法向量平面为a,则a截该正方体所得截面的形状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

3.对于任意集合下列关系正确的是（）

A.MdMNN=MNB.瘠NWN）=（”（%））

CMNN=MND.瘠N"N）=Q（%〃）

4.已知a>0,且awl,则函数》=1。8。［》+'1］的图象一定经过（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D.三、四象限

5.己知z=^-,其中i为虚数单位，则z.（z-1）=（）

1+i

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

6.已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学

获得的名次情况可能有（）

A.72种B.96种C.144种D.288种

v2y2

7.P是椭圆C：—+=1(a>6>0)上一点，耳、B是C的两个焦点，「耳二。£=0，点。在』可尸厂2

a

的平分线上，O为原点，。。〃尸耳，且|OQ|=>.则。的离心率为()

号B.4TY

8.设函数/(%)=%+/,g(x)=x+lnx,若存在4，巧，使得/(石)=g(%)，则|周一引的最小值为()

1

A.-B.1C.2D.e

e

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知〃z,w是异面直线，mua,nu。,那么()

A.当根_L»,或■时，a工/3

B.当机//，，且〃//a时，alI[3

C.当(/_1_，时，m±j3,或〃J_c

D.当戊，£不平行时，机与夕不平行，且〃与戊不平行

10.已知函数/(x)=sin&u+acosaw(xeR,(y>0)的最大值为2,其部分图象如图所示，则()

B.函数/[x—为偶函数

C.满足条件的正实数。，存在且唯一

D.“X)是周期函数，且最小正周期为兀

11.设函数/(X)=区的函数值表示不超过x的最大整数,则在同一个直角坐标系中，函数y=/(x)的图象与圆

(%-z)2+(j+z)2=2？a>o)的公共点个数可以是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知样本毛，巧，W的平均数为2，方差为1,则了；,x；,X；的平均数为.

13.己知圆锥的内切球半径为1,底面半径为0,则该圆锥的表面积为.

注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点球，称为圆锥的内切球.

14.已知AABC中，tanO=3tan£,双曲线E以B,C为焦点，且经过点A,则E的两条渐近线的夹角为

22

；tan一+tan—的取值范围为

22

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，三棱柱A5C-A4G中，侧面3瓦。0，底面ABC,且=.

(1)证明：平面A3C；

⑵若A4,=3C=2,/B4c=90°,求平面ABC与平面夹角的余弦值.

16.已知函数/(%)=(◎+l)e"/'(%)是"％)的导函数，且/'(£)—/(x)=2e*.

(1)若曲线y=/(x)在x=0处的切线为、=丘+人，求左，》的值；

(2)在(1)的条件下，证明：f(x)>kx+b.

17.某大型企业准备把某一型号零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂

试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在

一起，则合格品率为97%.

(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X,求X的

分布列和数学期望；

(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的条件

下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给

甲工厂生产的概率.设事件A="甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件8="该大型企业把零件交给甲工厂

生产”、己知0<尸(3)<1,证明：P(A|B)>P(A|B).

18.设抛物线C：必=2py(夕>0),直线/：y=履+2交C于A,B两点.过原点。作/的垂线，交直线y=-2

于点对任意ZeR,直线AM,AB,8M的斜率成等差数列.

(1)求C的方程；

(2)若直线/'/〃，且/'与C相切于点M证明：的面积不小于2后.

19.无穷数列火,电，…，为，…的定义如下：如果〃是偶数，就对w尽可能多次地除以2,直到得出一个奇数,

这个奇数就是勾；如果〃是奇数，就对3〃+1尽可能多次地除以2,直到得出一个奇数，这个奇数就是4.

(1)写出这个数列的前7项；

(2)如果/=相且,求加，n值；

⑶记为=/⑺，〃eN*，求一个正整数，，满足"小)</("叫<</(/(/(〃))).

202447

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数学

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知〃为正整数，且">2",则（）

A.n=lB.n=2C.n=3D.n>4

【答案】C

【分析】根据给定条件，构造数列二，探讨该数列单调性即得.

