江西省萍乡市2024届高三二模考试数学试卷（解析版）

【新结构】（萍乡二模）2023-2024学年江西省萍乡市高三二模考试

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.集合A={+-1<X<2},B={X|—2<x<m},若尤eB的充分条件是xeA,则实数皿的取值范围是

（）

A.（-1,2）B.[2,+oo）C.（-2,2]D.（2,+oo）

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意A是5的子集，从而求解.

【详解】A={x|-l<x<2},B={x|-2<x<m},

因为xeB的充分条件是九64,所以

则m>2,

故选：B.

2.复数z=（2+3i）（3+2i）,下列说法正确的是（）

A.z的实部为12B.z的虚部为13i

C.z=12-13iD.|z|=13

【答案】D

【解析】

【分析】先化简复数z,然后结合选项分析即可求解.

【详解】由于复数z=（2+3i）（3+2i）=6+4i+9i—6=13i,

所以z的实部为0,虚部为13,故AB错误；

所以N=-13i,恸=13,故C错误，D正确.

故选：D.

3.已知随机变量JN（2,9）,且P（JW1）=尸信2a+2）,则。=（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【解析】

【分析】结合正态分布的性质直接得到答案即可.

【详解】随机变量自N（2,9）,

所以Pqwi）=P&23）=PqNa+2）,所以a+2=3,故a=l.

故选：C.

4.已知|。|=2,b=（l,JI）,|a—2b|=2,则向量a与匕的夹角为（）

7C兀2兀57c

A.—B.—C.—D.—

6336

【答案】A

【解析】

【分析】首先求出忖，然后对卜-2可=2两边平方即可求出a.b的值，然后即可求出cos。/的值，最

后得出答案.

【详解】因为匕=（1,血），所以忖=,12+（&）2f,

又同=2,卜—2'=2,+必2-4a.b=4+12-4a•/>=4，解得a-〃=3，

,_a-b_3_A/3兀

■■-C0S^=HH=WF=T>且［。同，.“力=丁

TT

即向量々与匕的夹角为：.

6

故选：A.

5.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知

一木制陀螺内接于一表面积为64兀的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面

上，若圆柱的底面直径为4指，则该陀螺的体积为（）

A.48兀B.56兀C.64兀D.72兀

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意易得陀螺的外接球半径R=4,球心为圆柱的中心，再利用球的几何性质，分别求出圆

柱与圆锥的高，最后根据体积公式，即可求解.

【详解】如图：做陀螺的轴截面，则陀螺的轴截面内接于圆。，设圆。的半径为R,圆柱的底面半径为

由4兀氏2=64兀=>R=4,球心为圆柱的中心,

又圆柱的底面半径r=26，所以球心到圆柱底面距离d=JR?—产=2,

所以圆柱的高为2J=4,圆锥的高为/z=R—d=2,

所以该陀螺的体积为V=兀/义4+,兀/义2=4871+871=56兀.

3

故选：B

1r\〔r\IO

6.已知〃二」一乃二一,c=V一,则这三个数的大小关系为()

42ee2

A.c<b<aB.a<b<c

C.a<c<bD.c<a<b

【答案】C

【解析】

12

【分析】令/'(x)=」竺，利用导数可知"X)在(o,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，结合e<巨<4,

2x2

可得答案.

“、Inx、2-21nx

【详解】令/⑺二二/⑴=下匚，

所以“X)在(o,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

e2e2

因为c：2—ln2=Ine?—In2=皿万=上万;

C222>2Jc

且。=『=y(4),b=\=y(e),

则〃e)>/->/(4),a<c<b.

I2J

故选：C.

7.点/将一条线段A3分为两段AM和MB,若处叫=1二1,则称点M为线段A3的黄金分

ABMA2

割点.已知直线y=a(-1<a<1)与函数y=sin(cox+°)的图象相交，A5c为相邻的三个交点,贝！)

()

A.当。=0时，存在。使点B为线段AC的黄金分割点

B.对于给定的常数。，不存在。使点B为线段AC的黄金分割点

C.对于任意的。，存在/使点8为线段AC的黄金分割点

D.对于任意的。，存在。使点B为线段AC的黄金分割点

【答案】D

【解析】

【分析】依题意，作出图形，结合题意可分析计算得出答案.

