浅谈数学中的反证法

浅谈数学中的反证法摘要反证法是数学中一个从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明法”一类。根本步骤即：对题目中给出的条件予以肯定而否认需证明的结论，从而利用否认后的结论和原命题中的条件进行正确的推理导出矛盾，从而以此来肯定原命题结论的正确性。本文的主要内容是先对反证法的定义、逻辑依据、证明步骤、证明过程中如何正确否认命题结论及常见的矛盾形式等作一简单阐述。接着将反证法所适用的命题形式大致分为八种一一作详细的论述，这八种命题是：根本命题、限定式命题、存在性命题、无穷性命题、唯一性命题、否认性命题、肯定性命题、一些不等式命题，最后在本文结束前列举两个关于反证法在生活中的实际应用。关键词：反证法；证明；假设；矛盾；结论AbstractThereductioadabsurdummethodofproofofmathematicsfromtheoppositepointofviewthink,belongtoaclassof"indirectproofoftheLaw.Basicsteps:giventheknownconditionsinthetitlebesuretonegatetheneedtoprovetheconclusion,whichdenytheconclusionsandtheknownconditionsintheoriginalpropositionforcorrectreasoningexportcontradiction,soinordertoaffirmtheoriginalpropositionconclusionsarecorrect.Themaincontentofthisarticleisthefirstonthedefinitionofreductioadabsurdum,therationalesupportingthestepstoprovetheprocessofhowtoproperlydenythepropositionconclusionsandcontradictionsformasimpleset.Thenthereductioadabsurdumoftheapplicableformofthepropositionisbroadlydividedintoeightkindsofelevenforadetaileddiscussionoftheeightpropositions:thebasicproposition,limitthetypeproposition,theexistenceofpropositions,endlessproposition,theonlyproposition,negativeproposition,certainlysexualproposition,someinequalitiesproposition,thelastbeforetheendofthisarticlecitedtwoofreductioadabsurduminthereal-lifeapplications.keywords：Reductioadabsurdum;Prove;Hypothesis;Contradiction;Conclusion1.研究反证法的必要性我们在解决数学问题时，一般总是习惯从正面入手，利用常规的思维方式来进行思考，以便找到解决问题的方法，这被称之为正向思维。在学习和应用的过程中如果我们长期使用这种思维模式来解决问题就会形成一种思维定势，从而导致自身思维方式单一性，也不利于自己思维广度和深度的开展。在实际生活和学习中我们往往会遇到一些较为特殊的问题，有些难以从正面找到突破口，有些不太符合我们惯常的逻辑方式，这时就要以辩证的态度打破常规方式，运用逆向思维分析解决问题，即运用反证法的思想去解决问题。尤其在数学命题的证明中，反证法能往往可以起到直接证法所起不到的作用。如果能恰当地使用反证法，就可以简化、缩短问题解决过程。与此同时，现代教育理念也要求教师在数学教学的过程中有意识地向学生渗透从反面出发寻找解决问题的思维方法，培养学生的逆向思维能力，这对于开展学生的智力，培养学生的思维能力等方面都起到至关重要的作用。