2

、19

【详解】令4=全n，几£N*,显然q=—,%=1,%=—，

28

%=5+1)2+2n+1n'+2n+1

当八时,—5——丁<-5----------<1即4+i<4<%=1，

册2"n~+nn+3n

因此当n上4时，"〈2"，

所以w为正整数，且"〉2"，有〃=3.

故选：C

2.已知正方体ABC。-A4C］。］,过点A且以。珞为法向量的平面为a,则a截该正方体所得截面的形状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】A

【分析】作出辅助线，根据线面垂直的判定定理得到。用，平面AC，，故平面a即为平面AC。1，得到截面的

形状.

【详解】连接ACAR,。。/。，

因为5片，平面A3CD,ACu平面A3CD,

所以5用LAC,

又四边形A3CD为正方形，所以J.AC,

又BB［CBD=B,平面BBQ,

所以AC，平面34。，

因为耳。u平面35］。，

所以AC，4。，

同理可证明A，，4。，

因为AD]AC=A,AZ)i，ACu平面ACD],

故与。，平面ACDi,

故平面々即为平面ACR,

则a截该正方体所得截面的形状为三角形.

故选：A

3.对于任意集合下列关系正确的是（）

A.M用小=乂NB.瘠N(MN)=(MWM)(%WN)

C.M飞乂群=MND.瘠w(MN)=(乂M

【答案】B

【分析】利用韦恩图进行判断即可得到结果.

对于A：如图所知，5NN为区域①，所以Mu与VNN=M,故A错误;

对于B：般w（"cN）为区域①和③；（&*"）为区域③，（乐."）为区域①，则（期非0。（—NN）也

为为区域①和③；两边相等，故B正确;

对于C：（乐加"）为区域①，Me与DNN为区域①，不等于区域②（区域②为McN）,故C错误;

对于D：砺口/MCN）为区域①和③；而国0）以）为区域③，（小小"）为区域①，所以

（魏NM）C（“mN）为空集，所以D错误;

故选：B.

4.已知。＞0,且awl,则函数y=log“（x+:］的图象一定经过（

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D.三、四象限

【答案】D

【分析】由函数y=log（x+£|过（0,—1）点，分类可解.

【详解】当％=0时，y=loga-=-l,

a

则当0＜。＜1时，函数图象过二、三、四象限；

则当时，函数图象过一、三、四象限;

所以函数＞=1。8，%+：）的图象一定经过三、四象限.

故选：D

5.已知z=?-,其中i为虚数单位，则z・(z-1)=()

1+i

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】B

【分析】根据复数的乘、除法运算可得z=l-i，进而I=l+i，结合复数的乘法计算即可求解.

2

【详解】由题意知,z=-----

1+i

所以z=l+i,

所以,2_1)=(1+0(1-1)=1.

故选：B

6.已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学

获得的名次情况可能有（）

A.72种B.96种C.144种D.288种

【答案】C

【分析】根据题意分别求出甲是第一，乙是第一的可能情况，再利用分类加法计数原理计算即可.

【详解】由题意，丙可能是4,5,6名，有3种情况，

若甲是第一名，则获得的名次情况可能是C；A：=72种，

若乙是第一名，则获得的名次情况可能是C；A：=72种，

所以所有符合条件的可能是72+72=144种.

故选：C.

22

7.P是椭圆C：=+二=1（a>6>0）上一点，耳、工是C的两个焦点，。耳二质=0，点。在/耳尸工

ab

的平分线上，0为原点，OQ〃P£,且|。。|=从则。的离心率为（）

A.IB.BC.逅D.也

2332

【答案】C

【分析】设归耳|=加，|桃|=〃，由题意得出△AQP是等腰直角三角形，列方程组得到含的齐次方程求解

离心率即可.

【详解】如图，设|W|=加，］。闾=〃，延长。。交P&于A,

由题意知。。〃尸耳，。为耳心的中点，故A为产区中点，

m-\-n=2a

m—n—2bm-a+b

故有《加2+几2=4/,化简得＜c，即〈

m+n-2an-a-b

b7+—1n=­1m

22

代入加2+〃2=4°2得(a+Z?)2=4c2,

即。2+/=2。2,由入2=。2一。2所以2a2=3。2,

所以/=2,e=旦.