【详解】若包=必二1,则典=注1=苴二1,

AB2MA75-12

即把=避二1二点加为线段AB的黄金分割点，

AB2

AB

当。=0时，——=1,不存在。使点8为线段AC的黄金分割点，故选项A,C错误；

BC

如下图，当a―>1时，----->0,当a—>—1时，----->+<x>,则---e(0,+8),

BCBCBCv7

则存在一个％e(—1,1)使得四=1二1,故选项B错；

BC2

对于选项D,若y=sinx与y=a(-l<a<l)相交于相邻的三点A,B,C,

A3x—x

其横坐标分别为七,42，七(玉W*24演)，则芯=_2_

将y=sinx变换成y=sin(ox+0)后，点A3,C分别对应到点A',B',C,

且满足x；=3,"=4，"=皿

CDCDCD

空,即⑥。对比值四无影响，故选项D正确.

ACAC

8.如图1,与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心

22

被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心.如图2,已知耳，工是双曲线二-1=1(°>0/>0)的

ab

左、右焦点，尸是双曲线右支上一点，。是△「£区的一个旁心.直线尸。与x轴交于点若

%=6,则该双曲线的渐近线方程为()

Cy=±*x

A.y=+—xB.y=±2D.y=+y/2x

-2

【答案】D

【解析】

【分析】根据双曲线的几何性质，角平分线性质，化归转化思想，即可求解.

【详解】解：因为。是的一个旁心，所以马。平分/PgM，所以点/=黑=6,

---\F2P\\QP\

p耳耳M

又PM平货4F\PF],所以岛=篇，所以

明\mf\

I*I2阿|

2a2cc\MF?\

即由二网，所以，=西=

所以2==血，所以该双曲线的渐近线方程为y=±0x.

a

故选：D

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

2an，〃为奇数

9.数列｛%｝5eN*)的前几项和为S“，若4=1,an+l=<J_冏为偶数，则下列结论正确的是

an'

()

A.。3~2B.S］。=12

c.｛S"｝为递增数列D.｛4〃—｝为周期数列

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题意，分别求得外,出，生…，得到数列｛%｝构成以4为周期的周期数列，逐项判定，即可

求解.

2a,，〃为奇数

【详解】解：由题意，数列｛4｝满足%=1，an+i=<]_〃为偶数，

11

当”=1时，。2=26=2,当九=2时，%=不=5，A错误；

当〃=3时，。4=2。3=1；

若九为奇数，则〃+1,〃+3为偶数，〃+2,〃+4为奇数，

11-11

则=2aH，°"+2=-----=--，an+3=2。“+2=-，an+4=---=4;

4+12a,tanan+3

若“为偶数，则〃+1，〃+3为奇数，〃+2,72+4为偶数，

1c21a

则4+1=——，an+2=2。“+1=—,。“+3=-----=—,a,.=2。计3=an-

a”/

所以数列｛4｝是以4为周期的周期数列.

=211+2+5+I)+1+2=12,B正确:

故Ho=q+/+生++%o=2(%+%+/+〃4)+%+%o

又由为〉0,故｛S.｝递增，C正确；

由上述讨论可知，的项为1，；，1，故是周期数列，D正确.

故选：BCD.

10.已知2〃=5〃=10,则下列关系正确的是（）

A.ea~b>1B.a+b<ab

c.a+4b<9D.J+l]+[（+2]>8

【答案】AD

【解析】

【分析】利用对数的运算法则化简，结合作差法和基本不等式比较大小，依次判断各选项.

【详解】因为2a=5&=10,

所以。=108，10=1+1。825=工/=108510=1+10852=工

-lg2lg5

,11lg5-lg2

对A选项，^—>0,所以e"»>e°=1，故A正确;

lg2lg5Ig5-lg2

,,1111Ig5+lg2-lIglO-l

对B选项，a+b—ab=——+-------------=~----°----

lg2lg5lg2lg5Ig5-lg2Ig5-lg2

所以a+/?=a/?,故B选项不正确；

对C选项，因为a,b>。，—I—=1g2+1g5=1,

ab

所以0+4〃=(。+4〃)[工+4]=竺+色+5之2、^^+5=9,

\ab)ab\ab

而aw2b,故上述不等式等号不成立，则a+4b>9,故C不正确；

对D选项，[工+1]+['+2]=Qg2+l)2+(lg5+2)2=(lg2+l)2+(l—lg2+2)2

=21g22-41g2+10=2(lg2-1)2+8>8故D正确.