牛顿也曾说反证法是数学家最精当的武器之一。这些充分肯定了这一方法在数学中的积极作用和不可动摇的重要地位。针对我国教育现状制定的数学课程目标中明确指出了反证法的重要性。教育部于2001年制订的《全日制义务教育数学课程标准》(实验稿)中就指出:“应关注证明的必要性、根本过程和根本方法”，“反证法也是一种重要的证明方法，教学中可以通过生活实例和简单的数学例子，使学生体会反证法的思想。但在义务教育阶段不必给出反证法的证明格式。”在《普通高中数学课程标准))(实验稿)中也要求学生结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种根本方法—反证法，并且了解反证法的思维方式、思维特点。结合我自己的学习经历发现掌握反证法不仅对初高中阶段的数学学习和逻辑思维能力的培养具有重要的促进作用，并且对大学阶段的数学学习具有不可小觑的积极作用。由于反证法所蕴涵的具有严密逻辑性的思维方式，所以此类型题型也是各类考试的必考点。这更进一步说明了反证法在数学教学中的重要性。作为数学中如此重要的一种证明方法，反证法在训练学生思维方式方面的重要性以及其在数学课程目标中的重要性，这些都有力的说明了研究反证法的必要性。2.有关反证法的根本内容本小节中，我将主要就反证法的定义、逻辑依据、证明步骤以及在应用反证法是应该注意的问题做一详细论述。2.1.反证法的文字定义反证法〔又称归谬法、背理法〕属于“间接证明法”一类，是从问题的相反方向着手思考问题的证明方法。法国数学家阿达玛对反证法的实质概括为：“假设肯定定理的假设而否认其结论，就会导致矛盾”。具体的讲就是:首先假设待证问题结论的反面不成立,也就是肯定待证结论的反面,并把这一点作为补充,添加到给定的假设中去,然后从原假设和补充假设出发,通过正确的推理,最终得出矛盾,由此说明待证结论的反面不成立,从而即可肯定待证的结论。在使用反证法证明题目的时候，如果不用到“假设”，就不能称之为反证法。一般可以将反证法“归谬法”和“穷举法”。“归谬法”一般是指经过正确的假设之后，需要证明的情况只有一种；“穷举法”那么是指结论的反面有多种情况，这时就需要将所有的反面情况一一驳倒。例1△ABC的三边为，，，，求证：。证明：假设因为△ABC是直角三角形，且，所以，即。由假设可得，那么有这与结论相矛盾，因此假设不成立，所以2.2.反证法的逻辑依据反证法的理论依据是形式逻辑中的两个根本规律——矛盾律和排中律。“矛盾律”的意思是：在同一个论证的过程中如果出现两个相反论断或互相否认的论断，那么其中至少有一个是假的。而“排中律”的意思那么是说：任何一个判断只有两种结果，或者为真或者为假，二者中必然存在一种。矛盾律是传统逻辑的根本规律之一。它的表述方式为“A不是非A，或A不能既是B又不是B。”这句话可以理解为在一个持续的思维过程中，对同一个对象不能既肯定它又同时否认它，这样就等于作出了一个自相矛盾的判断。在此领域内，矛盾律首先被作为描述事物规律而提出来，意思是任何一个事物不能同时既具有某种属性又不具有这一属性。要是把它作为思维规律来理解，那么意思是任何一个命题不能既是真的同时又是假的。矛盾律也是一种认识活动的标准性规律，意思是为不应对一个命题同时给予肯定和否认，也就是说对一个命题的正反两方面不应该都表示赞同，以免自相矛盾。矛盾律还被看成是关于逻辑语义的规律，在此要求针对同一篇文章，同一个词语或句子不应该既表达某种思想同时又否认这种思想。在思考过程中一旦违背了矛盾律的要求，那么思维就会走进一个逻辑自相矛盾的怪圈。而任何含有逻辑矛盾的思想都是错误的，所以一个正确的思想就必须剔除这种矛盾性。排中律也是传统逻辑根本规律之一。通常的表述方式为“A是B或不是B。”在传统逻辑中，排中律也被当做事物规律、思维规律、认识活动的标准性规律以及逻辑语义的规律。它与矛盾律的不同之处在于要求人们思维必须明确是与不是。排中律是对矛盾律的补充和发挥，进一步明确指出正确的思维不仅要求确定、不互相矛盾而且应该明确地表示出肯定还是否认，不可以模棱两可或模糊不清。排中律和矛盾律都不允许有逻辑矛盾，如果违反了排中律，那么同时也就违反了矛盾律，所以两者是互相联系的。