33

故选：C.

8.设函数/(%)=%+e*,g(x)=x+lnx,若存在J巧，使得/(%)=8(%2)，则|周一引的最小值为()

1

A.-B.1C.2D.e

e

【答案】B

【分析】根据题意，由条件可得/(玉)=/(111々)，即可得到%=ln%,构造函数/z(x)=lnx—%,求导得其最值，

即可得到结果.

【详解】由题意可得/(x)=g(%2)，即%+e*=工2+111工2，

所以玉+=e瓜电+Inx2,

又/'(x)=l+e、>0,所以/(%)在R上单调递增，

即/(%)=/(ln%2)，所以西=lnx2,

r

且|石-x2|=|lnx2-e1|=|lnx2-x2|,

令/z(x)=lnx-x,xe(0,+co),

则“'(x)=1=^--,其中x>0,

XX

令"(x)=0,则x=l,

当xe(0,1)时,//(x)>0,则力⑺单调递增，

当时，则人⑴单调递减，

所以当X=1时，人(力有极大值，即最大值，

所以Zz(x)W/z(l)=T，

所以归fL=H=L

故选：B

【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求导即可

得到结果.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知相，”是异面直线，mua,nu/3,那么（）

A.当m_L/?,或“J_a时，a，/3

B.当加//分，且〃//a时，alIP

C.当时，ml。,或〃J_tz

D.当a,£不平行时，机与夕不平行，且〃与&不平行

【答案】AB

【分析】根据线线、线面和面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可.

【详解】A：当/_L〃，根ua时，aV/3-

当〃J_a,〃u/7时，aY/3,故A正确;

B：当机//，，〃//。时，又以7?为异面直线，所以a//£,故B正确;

C：当。_1_万时，由根ua,得加//，或机与夕相交;

当时，由〃<=/,得〃//a或九与a相交，故c错误;

D：当名万不平行时，可能机//，或机与/相交，〃//a或九与戊相交，故D错误.

故选：AB

10.已知函数/（x）=sinaw+acos。％（xeR,。>0）的最大值为2,其部分图象如图所示，贝U（

B.函数/[%-巳）为偶函数

C.满足条件的正实数。，存在且唯一

D.八%）是周期函数，且最小正周期为兀

【答案】ACD

【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据函数的最大值及/(。)>。求出。，由/=i求出。的取值,

再根据周期确定力的值，即可得到函数解析式，即可判断.

【详解】因为/(x)=sins+acos5=A/?nsin(5+0)(其中sin0=,:+]、。°$他=丁次不)，

又/(x)max=+1=2'解得a-±y/3'

又/(0)=Q>0,所以Q=故A正确；

贝(J/(x)=sin(ux+百cos<ux=2sin69%+—,

JT/7)JT511

结合图象可知一+-=—+2kii,k&Z,所以0=2+8仁左eZ,

436

rri2itn

又；7〉/，所以<-->一

(D2,解得0<GV4,所以①=2,故C正确;

24

g〉0

所以/(x)=2sin[2x+1J,则/卜—[J=2sin2卜—1)+三=2sin2x为奇函数，故B错误；

了(%)是周期函数，且最小正周期7=苧=兀，故D正确.

故选：ACD

11.设函数/(尤)=[可的函数值表示不超过彳的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数y=/(x)的图象与圆

(%-z)2+(j+z)2=2?(r>0)的公共点个数可以是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】ABD

【分析】由题意确定圆心坐标和半径，易知该圆过原点，作出函数〃力在》6[-3,3)的图象，结合图形分析，即可

求解.

【详解】由(xT)2+(y+f)2=2严《>0),得该圆心为«,T),半径为在，

易知该圆过原点,由/(%)=[划，当xe[—3,3)时,

—3,—3Wx<—2

-2,-2<x<-l

—1,—1<x<0

得/(x)=cc,，作出函数/（X）的图象，如图,

0,0<x<l

2,2<x<3

由图可知，当0</<1时，圆与函数/（幻的图象有2个交点，

2

当/=工时，圆与函数/（尤）的图象有1个交点，

2

当;<区|时，圆与函数/（X）的图象有2个交点，

513

当2<区万时，圆与函数/⑺的图象有4个交点，

根据圆与函数/（x）的对称性，后续交点情况类比即可.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于理解取整函数的定义，利用数形结合的思想分析圆与函数Ax）图象交

点的个数.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知样本与，巧，％的平均数为2，方差为1，则x；,X；,后的平均数为

【答案】5

【分析】根据平均数和方差的定义建立方程组，解之即可求解.

