2024年5月厦门市高三数学第四次模拟考试卷附答案解析

2024年5月厦门市高三数学第四次模拟考试卷

2024.05

满分：150分考试时间：120分钟

考生注意：

1.茶题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上枯贴

的条形码的“准考证号、姓名、考试科日”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.国荃逸择题时，逸出每小题答案后，用铅笔把荟题卡上对应题目的签案标号波黑.如需改

动，用横皮擦干净后，再选涂其它卷案标号.何某非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无败.

3.考试结束后，将冬题卡交回.

一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在卷小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合4={xwNI『-48-5<0},8={1,3.5,7},则图中阴影部分所表示的集合为

A.{0,2,4)B.{2,4)C.{0,4}D.{2,4.5)

2.已知随机变量T~N(2"),P(XW1)=0.3,则P(X<3)=

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

3.将函数/(x)=sin2x+4coe2x的图象向右平移/个单位后得到y=g(x)的图象例

•TT

A.g(x)=2sin2xB.<(x)=2sin(2x+—)

C.g(x)=2sin(2一学)D.g(x)=2sin(2x+号)

4.被直线y=4x-l所截得劣弧的孤长为

5.已知aw(O,f),sin2aq，则sm(a+孑)=

6.某校5名同学到4、8、C三家公司实习,每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名

同学.若同学甲去4公司，则不同的安排方法共有

A.18种B.30种C.42种D.60种

7.设为随机事件，则P(A)=P(B)的充要条件是

A.P(4UB)=P(4)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(AB)=P(AB)D.P(AB)=P(BA)

高三数学试题第1页(共4页)

1

8.已知双曲线。：刍-1=1(。>0,6>0),过右焦点尸作一条渐近线的垂线,垂足为4,点8

ab

在C上，且无=4屈，则C的离心率为

A.B.C.2D.3

二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选

项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若Q<6<0,贝！I

、

A.a2>b2B.ab<b2C.2a>2bDn.—Q+4—6^44

10.已知等边△4BC的边长为4,点。,E满足说=2笳，就=记,4后与CO交于点。，则

A.CD=yG4+yCBB.BO-BC=8

C.CO=2ODD.\OA+OB+OC\=^3

11.如图1,将三棱锥型礼盒4-BCO的打结点尸解开，其平面展开图为矩形，如图2,其中

4,8,C,Z)分别为矩形各边的中点,则在图1中

A.AC=BDB.AD1.BC

C.4CJ■平面BDP

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.复数z满足z+2=2,法=4,贝]i|z-2|=▲.

13.已知奇函数人工)及其导函数/'(工)的定蔻而为RJ(1)=2,当X>0时M(x)+/(x)>0,

则使不等式xf(x)>2成立的x的取值范围是▲.

14.记锐角△ABC的内角4,8,C的对边分别为a,b,c.若2coC=-■，则B的取值范围是▲.

sao

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

设S”为数列｛4｝的前n项和，已知为=1,S4=10,且为等差数列.

(1)求｛4｝的通项公式；

/a“,n为奇数，

(2)若b.=1n为偶数求｛勾｝的前2n项和7”

高三数学试题第2页(共4页)

2

16.(15分)

某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得

到如下数据：

不达标达标合计

男300

女100300

合计450600

(1)完成2x2列联表.根据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性

别有关联？

(2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为*，体育锻炼未达标的居民体能测试合

格的概率为高.用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，从该

地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中合格的人数X的分布列及期望.

a(adfee)2

(0对应值见下表=n=a+b+c+d)

(a+6)(a+c)(c+d)(6+</)*

a0.10.050.01

4a2.7063.8416.635

17.(15分)

如国，在四棱台48(70-4当好"中，底面48co是边长为2的正方形,=1.

(1)证明：441〃平面8。6；

⑵若/L41_L8O,8G=CG=2,求平面BG。与平面夹角的余弦值.

高三数学试题第3页(共4页)

3

18.(17分)

平面直角坐标系xOy中，动点P在圆/+/=4上，动点Q(异于原点)在*轴上，且

|「。|=2,记/>。的中点〃的轨迹为「

(1)求T的方程；

(2)过点(3,1)的动直线I与r交于4,8两点.问：是否存在定点N,使得自出为定值，其

中3,k2分别为直线NA,NB的斜率.若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由.