它们的区别在于：矛盾律表示两个互相矛盾的判断，不能同时为真；排中律那么指出两个互相矛盾判断，不能同时为假。2.3.反证法的证明步骤一般将反证法的证明步骤分为三步第一步假设：假设所要证明的结论不成立，而假设结论的反面成立；第二步归谬：由“假设”出发，通过正确的推理得出与的条件﹑的公理﹑的定理﹑的定义及明显的事实等矛盾，或者自相矛盾的结论。〔由矛盾律得〕第三步结论：因为推理正确，那么可以肯定产生矛盾的原因就在于“假设”的错误，由于结论的反面不成立，从而证明了原结论成立。〔由排中律得〕由以上的证明步骤可以看出，反证法的每一步骤都有其逻辑依据，因此它是一种科学的证明方法。下面用一个例题来详细分析它的证明步骤。例2如果a是大于1的整数，而所有不大于a-1的素数都不能整除a，那么a是素数。证明：假设：假设是合数，记归谬：由于不能被大于1且不大于的素数整除所以,从而,这与假设矛盾，结论：故是素数。2.4.运用反证法应注意的问题对于多数比拟特殊的数学命题都可以用反证法证明，但在使用时会因为题目的不同而表现出会各异的难易程度。因此，尽管说反证法是数学中一种重要的证明方法，但这并不意味着所有的命题都适合用此种方法来证明。一般在证明命题时，要先用正向思维的方式，如果遇到困难时再考虑反证法。以下我将针对反证法的证明特点就如何正确否认命题和常见的矛盾形式作简单阐述。2.4.1如何正确的否认命题运用反证法证明命题的第一步就是假设命题的结论不成立，意思就是假设结论的反面成立。在这一步中，必须注意合理正确的“否认结论”。如果假设错误，即使在之后的推理证明过程中再好也是徒劳无功，因此可以说正确否认命题是运用反证法的前提。在否认命题的结论之前，首先要清楚命题的结论是什么。当命题结论的反面只有一种情况或很明显时就比拟容易正确否认，如果命题结论的反面有多种情况或难以否认时就必须认真分析、仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头验证一下此时“假设”的反面是不是刚好是原命题的结论。例如：命题“一个三角形中，至少有一个内角是锐角”。在此命题中“至少有一个”的意思是“可能有一个、两个或全都是锐角这三种不同的情况”，它的反面就是“没有一个是锐角”。现在将常见的结论及其否认形式列表如下：表1常见结论极其否认形式原结论词假设词原结论词假设词是不是不存在存在都是不都是至多有一个至少有两个≤〔或≥〕＞〔或＜〕至少有n个至多有n－1个2.4.2常见的矛盾形式运用反证法证明命题的第二步是：从假设出发，通过正确有效的推理论证，得出矛盾。在证明过程中出现的矛盾形式是各种各样的，这些矛盾可能与题设或局部题设矛盾，可能与真命题〔定义、公理、定理或性质〕相矛盾，可能与临时假设矛盾，也可能推出一对相互矛盾的结果等。在这一过程中，整个推理必须准确无误，这样最后得出的矛盾才是有效的。对于一个用反证法证明的命题来说什么时候出现矛盾，出现什么样的矛盾是不可知的，这种不确定性正是反证法推理的特点所在。因此，在推理结束前没有必要也不可能预测到要得出什么样的矛盾。要做的只是按照反证法的证明步骤先正确否认结论，再严格遵循推理原那么，进行步步有据的推理，一旦出现矛盾，也就预示着证明结束。例3求证大于1的任何整数一定有质因数。证明：假设至少有一个大于1的整数没有质因数，即且不是质数〔因为质数本身是质因数〕，那么必为合数。因为为合数，那么必有一个不等于的真因数，故，这里也必不是质数〔否那么，有质因数〕；同理，也有一个质因数,使，也必不是质数。依次类推，可得。这说明，在与1之间有无限多个不同的整数，这与一个确定的整数与1之间只能有有限个不同的整数有矛盾。由矛盾得出假设不成立，那么大于1的任何整数一定有质因数。反证法的实际应用3.1．反证法适用的命题形式3.1.1根本命题根本命题，即学科中的起始性命题。这一类的命题由于条件及能够应用的定理、公式、法那么比拟少，或由题设条件所能推出的结论很少，所以直接证明起来比拟困难，此时如果使用反证法就比拟容易了。像平面几何、立体几何等，在按照公理化方法建立它们的科学体系时，最初只有少量的定义、公理可以应用。因此，初始阶段的一些性质和定理很难通过直接推理得到，这事就比拟适合使用反证法来证明。例4求证两条直线如果有公共点，最多只有一个。