【详解】由题意知，=2,所以%+%+退=6，

由（3—2）2+（多；2）2+（三—2）2=],得町+君+后=15,

所以片+与+石=5.

3

故答案：5

13.已知圆锥的内切球半径为1,底面半径为0,则该圆锥的表面积为

注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球.

【答案】87r

【分析】借助过圆锥的轴以及内切球球心的截面图求出圆锥的母线长，即可求出圆锥表面积.

【详解】由题过圆锥的轴以及内切球球心的截面图如下：

设圆锥高为〃，母线长为/,

则在三角形SOXB中有*+尸=/，即*+2=/2①，

又由SDOSC\B得&=吐其即/=&（〃一1）②，

rI

所以由①②得/=3虚,〃=4,

所以圆锥的表面积为S=5底+5=兀r2+兀力=2兀+6兀=8兀.

故答案为：87r.

14.已知△ABC中，tanO=3tan©,双曲线E以B,C为焦点，且经过点A,则E的两条渐近线的夹角为

22

AC

；tan—+tan—的取值范围为

22

（G）

【答案】①.q②.¥，+s

【分析】根据双曲线的性质和三角形内心性质得到垂足M的位置，再由tanO=3tan£得到双曲线中仇c的关

22

系，即可得到渐近线的夹角；根据tan±=3tan2对所求式进行化简，再根据基本不等式求得范围即可.

22

【详解】如图所示，设双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c.

设，ABC的内心为/,过点/向三边作垂线，垂足分别为0.

根据三角形内心的性质可知，IAP1=1ANI,I3尸|=|BM|,|CM\=\CN\,

又因为双曲线E以'C为焦点，且经过点4

所以MC-|叫|=2a,即||?UV|+|OV|-|AP|-IBP]=||OV|-|^||=||CA/|=2a,

因为tan,0=3tanC,所以5>C,所以|AC|>|AB|,

22

所以点A在双曲线的左支上，所以|CM|—|3M|=2a.

而|CM|+|5M|=2c,

所以|CM|=c+a,|BM\-c-a,

所以M为双曲线的左顶点.

,,BMICMlr

所cr以tan—=----,tan—=-----=------

2MBc-a2MCc+a

rrc

所以——=3——，即一=2,

c-ac+aa

所以2=百，渐近线的倾斜角为g,

a3

所以两条渐近线的夹角为事.

1BC1个2c

1—tan—tan—1—3tan—

A7l-(B+C)122213C

又因为tan—=tan------方—Ttan—,

B+CBC

22tan-----t-a-n——I-tan——4，tan—C4tan—042

22222

AC11C

tan——I-tan——H—tsn—

所以，

224“tan—c42

2

而tail'd0,

11C

+—tan——>

所以―C

4tan—42

2、

故答案为：—

7

【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质和三角形的最值.本题的关键点在于根据tanO=3tanC作出三角形

22

的内心，从而根据内心性质和双曲线的定义进行求解.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，三棱柱ABC-44cl中，侧面3瓦CO,底面ABC,且A6=AC,AtBA,C.

(1)证明：平面A3C；

(2)若A4,=3c=2,/B4c=90°,求平面ABC与平面4BG夹角的余弦值•

【答案】(1)证明见解析;

⑵叵.

5

【分析】(1)取3C的中点M,连结MA、M\,根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得平面A肱i，进

而由AAB]B得B国人BC,再证明用5,平面ABC即可得证.

(2)建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于48的垂面，从而得出二面角的平面角

再进行求解即可.

【小问1详解】

取BC的中点M,连结MA、MAX.