故选：AD

H.设。为坐标原点，直线/过抛物线C：V=4x的焦点尸且与。交于A3两点，满足

MF=2OF,BN=2ON,AM与NF相交于点、P,则下列结论正确的是（）

11,

A.ABMNB.------1------=1

MNAF

C.OPOF>0D.「4Vp面积的最大值为1

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据抛物线标准方程，结合向量关系求选项A；进而根据四边形BAGVF为平行四边形求选项B；

当工无轴时，根据对称性求选项C；最后设A（内因为/过焦点产，则%%=-4,则

kMA+勺仍=°，求选项D.

【详解】因为M户=2OF，则。平分线段MR,又BN=2ON，则。平分线段BN,

则四边形3M为平行四边形，故A对；

因为四边形创小丁为平行四边形，所以初V=3F,

112

对于抛物线可证其有性质【由+量而=一,证明如下：

若&S斜率存在，设（4B：y=k（x-^,A（%，M）,5（%,%），

与方程y2=2px联立，得：左2好一夕（/+2封+?=0,

由直线过焦点，A>0成立，

•T+”宁。，中2=7

11_11_%+%2+P

\AF\\BF\~J—/T、p?

占+]X1+~2Xi%+,（芯+々）+彳

p~pk2+2p-p，

----------1-------•------------------1----------

42k24

若乙B斜率不存在，则5：X=g,易求得|”|=忸刊=0,

112

-----1-----——,

\AF\\BF\p

1111

故----1----=-----1-----=1,故B对•

AFMN\AF\\BF\

当AB工光轴时，根据对称性，尸在y轴上，此时OROk=0，故C错;

2

对于抛物线可证其有性质y,y2=-p,证明如下:

设人（%,%）,5（程为），因为/过焦点户,

设（4B：x=my+^,

与方程;/=2px联立，得：y2-2pmy-p2-0

2

则%%=-4，则

r.,K.%,为4弘，4y24%4+16%+4%»+16%.二

IMB--尸-/+5-一（才+4府+4）——。，

则NWOn/BMO,又NNFM=NBMO,则NNF7W=/AMO,

即△正〃/为等腰三角形，且y轴为狼的垂直平分线，故尸必在y轴上，

此外，MNAB，则SAMN=SFMN，则SAW,=SFMP=；|MFHOP|=|OP|,

当M4与抛物线。相切时，|。尸|取得最大值1,即§4心的最大值为1,故D对，

故选：ABD.

,112

【点睛】关键点点睛：若线段A3是抛物线V=2px的一条过焦点F的弦，贝［由q+而］=}

%%=-。2.

第n卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.一种春节吉祥物为分布均匀的正十二面体模型（如图），某兴趣小组在十二个面分别雕刻了十二生肖的

图案.若其中的2个成员将该模型各随机抛出一次，则恰好出现一次龙的图案朝上（即龙的图案在最上面）

的概率为.

【答案】—

72

【解析】

【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式直接计算可得答案.

【详解】因为1个人抛出一次时龙的图案在最上面的概率为上,

12

所以2个成员各抛一次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为+=

1212121272

故答案为：—

72

13.在中，点。,E分别在边5cAe上，BC=3BD,AC=2AE,若AD,BE交于点/,则

—=；当3C=3,AC=4,A3=2时，^ABI面积为.

IE

【答案】①.1②.之叵

16

【解析】

【分析】利用平面向量的基本定理，可得=用待定系数法可得丝的值，再结合余弦

24IE

定理和三角函数值计算出sinA,利用三角形的面积公式可得答案.

