2022-2023学年哈尔滨松北区七校联考初三适应性练习卷数学试题含解析

2022-2023学年哈尔滨松北区七校联考初三适应性练习卷数学试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A的体积实验，小明在匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出

水面一定高度的过程中，则下图能反映液面高度h与铁块被提起的时间t之间的函数关系的大致图象是（）

3.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1,CE=3,CH^-AF与点H,那么CH的长是（）

A20片30D3亚

325

4.下列多边形中，内角和是一个三角形内角和的4倍的是（）

A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形

f2（2x-3）<%-3

5.将不等式组1的解集在数轴上表示，下列表示中正确的是（）

5x+3>2x

A.Jii.B.gi)i»C.D二，厂.

-1012-1012-1012

6.下列算式中，结果等于a5的是()

A.a2+a3B.a2*a3C.a54-aD.(a2)3

7.-（点）2的相反数是（）

A.2B.-2C.4D.-0

x—tn<0

8.关于x的不等式组.〜八无解，那么m的取值范围为（）

3x-l1>2（x-1）

A.m<—1B.m<—1C.—l<m<0D.—l<m<0

9.下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

色BC,'畛D@

10.绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：

每批粒数n100300400600100020003000

发芽的粒数m9628238257094819042850

发芽的频率必

0.9600.9400.9550.9500.9480.9520.950

n

下面有三个推断：

①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955,所以绿豆发芽的概率是0.955；

②根据上表，估计绿豆发芽的概率是0.95；

③若n为4000,估计绿豆发，芽的粒数大约为3800粒.

其中推断合理的是（）

A.①B.①②C.①③D.②③

11.如图，（DO的直径AB垂直于弦CD,垂足为E.若NB=60°,AC=3,则CD的长为

A.6B.273C.73D.3

12.已知二次函数y=-（x-（h为常数），当自变量x的值满足2WxV5时，与其对应的函数值V的最大值为-1,则h

的值为（）

A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.已知点A(xi,yi),B(X2,yz)在直线y=kx+b上，且直线经过第一、三、四象限，当xi〈X2时，yi与y2的大小关

系为.

14.分解因式:4ax2-ay2=.

15.^277Tl=.

16.如图，将△AOB绕点。按逆时针方向旋转45°后得到公。8,若N4O3=15。，则N48的度数是.

17.如图，已知正八边形ABCDEFGH内部△ABE的面积为6cmI则正八边形ABCDEFGH面积为cm1.

18.如图，直线a经过正方形ABC。的顶点A,分别过此正方形的顶点3、。作于点尸、DEYa于点E.若

DE=8,BF=5,则防的长为

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果分

为“4非常了解”、“比了解”、“C.基本了解“三个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.

(1)这次调查的市民人数为_______人，m—,n—；

⑵补全条形统计图；

(3)若该市约有市民100000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A.非

常了解”的程度.

20.(6分)在及AABC中,AC=8,BC=6,NC=90。，AO是NC钻的角平分线，交6C于点。.

⑴求AB的长；

⑵求CD的长.

21.(6分)某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30。方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出

发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75。方向的C处，求：

(1)NC=°；

(2)此时刻船与B港口之间的距离CB的长(结果保留根号).

22.(8分)如图①，二次函数的抛物线的顶点坐标C,与x轴的交于A(1,0)、B(-3,0)两点，与y轴交于点D

(0,3).

(1)求这个抛物线的解析式；

(2)如图②，过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为-2,若直线PQ为抛物线的对

称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？若存

在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图③，连接AC交y轴于M,在x轴上是否存在点P,使以P、C、M为顶点的三角形与AAOM相似？若存

在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

23.(8分)已知AOAB在平面直角坐标系中的位置如图所示.请解答以下问题：按要求作图：先将△A3。绕原点。

逆时针旋转90。得A0431,再以原点。为位似中心，将△。4山1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△。①历；

直接写出点4的坐标，点4的坐标.

24.(10分)已知圆。的半径长为2,点A、B、C为圆。上三点，弦BC=AO,点D为BC的中点,

⑵如图，当点B为启的中点时，求点A、D之间的距离：

(3)如果AD的延长线与圆O交于点E,以O为圆心，AD为半径的圆与以BC为直径的圆相切，求弦AE的长.

25.(10分)小明有两双不同的运动鞋放在一起，上学时间到了，他准备穿鞋上学.他随手拿出一只，恰好是右脚鞋

的概率为;他随手拿出两只，请用画树状图或列表法求恰好为一双的概率.