因为AB=AC,AiB=AiC,所以3C_LAM,BC,

由于AM,AMu平面4M4,且AMcAA/=M,

因此平面AMA,

因为AAu平面AM4,所以

又因AAB}B,所以用5人BC,

因为平面8片GC,平面ABC,平面BBGCl1平面A5C=5C,且与Bu平面54CC，所以耳3,平面ABC,

因为AAB}B,所以明，平面ABC.

【小问2详解】

法一：因为/B4C=90°,且BC=2,所以43=4。=行・

以AB,AC,AA]所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系A-召z,

则A(0,0,2),B(V2,o,o),C(O,V2,O),q(0,72,2).

所以”=("0,-2),4。=(0,6—2),后=(0，W

m-A^B=0yjlxi-2zj=0

设平面ABC的法向量为加=(%,%,zj,贝|卜可得《

m-A^C=0yflyi-2z1=0

令4=1,则m=(0,0,1),

/、\n-A}B=0{42x?-2z?=0

设平面43cl的法向量为〃=(W，%,Z,),贝叫，可得|,

n-A.C^O［岳2=0

令Z2=l,贝!|“=(0,0,1),

\m-n\3=A

设平面ABC与平面48cl夹角为e,则cos6=^^

\m\\n\A/?X石—5

所以平面AXBC与平面43G夹角的余弦值为半

法二：将直三棱柱ABC-A[3]G补成长方体ABDC—442G.

连接G。，过点C作CP，G。，垂足为P,再过尸作PQ,45,垂足为。连接C。

因为80工平面CDRG,且CPU平面CDDG,

所以BQLCP,

又因为CP，G。，由于8。，C]Du平面AB£)G，且3。C1D=D,

所以CP,平面ABDG，则.CPQ为直角三角形，

由于ABu平面ABOG，所以A]B，CP,

因为CP，PQu平面CP。，且"PQ=P,所以A5J_平面CPQ,

因为CQu平面CPQ,所以CQ^AB,

则/C。尸为平面\BC与平面43cl的夹角或补角，

在ABC中，由等面积法可得CQ=粤，

因为PQ=4G=后，所以cos/CQP=母=半，

因此平面A,BC与平面\BCX夹角的余弦值为半.

16.已知函数/(%)=(◎+l)e"/'(%)是"％)导函数，且/'(%)—/(x)=2e1

⑴若曲线y=/(x)在尤=0处的切线为丫=履+方，求鼠b的值；

(2)在⑴的条件下，证明：f(x)>kx+b.

【答案】(1)k=3,Z?=l；

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据题意，求导可得。的值，再由导数意义可求切线，得到答案；

⑵设函数g(x)=(2x+l)e*—3x—1,利用导数研究函数g(x)的单调性从而求出最小值大于0,可得证.

【小问1详解】

因为/(x)=(av+l)e",所以/'(X)=(tzx+a+l)e”,

因为r(x)—/(x)=2e"所以a=2.

则曲线y=/(x)在点x=0处的切线斜率为/(0)=3.

又因为/(0)=1，

所以曲线>=/(尤)在点x=0处的切线方程为丁=3x+1,

即得左=3,b=l.

【小问2详解】

设函数g(x)=(2x+l)e*—3x—l,xeR,

贝i]g<x)=(2x+3)e、-3,

设/z(x)=g，(x),贝！]"(x)=e'(2x+5),

所以，当x〉—g时，/z'(x)>0,g'(x)单调递增.

又因为g'(O)=O,

所以，x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增；

—g<x<0时，g'(%)<0,g(x)单调递减.

又当时，g,(x)=(2x+3)ev-3<0,

综上g(x)在(-^,0)上单调递减，在(0,+“)上单调递增，

所以当x=0时，g(x)取得最小值g(0)=0,

即(2x+l)e*-3x-1N0,

所以，当xeR时，/(x"3x+L

17.某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂

试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在

一起，则合格品率为97%.

(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X,求X的

分布列和数学期望；

(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的条件

下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给

甲工厂生产的概率.设事件A="甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件3="该大型企业把零件交给甲工厂

生产”、已知0<尸(6)<1,证明：P(A|B)>P(A|B).

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析.

【分析】(1)设出甲乙两厂的零件数，表示事件发生的概率，由题意知X服从二项分布，写出分布列和期望即可.