【详解】因为AC=2AE,所以AC=2AE，

因BC=3BD,所以=

令号=2（2e（0,1））,所以司=4加，所以

1121

AI=AB+BI=AB+——BE=AB+——(AE-AB}=--------AC+——AB

1+21+2，>2(1+2)1+2

因为3,/,E共线，所以A/=xAB+(l—x)AE=xAB+宁AC,①

因A,1,D共线，

所以3/=yBA+(1_y)3DnA/—AB=_yAB+(1_y)•g(AC_AB),

所以A/=^^AB+3Ad②，

33

2-2y

x---------

31

联立①②，〈解出

、2一3

故A/=LAB+」AC,所以工=」一,解出2=1,故再=1；

2421+2IE

+.iz.34AB~+AC2—BC^4+16-9_n

在AAAnBT/中，由余弦TE理，cosA=-----------------------

2ABAC2x2x4-16

因为A£（0,兀），所以sinA=

SABC=-AB-AC-sinA=-x2x4x^^-=^^-,

ABC22164

则SAB,‘SA"3岳

t\DL4ADC

16

故答案为：①1；②遮.

16

14.正方体ABC。-44C1R的棱长为2,P为该正方体侧面内的动点（含边界），若尸4尸8分

别与直线A。所成角的正切值之和为夜，则四棱锥尸-A6CD的体积的取值范围为.

【答案】

【解析】

【分析】利用空间向量的数量积与角度的关系，列出PAM分别与直线AD所成角的正切值之和的表达

式，从而得到点P的轨迹为在平面CG9。中以点£）,C为焦点的椭圆被平面CGA。所截曲线，可得点

尸到平面A3CD的距离的取值范围，最后利用棱锥的体积公式计算得到答案即可.

【详解】在正方体ABC。—A4G。中，以A为原点，以AB.AOM所在直线为苍轴建立空间直角

坐标系A-xyz,p(x,2,z),A(0,0,0),B(2,0,0),£>(0,2,0),

PA=(-x,-2,-z\PB=(2-x,-2,-z),AD=(0,2,0),

PA-AD^|(-x,-2,-z)(O,2,O)|2

因为cosPA,AD=|一y-j—n-

PA-AD274+x*23+z274+x2+z2

所以sinPA,AD=Jl--------v~~7%2+z2

V4++z-4+X2+Z2

PBADJ(2-x,-2,-z)(0,2,0)|2

因为cosPB,AD=|----r-j-------1

PB-AD2,4+(2-x>+z2也+(2-x》+z2

J1"(2：)2+Z2(2-X)2+Z2

所以sinP8,AD=

4+(2-X)2+Z2

所以tanPA,AD+tan/"D=在『+『EE=g

Jx2+z~J(2-x))+z~^(2—2)-+(%—0)~+(z—0)-

2+22

所以:__________

J(2-2)-+(X-2)2+(Z-0)~_

整理可得点p（2,x,z）到点r＞（2,0,0）和点C（2,2,0）的距离之和为2后，

所以点尸的轨迹为在平面中以点为焦点的椭圆被平面CCRD所截曲线,

则点P到平面A3CD的距离〃的最大值为1,此时点P在。。中点的正上方；

最小值为注时，点P在点。或者点。的正上方，

2

14204

所以四棱锥P—ABCD的体积为％YBCO=-H-SABCD=§丸e

-2724一

故答案为：4-,-.

33

【点睛】关键点点睛：本题考查利用空间向量解决空间角问题，涉及三角函数的计算以及空间点与点之间

的距离的转化，其关键是通过计算得出动点P的轨迹方程，即

tanPA,AD+tanPB,AD=''++也-X)+z=g，

22

结合椭圆的性质得出距离的取值范围，再根据锥体的体积公式即可解决问题.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=必Inx.

(1)求/(尤)的单调区间;

(2)若存在x>0,使得/(%),,狈成立，求实数。的取值范围.

C_1ArI>

【答案】(1)单调递减区间为0,屋5,单调递增区间为e-5,+”.

V7\)

(2){t?|Q.>----}

e

【解析】

【分析】(1)先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解；

(2)由已知不等式成立，先分离参数，结合成立与最值关系的转化即可求解.