26.(12分)已知甲、乙两地相距90hw,A,8两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，3骑电动车，图中

DE,OC分别表示A,5离开甲地的路程s(km)与时间f的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：

(1)请用f分别表示A、5的路程SA、SB；

(2)在A出发后几小时，两人相距15«加？

s.-km

一

°123t/h

27.（12分）某手机店销售10部A型和20部3型手机的利润为4000元，销售20部A型和10部3型手机的利润为

3500元.

⑴求每部A型手机和B型手机的销售利润；

⑵该手机店计划一次购进A,3两种型号的手机共100部，其中3型手机的进货量不超过A型手机的2倍，设购进A

型手机1部，这100部手机的销售总利润为V元.

①求y关于X的函数关系式；

②该手机店购进A型、3型手机各多少部，才能使销售总利润最大？

（3）在⑵的条件下，该手机店实际进货时，厂家对A型手机出厂价下调加（0<100）元，且限定手机店最多购进A型

手机70部，若手机店保持同种手机的售价不变，设计出使这100部手机销售总利润最大的进货方案.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解析】

根据题意，在实验中有3个阶段，

①、铁块在液面以下，液面得高度不变；

②、铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低；

③、铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变；

分析可得，B符合描述；

故选B.

2、C

【解析】

解：-10—4=-1.故选C.

3、D

【解析】

连接AC、CF,根据正方形性质求出AC、CF,ZACD=ZGCF=45°,再求出NACF=90。，然后利用勾股定理列式求

出AF,最后由直角三角形面积的两种表示法即可求得CH的长.

【详解】

如图，连接AC、CF,

二•正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1,CE=3,

•,.AC=V2，CF=3夜，

ZACD=ZGCF=45°,

ZACF=90°,

由勾股定理得，AF=7AC2+CF2=7(72)2+(372)2=2逐，

VCH±AF,

：.-ACCF=-AFCH,

22

即工行x2行「x25C”,

22

5

故选D.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、勾股定理及直角三角形的面积，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.

4、C

【解析】

利用多边形的内角和公式列方程求解即可

【详解】

设这个多边形的边数为n.

由题意得：（n-2）xl80°=4xl80°.

解得：n=l.

答：这个多边形的边数为1.

故选C.

【点睛】

本题主要考查的是多边形的内角和公式，掌握多边形的内角和公式是解题的关键.

5、B

【解析】

先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可.

解：不等式可化为：\x<l，即—

x>-l

二在数轴上可表示为.故选B.

“点睛”不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（>,N向右画；V,W向左画）,

在表示解集时畛"，“W”要用实心圆点表示；“V”，“>”要用空心圆点表示.

6、B

【解析】

试题解析：A、a?与屋不能合并，所以A选项错误；

B、原式=胪，所以B选项正确；

C、原式=/,所以C选项错误；

D、原式=小，所以D选项错误.

故选B.

7、A

【解析】

分析：根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可.

详解:-的相反数是（应了，即2.

故选A.

点睛：本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义,正数的相反数是负数,0的相反数是0,负数的

相反数是正数.

8、A

【解析】

【分析】先求出每一个不等式的解集，然后再根据不等式组无解得到有关m的不等式，就可以求出m的取值范围了.

x-m<0①

【详解】2［同，

3x-l>②

解不等式①得：x<m,

解不等式②得：x>-l,

由于原不等式组无解，所以m&L

故选A.

【点睛】本题考查了一元一次不等式组无解问题，熟知一元一次不等式组解集的确定方法“大大取大，小小取小，大小

小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键.

9^D

【解析】

试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：

A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；

B不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；

C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；

D即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.

故选D.

考点：轴对称图形和中心对称图形识别

10、D

【解析】

①利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，n=400,数值较小，不能近似的看为概率，①错误；②利

用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，可得②正确；③用4000乘以绿豆发芽的的概率即可求得绿豆发

芽的粒数，③正确.

【详解】

①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955,所以绿豆发芽的概率大约是0.955,此推断错误；

②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950,所以估计绿豆发芽的概率是0.95,此推断正确；

③若n为4000,估计绿豆发芽的粒数大约为4000x0.950=3800粒，此结论正确.

故选D.

【点睛】

本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比.

11、D

【解析】

解:因为AB是。O的直径，所以NACB=90。,又。O的直径AB垂直于弦CD,ZB=60°，所以在RtAAEC中，NA=30。,

13

又AC=3,所以CE=-AB=-，所以CD=2CE=3,

22

故选D.