19.(17分)

帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计

算机数学中有着广泛的应用.已知函数〃工)在x=0处的［m,n］阶帕德近似定义为:

R(x)=-r-T-------卢r，且满足：

f(0)=R(O)J-'(O)=ft,(0)/2)(0)=M(0),(0)-0).

其中尸(x)>(幻=［?…7(%)］'

a+6%+■y/

已知/（工）=1>1（工+1）在X=0处的［2,2］阶帕德近似为夫（工）=-----------;

1+x+~6%1

(1)求实数a,6的值；

(2)设人(*)=/(%)-R(x),证明：工人(工)NO;

(3)已知x,,x2,与是方程lnx=A(x--^-)的三个不等实根,求实数A的取值范围，并证明:

X

X,+x2+x31

A

高三数学试题第4页(共4页)

4

厦门市2024届高中毕业班第四次质量检查

单选题

1-4.ACAC5-8.CBDB

多选题

9.AD10.ABD11.ACD

三、填空题

12.26：13.(-oo,-l)U(l-H»)：

四、解答题

设为数列｛叫的前"项和，已知q=2.邑=10,且｛手｝为等差数列.

(I)求数列｛4｝为通项公式:

为奇数，

(2)若数列也｝满足“=上，”为偶数求数列⑻的前2"项和人

4aMi

解析：(1)设等差数列的公差为d,因为q=S,=l,

所吟号=3d,即卜=孙公

2分

2

3分

2

当〃22时，a-z=-----------------------=n，5分

22

当〃=1时，a,=l,满足上式,

所以4=〃...............................6分

〃，〃为奇数,

由(知”=7分

(2)1)小'〃为偶数'

则&=(4+4+4…+%)+他+〃+4…+%)8分

=(1+3+5…+In—1)+(---H—--H—■—,•)9分

2x44x66x82〃x(2〃+2)

n(l+2n-l)11111+J1

=—+—(―—++•)11分

2224462〃2〃+2

21

=〃+.।............................................13分

44/1+4

所以数列低｝的前2〃项和为匕=/+

44〃+4

16.(15分)

某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居

民，得到如下数据：

不达标达标合计

力300

女100300

5

合计450600

（1）完成2x2列联表.根据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为体育锻炼

达标与性别有关联？

（2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为体育锻炼未达标的居民体

能测试合格的概率为|,以频率估计概率，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测

试，求3人中合格的人数X的分布列及期望.

n(ad-bc)

（凡对应值见下表./=»〃=a+b+c+d)

(a+b)(a+c)(c+d)(b^-d)

a0.10.050.01

XQ2.7063.84i6.635

方法一：（1）2x2列联表如下表,

不达标达标合计

男50250300

女100200300

合计150450600

1分

零假设为

小：体育锻炼达标与性别独立,即体育锻炼达标与性别无关.2分

°=600(5。乎叱¥吧。明=200=22222>6,635

X5分

300x300x150x4509

根据小概率值a=0.01的独立性检验，推断从不成立，即认为体育锻炼达标与性别有

关联，该推断犯错误的概率不超过0.01.6分

（2）设事件4=”随机抽取一人体育锻炼达标”，事件8廿•随机抽取一人体能测试合

格”，则户(4)=3,P(B)=~,P(B\A)=~,P(B\A)=-

8分

4455

所以尸(8)=P(/)P(8|/1)+P(7)P(8|J)=A.......

10分

X的可能取值为：0,1,2,3II分

P(X=0)=(Q27

1000

P(X=1)=C](—)2(—)=—12分

510101000

P(X=2)=C;(—X—)2=—

510101000

P(X=3)=(—)J=—.......13分

101000

所以X的分布列为________

\X\023

6

27189441343

p

looo10001000looo

rxzcv、A27,189.441,343.1

所以E[X)=0x----F1x----+2x-----F3x-----2.115分

1000100010001000

方法二：(1)同方法一

(2)设事件/="随机抽取一人体育锻炼达标“，事件8="随机抽取一人体能测试合

格”,则尸(4)=2,P(B)=~,P(B\A]=-,P(B\A)=-

..................8分

4455

所以户(3)=尸(力)尸(8|4)+P(不尸A.........................10分

7

因为X-8(3,<).................................................12分

17

所以户(X=A)=C；(5)j(、)”,£=0,1,2.3...........................14分

所以E(X)=3J=2.l............................................15分

17.如图，在四棱台/18CD-44GA中，底面4BC。是边长为2的正方形，fi,C,=I.