(2)因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指

标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，即P(冏A)>尸(3区)，化简变形即可证得.

【小问1详解】

设甲工厂试生产的这批零件有机件，乙工厂试生产的这批零件有W件，

事件M="混合放在一起零件来自甲工厂"，事件N="混合放在一起零件来自乙工厂"，事件C="混合放在一起

的某一零件是合格品”，

则P(N)=-^—,

m+nm+n

P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)

rnn

=94%x------+98%x-------=97%,

m+nm+n

计算得3加二口.

所以=工.

m+n4

X的可能取值为0,1,2,3,

13

E(X)=3x-=-,

V'44

p(x=o)=4m?p(x=i)=cm)Y,

P(X=2)=C；HJt，P(x=3)=C；m$.

所以，x的分布列为：

X0123

272791

p

64646464

【小问2详解】因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂

不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，

所以网5|力＞网司可.

尸（烟尸（四

尸（A）P（A）

因为尸（A）＞0,P（A）＞0,

所以P（AB）P（A）＞P西P（A）.

因为P（可=1—P（A）,P（AB）=P（B）-P（AB）,

所以P（AB.l-P（A））＞（P（B）-尸（AB））P（A）.

即得尸（AB）＞尸（A）尸（B）,

所以尸（AB）-尸（AB）尸（3）＞尸（A）尸（3）-尸（AB）尸（3）.

即P（AB）（1-P（B））＞P（B）（P（A）-P（AB））.

又因为1-P（3）=P⑻，P（A）-P（AB）=P（AB）,

所以P（AB）P（可＞P（B）P（AB）.

因为0＜尸（5）＜1,O＜P（B）＜1,

P（AB）

所以P（A方B}〉

即得证P（A|B）＞P（山豆）.

18.设抛物线C：x2=2py（。＞0）,直线/：y=Ax+2交C于A,B两点.过原点。作/的垂线，交直线,=一2

于点M.对任意人eR,直线AM,AB,8M的斜率成等差数列.

（1）求C的方程；

（2）若直线/'/〃，且/'与C相切于点N,证明：的面积不小于2行.

【答案】（1）为2=4y；

（2）证明见解析.

【分析】（1）根据题意，分左=0与左W0代入计算，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，再由等差中

项的定义列出方程，即可得到结果；

（2）方法一：联立直线/'与抛物线的方程，表示出A3中点E的坐标，再由点M,N,E三点共线可得△AMN面积

为—面积的;，结合三角形的面积公式代入计算，即可证明；方法二联立直线/,与抛物线的方程，再由A=。,

得72=-公，点N（2匕左2）,即可得到直线MN与无轴垂直，再由三角形的面积公式代入计算，即可证明.

【小问1详解】

设点4(%,%),8(尤2,%)，

由题可知，当左=0时，显然有仁w+&M=0；

当左W0时，直线OM的方程为'=—!》，点"（2匕一2）.

k

联立直线A3与C的方程得Y-2夕去一4P=0,A=4p2k2+16p〉0,

所以玉+/=2pk,玉％=—4p,

因为直线AM,AB,5M的斜率成等差数列,

—+4+>+4=2k的+4)(%-21)+®+4)&-2>)=2k

x「2kx2-2k，&-24)(%2一24)

化简得2(左~+2)(尤］+%—4k)=0.

将％+x2=22上代入上式得2(左？+2)(2p左一4左)=0,

则p=2,

所以曲线C的方程为_?=4y.

（法一）设直线/'：y=kx+n,联立C的方程，得4依一4〃=0.

由A=0,得〃=一产，点N（2匕左2）,

设AB的中点为E,

因为受上至=2左，生4=史匚山+3=2左2+2,则点E（2左,2左2+2

222、

因为主+2一2=公,

2

所以点M,N,E三点共线，且点N为ME的中点,

所以面积为面积的’.

4

记△AM/V的面积为S,点A/（2左,一2）到直线48：fcv—y+2=0的距皆d=/=,

42+1

11I/：（2K+4）/\2,—

V72

所以S=jA3|xd=w，l+/x小（苞+々）~—4%尤2x^2=（F+2）>2V2,

当左=0