【点睛】

本题考查圆的基本性质；垂经定理及解直角三角形，综合性较强，难度不大.

12、B

【解析】

分析：分hV2、2WI1W5和h>5三种情况考虑：当hV2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之

即可得出结论；当2女盘时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h>5时，根据二次函

数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论.综上即可得出结论.

详解：如图，

当h<2时，有-(2-h)2=-1,

解得：hi=l,h2=3(舍去);

当2S1E5时，y=-(x-h)2的最大值为0,不符合题意；

当h>5时，有-(5-h)2=-1,

解得：113=4(舍去)，114=1.

综上所述：h的值为1或1.

故选B.

点睛:本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h<2、2女我和h>5三种情况求出h值是解题的关键.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、yi<yi

【解析】

直接利用一次函数的性质分析得出答案.

【详解】

解：•.•直线经过第一、三、四象限，

，y随x的增大而增大，

*.*X1<X1,

，yi与yi的大小关系为：yi<yi.

故答案为：yi<yi.

【点睛】

此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数增减性是解题关键.

14、a(2x+y)(2x-y)

【解析】

首先提取公因式a,再利用平方差进行分解即可.

【详解】

原式=a(4x2-y2)

=a(2x+y)(2x-y),

故答案为a(2x+y)(2x-y).

【点睛】

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式

分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

15、2

【解析】

原式利用立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值.

【详解】

解：原式=3-1=2,

故答案为：2

【点睛】

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

16、60°

【解析】

根据题意可得ZAOD=ZAOB+ZBOD，根据已知条件计算即可.

【详解】

根据题意可得：ZAOD=ZAOB+ZBOD

ZAOB=15°,/BO。=45°

..ZAOD=45°+15°=60°

故答案为60°

【点睛】

本题主要考查旋转角的有关计算，关键在于识别那个是旋转角.

17、14

【解析】

取AE中点I,连接IB,则正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成.

【详解】

解：取AE中点I,连接IB.则正八边形ABCDEFGH是由8个与△IAB全等的三角形构成.

•.T是AE的中点,

-r-ITTIrrI/

口-xo

2J

则圆内接正八边形ABCDEFGH的面积为：8x3=14cmL

故答案为14.

【点睛】

本题考查正多边形的性质，解答此题的关键是作出辅助线构造出三角形.

18、13

【解析】

根据正方形的性质得出AD=AB,ZBAD=90°,根据垂直得出NDEA=NAFB=90。，求出NEDA=NFAB,根据AAS推

出4AED之aBFA,根据全等三角形的性质得出AE=BF=5,AF=DE=8,即可求出答案；

【详解】

VABCD是正方形（已知），

.\AB=AD,ZABC=ZBAD=90°；

又；ZFAB+ZFBA=ZFAB+ZEAD=90°,

NFBA=NEAD（等量代换）；

•.•BFLa于点F,DELa于点E,

二在RtAAFB和RtAAED中，

AAFB=ZDEA=9Q°

V{ZFBA=ZEAD,

AB=DA

：.△AFB△AED（AAS）,

，AF=DE=8,BF=AE=5（全等三角形的对应边相等），

EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13.

故答案为13.

点睛：本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，能求出AAED丝ABFA是解此题的关

键.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、（1）500,12,32；⑵补图见解析；⑶该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到非常了解”的程度.

【解析】

（1）根据项目B的人数以及百分比，即可得到这次调查的市民人数，据此可得项目A,C的百分比；（2）根据对“社

会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的人数为：32%x500=160,补全条形统计图；（3）根据全市总人数乘以A项目

所占百分比，即可得到该市对“社会主义核心价值观”达到“A非常了解”的程度的人数.

【详解】

试题分析：

试题解析：（1）280+56%=500人，604-500=12%,1-56%-12%=32%,

（2）对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的人数为：32%x500=160,

补全条形统计图如下：

（3）100000x32%=32000（人），

答：该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度.

Q

20、(1)10；(2)CD的长为：

【解析】

(1)利用勾股定理求解；(2)过点。作小，至于E,利用角平分线的性质得到CD=DE,然后根据HL定理证明

RtAACD^RtVAED，设。0=。£=兀，根据勾股定理列方程求解.

【详解】

解:⑴在RtAABC中，AC=8,BC=6,ZC=90°

AB=VAC2+BC2=782+62=10；

(2)过点。作DELAB于E,

AD平分4AC,ZC=90°

CD=DE>

在Rt_ACD和Rt^AED中

AD=AD

CD=ED

Rt/SACD^RtNAED(HL),

,-.AE=AC=S

AB=W

:.BE=AB-AE=10-8=2.

