江苏高考数学专题突破之应用题解法

江苏高考数学专题突破之应用题解法江苏近几年高考数学试卷加大了对应用题的考查力度,这个趋势有以下三个特点:一是连续多年考大题,形成江苏特色,其中2008年、2010年、2011年、2012年都是放在试卷的第17题,2013年、2014年放在试卷的第18题,2009年放在试卷的第19题,考查的知识点都是B级考点的综合应用,试题的难度属于中档题;二是由简单的直接应用向实际问题数学化转化,贴近生活,并且阅读量逐步增加;三是主要考查根据题意建立函数关系式进而研究函数的最值或其他相关问题.10年利用三角形的知识、两角差的正切及根本不等式来求解最值问题.11年主要根据图形(平面或空间)建立函数关系.12年在实际背景下研究与含参数二次函数有解、最值问题.13年在三角形背景下研究二次函数有解、最值问题.14年在直线与圆的位置关系和解三角形背景下讨论最值问题.考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力共同点是给出函数自变量,因此考查应用题,主要考查生变量意识.所谓数学应用题就是利用数学知识解决一些非数学领域中的问题.由于数学的高度抽象性,这就决定了数学应用的广泛性,而应用题的非数学背景的多样性,也就导致了解应用题往往是要在陌生的背景中去理解、分析所给出的有关问题,舍去与数学无关的非本质因素,通过抽象转化为相应的数学问题.江苏高考数学试题中,对数学应用于解决实际问题的考查已经趋于成熟,它主要考查函数、方程、三角、解三角形、导数、数列、根本不等式等根底知识,考查数学建模能力、抽象概括能力、空间想象能力、数学阅读能力和解决实际问题的能力.解数学应用题的一般思路实际上就是(1)读懂题目:理解文字(图形)表达的意图,分清条件和结论;(2)建立数学模型:进行语言转化(将文字语言及图形语言转化为数学语言),利用数学知识建立相应的数学模型;(3)求解数学模型:根据建立的数学模型,选择适宜的方法,设计合理简捷的运算途径,求出数学问题的解;(4)检验作答:把用数学方法所得到的结论复原为实际问题,要符合实际意义.高考数学应用题常见模型:(1)函数应用模型:涉及最值问题;(2)三角应用模型:涉及测量问题;(3)不等式(组)应用模型:涉及优化问题;(4)方程(组)及坐标系应用模型:涉及等量问题;(5)数列应用模型:涉及年代及预测问题;(6)立体几何模型:涉及空间图形问题;(7)概率、统计模型:涉及数据计算、预估等问题.类型一:函数应用题1.1以分式函数为载体的函数应用题例1.(2013•盐城一模)近年来,某企业每年消耗电费约24万元,为节能减排,决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为.为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是.记为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和.(1)试解释的实际意义,并建立关于的函数关系式；(2)当为多少平方米时,取得最小值?最小值是多少万元?解:(1)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费,由,得,所以;因为.当且仅当,时取等号,所以当为55平方米时,取得最小值为59.75万元.1.2以分段函数为载体的函数应用题例2.(盐城中学2013三模)工厂生产某种零件,每天需要固定本钱100元,每生产1件,还需再投入资金2元,假设每天生产的零件能全部售出,每件的销售收入(元)与当天生产的件数()之间有以下关系:,设当天利润为元.(Ⅰ)写出关于的函数关系式;(Ⅱ)要使当天利润最大,当天应生产多少零件?(注:利润等于销售收入减去总本钱).解:(1)时,;当时,.(2)设函数①当时,,令,得当时,;当时,.∴当时,;②当时,,令,得.当时,;当时,.∴当时,.∵,∴综合①②知:当时,取最大值.故要使当天利润最大,当天应生产11件零件.1.3以二次函数为载体的函数应用题例3.(2012江苏)曲线上,其中与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程;(2)不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.解:(1)在炮的最大射程是10∴炮弹可以击中目标等价于存在,使的方程此时,不考虑另一根).∴当不超过6炮弹可以击中目标.类型二:三角测量应用题2.1以三角函数的定义为载体的三角应用题例4.(2008江苏)某地有三家工厂,分别位于矩形的顶点及的中点处,,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形的区域上(含边界),且与等距离的一点处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道,设排污管道的总长为.BCDAOPBCDAOP①设,将表示成的函数关系式;②设,将表示成的函数关系式;(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短.解:(1)①由条件知垂直平分,假设,那么,故又,所以所求函数关系式为②假设,那么所以所求函数关系式为(2)选择函数模型①,令得,当时,是的减函数;当时,是的增函数;所以当时,此时点位于线段的中垂线上,且距离边km处.2.2以解三角形为载体的三角应用题例5.在路边安装路灯,灯柱AB与地面垂直,灯杆和灯柱所在平面与道路垂直,且,路灯采用锥形灯罩,射出的光线如图中阴影局部所示,,路宽.设灯柱高,.(1)求灯柱的高h(用θ表示);(2)假设灯杆与灯柱所用材料相同,记此用料长度和为,求关于的函数表达式,并求出的最小值.解:(1)∵,,∴.∵,∴.∵,∴.在中,,.在中,,,即.