(1)证明：44,〃平面8g；

(2)若44,1BD,BC,=CC,=2,求平面8Go与平面弟?鼻所成角的余弦值.

方法一：(1)由棱台定义可知44,与CC,共面，且平面4SCD〃平面4BCR.

.................................................................1分

又平面458D平面ACC,A,=AC,平面D平面ACC,A,=A,C,,

所以AC//A,C,.....................................................2分

连接/JC交8。于点O,则。为4c中点.i!/VxA

因为8C=28,G=2,所以4c,=/。.............；'...…3分

所以四边形A,AOC,是平行四边形，所以四〃。。,.；.,,」,&.,,：］耳,.4分

又44,a平面BDC,,OC、u平面BDCt,所以共〃王丽旬兄&A：…--二-5分

(2)在正方形48CD中，BDA.AC.又BDJ_用《'/。门看二%：、

所以BDJ•平面4CG4.............................................6分

因为",€：平面18,4，所以8OJ.OC,

在R/ABOC,中，NSOC,=90。，BO=-J1,BC,=2,所以OC、=a....8分

在△OCG中，OC=OC,=V2,CC,=2.所以OC?+OC：=CCJ,

所以OC_LOC；....................................................9分

以。为原点，分别以。月，OC,OC；为X轴，y轴，二轴的正方向建立空间直角坐标系.

B(V2,0,0)10(—72,0,0).C(0,>f2,0),,£)l(--y-,--y-,,V2)•

7

M•吧=0,即尸=0

〃由C=0[3y-2==0

令y=2,则==3,所以〃=(0.2,3),..................................12分

又因为平面BCQ的法向量/=(0,1,0)..................................13分

所以cos(//i,n\=,

所以平面8C,。与平面8cA所成角余弦值为粤....................15分

方法二：(】)将棱台补形成棱锥尸-4BCD,

由棱台定义知平面488〃平面48©。,................................1分

又平面ABCDC\平面8CC,4=BC.平面480,AD平面BCC、B、=B,C,.

所以3c〃B£........................................................2分

连接/C交8。于点。，则。为4c中点.

又△BCPsWGP,所以与=f=2,所以q为PC■中点，..........3分

B£\PC,

所以OC,为zMCP的中位线，所以44,〃。6............................4分

又44,<Z平面Bg,OC,u平面BDC,,所以44,〃平面BDC,...........5分

(2)在正方形4BCD中，BDJLAC,又8DJ./J4，ACC\AA,=A,

所以BD_L平面4CG4................................................6分

因为OC,u平面/cc,4,所以BDioq

在心△BOC,中，ZBOC,=90°,BO=-j2,BC,=2,所以。弓=0.8分

在△ocq中，OC=OC,=J1.CC,=2.所以OC，+OC；=CG'，

所以OC_LOQ........................................................9分

连接4c交8C,于点M,连接G。交C"于点N,

则MN为平面BC,D与平面B.CD,的交线，设MN交OQ于点。.入

由有炉=笠=：,同理乎=：,.....I、二二：3嬴

''MBCB2ND2,

所以MN//BD,所以MV_L平面ACC,4......................

又OQu平面4CC,4，0Cu平面ICC/,

所以MNLQO,MNLQC,.

所以NOQC为平面BC,D与平面B,CD,的夹角............................13分

由MV〃BD得必=四=!，所以。。=逑........................14分

MBQO23

在R/ZXQOC中，。9=手，OC=>/2.QC=^y-,所以cosNO0C=彳限.

所以平面8C,。与平面8c。夹角的余弦值为等......................15分

18.(17分)平面直角坐标系xQv中，动点P在圆/+/=4上，动点。(异于原点)

在x轴上，且|「。|=2,记P。中点M的轨迹为r.

(1)求r的方程：

(2)过点(3,1)的动直线/与r•交于/,8两点.问：是否存在定点N,使得4月

为定值，其中4,为分别为直线M4,NB的斜率.若存在，求出N的坐标，若不存

在，说明理由.