【详解】⑴因为/'(x)=x(21nx+l),x>0,

令/'(x)=。,解得

当尤e0,e-2时，/'(九)<0,了⑺单调递减,

(二\

当犬we2,+。时，『⑺单调递增，

则/(、)的单调递减区间为,单调递增区间为屋万,+“

V7V)

(2)依题意，存在了>0,使得

令g(x)=xlnx,贝!|g'(x)=lnx+l,

当时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

当xe时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

故g(xL,=g[]=_；，因此ai：，

故a的取值范围为｛。|。2-工｝.

e

16.定义两组数据为,%"=L2,.")的“斯皮尔曼系数”为变量处在该组数据中的排名A和变量1在该

组数据中的排名为的样本相关系数，记为「，其中夕=1——y了.

某校15名学生的数学成绩的排名与知识竞赛成绩的排名如下表：

123456789101112131415

%153498761021214131115

(1)试求这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”；

(2)已知在这15名学生中有10人数学成绩优秀，现从这15人中随机抽取3人，抽到数学成绩优秀的学

生有X人，试求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)0.8；

(2)分布列见解析，数学期望为2.

【解析】

【分析】(1)根据“斯皮尔曼系数”的计算公式即可求解.

(2)X的值可能为0,1,2,3,计算出各自对应的概率，列出分布列并求出数学期望.

【小问1详解】

依题意，p=l-jj-^--(9+16+4+4+l+64+l+4+9)=0.8,

所以这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”是0.8.

【小问2详解】

依题意，X的值可能为0,1,2,3,

C；2C«20

尸x=o)=m=

C：591*一91

c沁45%_24

P(X=2)=我上■=—,P(X=3)=-^

919~91

则X的分布列为:

X0123

2204524

P

91919191

204524

所以X的数学期望为E（X）=l'+2x品+3须=2.

27c

17.如图所示的几何体是圆锥的一部分，A为圆锥的顶点，。是圆锥底面圆的圆心，是

3

弧上一动点（不与民C重合），点M在A5上，且A〃=3VB,OA=j3OB=j3.

JT

（1）当/60P=—时，证明：A31平面MOP；

2

（2）若四棱锥M—OCP3的体积大于等于追

16

①求二面角5—AO—P的取值范围;

②记异面直线AP与30所成的角为e,求cose的最大值.

【答案】（1）证明见解析;

^兀兀

⑵①6^②且

4

【解析】

【分析】（1）结合余弦定理与勾股定理可证,再由QP，03,AO，OP,可得OP，平面AOB,

从而有OP工A6,再由线面垂直的判定定理，即可得证；

(2)①设NBOP=e，则二面角B-AO-P的平面角即为。，易得四边形OCPB的面积

S=心sin(e+，，由V23,兀兀

可得,即二面角3—AO—P的取值范围;

2V6)1662

②以。为坐标原点建立空间直角坐标系，用含。的式子表示出点尸的坐标，再利用向量法求异面直线夹角,

即可求解.

【小问1详解】

]JI

由题知AB=2,在中，OB=1,MB=—,NMBO=—,

23

求得OM=且，则5加2+。加2=6。2,；,ABLOM

2

71_

又NBOP=-,AO±OP,AO±OP,OAOB=O,u平面AOB,

2

故OP_L平面AOB,

又ABu平面AOB,所以。

又OPcOM=O,OP^OMu平面MOP,

.:■工平面〃。。

【小问2详解】

①设N50P=e,AO，30,AO,OP,则二面角3—AO—P的平面角即为e,

在。8上取点N,使ON=3NB,连接MN,

：.MNOA,MN=-OA=—，

44

四棱锥M—OCPB的体积v=L，S.s="s，

3412

其中S表示四边形OCPfi的面积，

则S=；OP.OBsinG+；OP•OCsin[g-d]

1..1(y/3c1.n

=—sin"+—|——cost/+—sine/

22(22J

3.„A/3E.1.J，

=—sin，dcos，=——sin，+一|,

442I6

由V2立，可得sin（e+?]23,

16I6j2

„-2兀.7i„兀57r

0<0<—，则一<9+一<—,

3666

故解得,

363162」

7171

即二面角3—AO—尸的取值范围为；

o2_

②以。6方向X轴正方向，在々。。内垂直于。2的方向为y轴正方向，Q4方向为z轴正方向建立空间

直角坐标系，

则0（0,0,0）,A（0,0,A/3）,3（1,0,0）,尸（cos。,sin。,0）

AP=（cos。,sin。,—6），OB=（1,0,0）,

cosQt=cos（AP,OB）=^-|cos6>|

cos6>e

J_Po72J'll2

即cos。的最大值为\5.