(2)在中,,那么.∵,∴.∴当时,取得最小值为.2.3以立体几何为载体的三角应用题例6.要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐(如图),设计要求：圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等,都为米.市场上,圆柱侧面用料单价为每平方米元,圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的4倍和2倍.设圆锥母线和底面所成角为(弧度),总费用为(元).(1)写出的取值范围；(2)将表示成的函数关系式；(3)当为何值时,总费用最小?解:设圆锥的高为米,母线长为米,圆柱的高为米;圆柱的侧面用料单价为每平方米2元,圆锥的侧面用料单价为每平方米4元.(1)(2)圆锥的侧面用料费用为,圆柱的侧面费用为,圆柱的地面费用为,那么====.(3)设,其中那么，当时,当时,当时,那么当时,取得最小值,那么当时,费用最小.2.4以追击问题为载体的三角应用题例7.(2013江苏)如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,.(1)求索道的长；(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内？CBADMN解:(1)如图作于点,设,那么CBADMN由,知:．(2)设乙出发分钟后到达点,此时甲到达点,如下图.那么:,由余弦定理得:其中,当时,最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由(1)知:,甲到用时:.假设甲等乙3分钟,那么乙到用时:,在上用时:．此时乙的速度最小,且为:.假设乙等甲3分钟,那么乙到用时:,在上用时:.此时乙的速度最大,且为:.故乙步行的速度应控制在范围内.2.5以米勒问题为载体的三角应用题例8.(2010江苏)某兴趣小组测量电视塔的高度(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆的高度,仰角.(1)该小组已经测得一组的值,,请据此算出的值;(2)该小组分析假设干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离(单位:m),使与之差较大,可以提高测量精确度.假设电视塔的实际高度为125m,试问为多少时,最大?解:(1),同理:,.AD-AB=DB,故得,解得:.因此,算出的电视塔的高度H是124m.(2)由题设知,得,,〔当且仅当时,取等号〕故当时,最大。因为,那么,所以当时,-最大.故所求的是m.类型三：数列应用题例9.某啤酒厂为适应市场需要,2011年起引进葡萄酒生产线,同时生产啤酒和葡萄酒,2011年啤酒生产量为16000吨,葡萄酒生产量1000吨.该厂方案从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%,葡萄酒生产量比上一年增加100%,试问:(1)哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低?(2)从2011年起(包括2011年),经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的?(生产总量是指各年年产量之和)解:设从2011年起,该车第年啤酒和葡萄酒年生产量分别为吨和吨,经过年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为吨和吨.(1)设第年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为吨,根据题意,得=,=，〔〕,那么=+=，当且仅当,即时取等号，故年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低,为吨.(2)依题意,,得,∵,,∴,∵,∴,∴.答:从第6年起,葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的.类型四：线性规划应用题例10.某公司方案2010年在甲、乙两个电视台做广告总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟,总收益为元,由题意得,即，目标函数为,作出二元一次不等式所表示的平面区域,即可行域．如图,作直线，即平移直线,从图中可知,当直线过点时,目标函数取得最大值.联立方程解得点的坐标为．〔元〕．答:该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元．类型五:不等式应用题例11.(2014江苏)如图,为保护河上古桥,规划建一座新桥,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥与河岸垂直;保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆,且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点位于点正北方向60m处,点位于点正东方向170m处(为河岸),(1)求新桥的长;(2)当多长时,圆形保护区的面积最大?解:如图,以为坐标原点,所在直线为轴,建立平面直角坐标系.由条件知,,直线的斜率又因为,所以直线的斜率.设点的坐标为,那么,.解得.所以.因此新桥的长是.(2)设保护区的边界圆的半径为,,.由条件知,直线的方程为,即由于圆与直线相切,故点到直线的距离是,即.因为和到圆上任意一点的距离均不少于,所以即解得故当时,最大,即圆面积最大.所以当时,圆形保护区的面积最大.类型六:解析几何应用题例12.