8

解：⑴设点

因为pP|=|P0,所以o(2，,o),3工o),2分

x'+2M

x=--------,2x

2

由M为中点得,n、二丁,4分

，‘与y'=2y

代入/十八4,得//=[.............................

5分

所以动点M的轨迹r的方程为]+y=i(x工0).............6分

(2)存在N满足题意，证明如下：.........................7分

依题意直线/的斜率存在且不为0,设/的方程：y=A(x-3)+l.

设X(XQJ，6(%,%)，M%,%)

j=A(x-3)+l

联立/，得(1+9尸)/+1弘(1一3幻*+81r一54%=0.8分

—+/=1

9'

18A(1-3A)8M2-5必

则iailx+x=----1―=-----；—(1)

123I+9A，121+9公

直线/方程化为x=3+=i.

k

.y-l

x=3+--

k

联立,,得(1+9/)八(61)k64+1=09分

X.

——+y*2=1

9,

6k-2"6k,、、

n则il乂+必=_不曰必=屈

,64-21-6A

乂+1+9好/+1高层

依'顾意.Mkk_%x%一%7____l_tt_f_l_-_黛__)____8_1_*_'_-5_4_*10分

%+1+9必.+1+9公

(I+9M)戈+(6A-2)乂+1-6A=9墟2+60,_]*+(),,_1户11分

一(I+9-)x：+18A(I-3«)$+811-54A-9(%-3尸〃+18(%-3)«+x：

依题意直线”4,NB与坐标轴不平行，又"他为定值，

稣-1一(%-1)2

所以14分

(%-3『如。一3)*

K_%-]

由=3»；=(七-3乂%-1)

2(3)

(x0-3)3(x0-3)

产'=吗!Ln£=3U-3)(%-l)

(4)

乂X。j)XQ

由(3)(4)得%=3乂或x0=-3乂，

33应逑

%=一

代入(3)得

=一也

y%

02~~T2

9

所以N(„)或N(孚,岑)或N(一手净满足题意.(答案不全扣I分)17分

方法二，存在N满足题意，证明如下：.................................7分

依题意直线/的斜率存在且不为0,设/的方程：y=k(x-3)U.

设/f(M，K),仇天,乃)，N(%,%)

y=A(x-3)+l

联立4x2,得(1+9犬)/+18©1-34田+8出2—54左=0.....................8分

6十八1

因为不公为上式的两根，则

2222

(\^-9k)x+m(\-3k)x+S\k-54k=(\+9k)(x-x[)(x-x2)(1).................9分

直线/方程化为*=3+彳.

,y-\

联立，,k,得(1+9/1+(64-2)>>-6«+1=0...............................10分

X2.

一+y*=1

9

因为乂，%为上式的两根，则

(1+%2)八(64-2)尸6A+l=(l+9必…X⑵............................”分

依题意：〃匕_乂一乂％一切_("9公乂盟一乂乂九一必)

:

jx0-xtx0-x,(1+9/乂/-3)(七一三)

=(1+9/)y：+(6A-2)乂+1-6A=9y；&2+6(义-1)〃+(乂-1「12分

-(1+9-)£+18A(1-3A)X°+8IA2-54A~9(/-3)*+18(天-3)八片

下同方法一

19.(17分)帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方

法，在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数/(x)在x=0处的向川阶帕德近似定

义为：/?口)=。：+丁+…,且满足：

1+3+・・.+61tx

/(0)=/?(0),/'(0)=H'(0),/Q(0)=/)(0),…，厂")(0)=<-0).

其中尸(")=［八对，/°，。)=［0)(力］，…,/…(X)=［/i"(X)J.

,1

a+/w+T2

已知/(x)=ln(x+1)在X=0处的［2,2］阶帕德近似为R(x)=-------4.

1+X+-JT2

6

(1)求实数a,b的值：

(2)设机x)=/(x)-R(x),证明：动(x)R：

(3)己知王,与，k是方程lnx=g」)的：个不等实根，求实数久的取值范

x

围，并证明：

jX

解：(1)依题意可知，/(0)=0,R(0)=a,因为/(0)=/?(0),所以a=0I分

6bx+3x2(18-66)/+36x+36b

此时，R(x)='因为八加合,»

6+6x+x2，+6x+6)?

所以八0)=1,R\0)=b

因为/，(0)=*(0),所以b=l：................................................................