证明：假设这两条直线a，b有两个公共点A，B，那么A，B既在直线a上，也在直线b上，因为过两点可确定一条直线，所以直线a，直线b重合，这与题设矛盾。因此假设不成立，原命题正确。3.1.2限定式命题限定式命题，一般指结论中含有“至少”、“至多”等词语的命题。这一类别的命题可根据常用词的否认形式列表先给出正确的否认，然后再正确有效的进行推理。例5函数在上递增，试证明方程至多有唯一实根。证明：假设方程有两个不同实根、，那么，；不妨设，根据在上递增，，此与矛盾，因此方程至多有唯一实根。3.1.3存在性命题存在性命题，即结论中含有“存在……使……成立”词语的命题。此类命题要先将满足条件后才成立的结论进行正确反设，然后运用反证法的证明步骤进行推理得出矛盾，完成证明。例6设x，y∈〔0,1〕,求证:对于a,b∈R,必存在满足条件的x,y,使|xy-ax-by|≥成证明：假设对于一切x,y∈〔0,1〕使|xy-ax-by|＜恒成立，令x=0,y=1,那么|b|＜令x=1,y=0,得|a|＜令x=y=1,得|1-a-b|＜但|1-a-b|≥1-|a|-|b|＞1--=产生矛盾,故欲证结论正确。3.1.4无穷性命题无穷性命题一般是指需证明的结论有无穷多种形式或结果，一般假设其结果只有有限个，然后通过合理有效的推理得出除过的这有限个外还存在另外一个满足条件的形式或结果，以此来推出矛盾，到达证明的目的。例7求证：素数有无穷多个。证明：假设素数只有n个：P1、P2……Pn，取整数N=P1·P2……Pn+1，显然N不能被这几个数中的任何一个整除。因此，或者N本身就是素数〔显然N不等于“P1、P2、……Pn”中任何一个〕，或者N含有除这n个素数以外的素数r，这些都与素数只有n个的假定相矛盾。故素数个数不可能是有限的，即为无限的。3.1.5唯一性命题唯一性命题，即结果指定唯一的命题。一般情况下假设存在两个满足条件的数或结论，然后进行有效的推理证明得出它们相等，从而肯定满足条件的结果只有一个。例8证明的方程有且只有一个根。证明：由于因此方程至少有一个根，假设此方程有两个不同的根即将两式相减，得：=0因为，所以，所以应有，这与矛盾，故假设错误。所以，当时，方程有且只有一个根。3.1.6否认性命题否认式命题，即结论中含有“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题。此类命题的反面比拟具体，适于应用反证法。例9证明：不存在整数，使得成立。证明：假设存在整数，使得成立。那么，于是有。因为得奇偶性相同假设同为奇数，那么它们的积也是奇数，这与2006的奇偶性矛盾。假设同为偶数，那么它们的积能被4整除，而，矛盾。综上所述假设不成立，那么原命题成立。3.1.7肯定性命题即结论以“……总是……”、“……都……”、“……全……”等出现的，这类肯定性命题可以用反证法试试。例10证明是无理数证明：假设是有理数，那么可以将表示为分数形式，即：、为互质的自然数〕，那么有故2必为的因数。于是可设为自然数，故2又为的因数，因此、有公因数2，这于、q为互质的自然数矛盾。所以假设是有理数不成立，即是无理数。3.1.8一些不等式命题限定式命题，即结论中含有“至少”、“最多”等词语的命题。此类命题可根据常用词的否认形式列表予以正确否认，然后正确有效的进行推理。例11假设，，求证。证明：假设，那么有从而有展开移项得那么与中必有一个不为零，即或中必有一个成立，这与相矛盾，那么假设是错误的。因此成立例12假设p＞0，q＞0，＋＝2。试用反证法证明：p＋q≤2。证明:假设，∵，∴又∵。代入上式得：。即①又由得②由①②得∵∴即这与矛盾故原命题成立3.2．有关反证法在实际应用中的趣闻故事一：从前有个叫王戎的小朋友，一天，他和伙伴外出发现路边的一棵树上结满了李子，其他人都一哄而上抢着去摘那些李子，尝了之后才发现是苦的，唯一没有行动的王戎说：“如果李子不苦的话，路上的人早就摘光了，可这颗树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎就很好的使用了反证法说明了李子为什么不甜，不好吃。故事二：有一天，牛头马面把一个人高马大的鬼带进阎王殿。阎罗王怒拍惊堂木道