某人欲设计一个如下图的“蝴蝶形图案”,其中是过抛物线焦点且互相垂直的两条弦,该抛物线的对称轴为,通径长为4.记,为锐角.(通径:经过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦)(1)用表示的长;(2)试建立“蝴蝶形图案”的面积关于的函数关系式,并设计的大小,使“蝴蝶形图案”的面积最小．解:(1)由抛物线的定义知,,解得,．(2)据(1)同理可得,,.所以“蝴蝶形图案”的面积,即,.令,那么,所以当,即时,的最小值为8.答:当时,可使“蝴蝶形图案”的面积最小.1.如图,某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.点到墙面的距离为,某目标点沿墙面上的射线移动,此人为了准确瞄准目标点,需计算由点观察点的仰角的大小.假设,那么的最大值是.(仰角为直线与平面所成角).2.某种商品每件进价12元,售价20元,每天可卖出48件.假设售价降低,销售量可以增加,且售价降低元时,每天多卖出的件数与成正比.商品售价降低3元时,一天可多卖出36件.(1)试将该商品一天的销售利润表示成的函数；(2)该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？.3.某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件.(1)据市场调查,假设价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量至少应到达多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.4.如图,某小区有一边长为2(单位:米)的正方形地块OABC,其中OAE是一个游泳池,方案在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路(宽度不计),切点为M,并把该地块分为两局部.现以点O为坐标原点,以线段OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,假设池边AE满足函数的图象,且点M到边OA距离为.(1)当时,求直路所在的直线方程;(2)当为何值时,地块在直路不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?5.如图,某海滨浴场的岸边可近似的看成直线,位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救,救生员没有直接从A处游向B处,而沿岸边自A跑到距离B最近的D处,然后游向B处，假设救生员在岸边的行速为6米/秒,在海中的行进速度为2米/秒.⑴分析救生员的选择是否正确;⑵在AD上找一点C,是救生员从A到B的时间为最短,并求出最短时间.θ〔第6题〕DABClTx6.如图,某机场建在一个海湾的半岛上,飞机跑道的长为,且跑道所在的直线与海岸线的夹角为(海岸线可以看作是直线),跑道上离海岸线距离最近的点到海岸线的距离.为海湾一侧海岸线上的一点,设,点对跑道的视角为.θ〔第6题〕DABClTx(1)将表示为的函数;(2)求点的位置,使取得最大值.7.如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于三点处,,到线段的距离,(参考数据:).今方案建一个生活垃圾中转站,为方便运输,准备建在线段(不含端点)上.(1)设,试将到三个小区距离的最远者表示为的函数,并求的最小值;(2)设,试将到三个小区的距离之和表示为的函数,并确定当取何值时,可使最小?8.如图,为相距的两个工厂,以的中点为圆心,半径为画圆弧.为圆弧上两点,且,在圆弧上一点处建一座学校.学校受工厂的噪音影响度与的平方成反比,比例系数为1,学校受工厂的噪音影响度与的平方成反比,比例系数为4.学校受两工厂的噪音影响度之和为,且设(1)求,并求其定义域;(2)当为多少时,总噪音影响度最小?9.如图,两座建筑物的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是和从建筑物的顶部看建筑物的视角.(1)求的长度;第9题图(2)在线段上取一点(点与点不重合),从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时,最小?第9题图10.某公园有个池塘,其形状为直角的长为2百米,的长为1百米.(1)假设准备养一批供游客欣赏的鱼,分别在上取点,如图(1),使得,,在内喂食,求当的面积取最大值时的长;(2)假设准备建造一个荷塘,分别在上取点,如图(2),建造连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使为正三角形,记,求边长的最小值及此时的值.(精确到1米和0.1度)考题演练答案1.2.解:(1)由题意可设,每天多卖出的件数为,∴，∴又每件商品的利润为元,每天卖出的商品件数为∴该商品一天的销售利润为(2)由令可得或当变化时，、的变化情况如下表：04(4,8)8—0+0—384↘极小值↗极大值432↘0∴当商品售价为16元时,一天销售利润最大,最大值为432元.3.解:(1)设每件定价为元,依题意,有,整理得,解得.∴要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.(2)依题意,时,不等式有解,等价于时,有解,(当且仅当时,等号成立).∴当该商品明年的销售量至少应到达10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.4.解:(1)(2)过切点M的切线即,令得,故切线与AB交于点;令,得,又在递减,所以故切线与交于点.地块OABC在切线右