4

18.已知椭圆£：工+±=1（。〉6〉0）的离心率为正,45是£上的不同两点，且直线AB的斜率为

ab-2

-1,当直线AB过原点时，|AB|=4.

（1）求椭圆E的标准方程;

（2）设。（0,3）,点A,3都不在y轴上，连接PA,尸6,分别交E于两点，求点尸到直线CD的距

离的最大值.

22

【答案】（1）E:匕+土=1；

63

⑵—.

2

【解析】

【分析】（1）由题，利用弦长公式列出A3弦长的表达式，结合椭圆的离心率，计算可得答案；

（2）联立直线24,求出点C坐标，同理可得3点坐标，对立CD方程，可知直线CD的图象性质，故

分析可得结果.

【小问1详解】

a2aa2

当直线A5经过原点时，直线A5的方程为：

设人（内，%），5（—七,一”），

y=-x

联立直线AB与椭圆E的方程Iy2x2

结合。2=2/，得3才=2/,

一+~7=1

b

所以|A@=Jl+（_1）2|2力=4,解得X；=2,

22

故。2=3,/=6,即椭圆E的标准方程为石：二+土=1；

63

【小问2详解】

设4（%,%）,5（%,%），。（不，%），。（%4，”），

可知Q4的斜率存在，设为左，

则上=二---（兀3。°），直线P4的方程为y=^+3,

X3

y=kx+3

联立直线出与椭圆E的方程，〈22

y「-1,

l63

整理得(42+2)x?+6kx+3=0,

其中A=36左2—12（左？+2）=24（%2—1）＞0,得左＜一1或左＞1,

同理可得3=?易知CD的斜率不为0,设CD的方程为彳=冲+",

（5-2”5-2%）

34+祖5_2%）一（吵+祖5-2”）_（5〃7+2”）（为一乂）

（5-2”）（5-2%）—（5-2%）（5-2%）

y_12-5%_12-5%=%一乂

-2''5-2为5-2%（5-2%）（5-2%）'

4

又^AB=~~~-I\/r=-1,贝I2〃+5m=1,

马一石-[5m+2n）[y3-y4）

对比CD的方程可知，直线CD恒过定点eQ,|^|,

设点P到直线CD的距离为d,则d＜|P@=Jg—o]+g—3]=与,

J?

当且仅当PQ，CD时，点尸到直线CD的距离取到最大值注.

2

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（再,％）,（9，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算A；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为石+々,为々的形式;

(5)代入韦达定理求解.

19.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线的方

(XX、

fpCIpCX.-X

程为，其中C为参数.当C=1时，该表达式就是双曲余弦函数，记为coshx=/^,

y=^---------Z2

-2

悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.已知三角函数满足性质：①导数：

।sinx)—cosx

<,；②二倍角公式：cos2x=2cos2x—1;③平方关系：sin2x+cos2A:=1•定义双曲

(sinx)=-cosx

正弦函数为sinhx=e"-e'.

2

(1)写出sinhx,coshx具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；

(2)任意%>0,恒有sinhx-Ax>0成立，求实数人的取值范围；

17

(3)正项数列｛%｝(〃eN*)满足％=。>1,a“+i=2a；-1,是否存在实数0,使得生024=一?若存

8

在，求出。的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)答案见解析

(2)(-8,1]

1(IT)17

(3)存在实数a=：2产”+22的，使得%°24=又成立.

21)8

【解析】

分析】(1)①求导数，②用二倍角公式，③利用平方关系；证明即可;

(2)构造函数尸(x)=sinhx-立，求导数，利用导数讨论函数的单调性，求左的取值范围即可;

(3)方法一、求出％,a2,a3,猜想a“，用数学归纳法证明即可.方法二、构造数列｛五｝,