设CD=DE-x，则BD—6—x

在RtABDE中，DE2+BE2=BD2

x2+2~=(6-尤J

o

解得x=§

即CD的长为|

DB

【点睛】

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，难点在于(2)多次利

用勾股定理.

21、(1)60；(2)3072+10^/6

【解析】

(1)由平行线的性质以及方向角的定义得出/尸R4=NEAB=30。，N尸3c=75。，那么NABC=45。，又根据方向角的定

义得出/R4C=NR4E+NCAE=75°,利用三角形内角和定理求出ZC=60。；

(2)作交5c于点D,解RtAABD,得出50=40=30&,解RtXACD,得出CZ>=10&,根据BC^BD+CD

即可求解.

解：(1)如图所示，

VZEAB=30°,AE//BF,

：.ZFBA=30°,

又NFBC=75°,

：.ZABC=45°,

,:ZBAC=ZBAE+ZCAE=75°,

,•.ZC=60°.

故答案为60；

(2)如图，作AO_LBC于O,

在RtAABD中,

'：ZABD=45°,AB=60,

.•.40=30=300.

在RtAACD中,

VZC=60°,4。=300,

AD

/.tanC=-----

CD

...CZ)=^1=1O"，

：.BC=BD+CD=30y/2+1076.

答：该船与8港口之间的距离C3的长为(30后+10#)海里.

22、【小题1】设所求抛物线的解析式为：丁二铲产品也吟化，将A(l,0)、B(-3,0)、D(0,3)代入，得

痴二一；1黝--%.：.二居.................................2分

即所求抛物线的解析式为：；=-、二-2v-3.............................................3分

【小题2】如图④，在y轴的负半轴上取一点I,使得点F与点I关于x轴对称，

在x轴上取一点H,连接HF、HEHG、GD、GE,贝!)HF=HI.............................①

设过A、E两点的一次函数解析式为：y=kx+b(kr0),

•••点E在抛物线上且点E的横坐标为-2,将x=-2,代入抛物线二-『-二•・-；,得=--二/-二.-二+；=；

.•.点E坐标为(-2,3)....................................................................................................4分

又•••抛物线:,图象分别与x轴、y轴交于点A(l,0)、B(-3,0)、

D(0,3),所以顶点C(-1,4)

，抛物线的对称轴直线PQ为：直线x=-L［中国教#&~@育出％版网］

点D与点E关于PQ对称，GD=GE.......................................................................②

分别将点A(1,0)、点E(-2,3)

代入y=kx+b,得：

f「2二二"；解得：

过A、E两点的一次函数解析式为:

y=-x+l

.,.当x=0时，y=l

点F坐标为(0,1)................................5分

•*.二二|=2..................................................................(3)

又•••点F与点I关于x轴对称,

；•点I坐标为(0,-1)

又；要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，

，只要使DG+GH+HI最小即可.............................6分

由图形的对称性和①、②、③，可知，

DG+GH+HF=EG+GH+HI

只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小

设过E(-2,3)、I(0,-1)两点的函数解析式为：-=，「一।=，

分别将点E(-2,3)、点I(0,-1)代入二-二二+二,，得：

一三一二'一二解得：

过I、E两点的一次函数解析式为：y=-2x-l

・••当x=-l时，y=l；当y=0时，x=4；

.•.点G坐标为(-1,1),点H坐标为(4,0)

:.四边形DFHG的周长最小为：DF+DG+GH+HF=DF+EI

由③和④，可知：

DF+EI=1-二3

二四边形DFHG的周长最小为一一-,J.............................................................7分

【小题3】如图⑤，

由⑵可知,点A(1,O),点C(-1,4),设过A(1,O),点C(-1,4)两点的函数解析式为：占=3心，得：二

I

解得：＜=-二，

过A、C两点的一次函数解析式为：y=-2x+2,当x=0时，y—2,即M的坐标为(0,2)；

由图可知，AAOM为直角三角形，且•=1........................8分

要使，AAOM与APCM相似，只要使△PCM为直角三角形，且两直角边之比为1:2即可，设P(c,0),

CM=、；丁一：•=J?，且NCPM不可能为90。时，因此可分两种情况讨

论；............................................................9,分

m11

①当NCMP=90。时，CM=[二M若U——则=可求的P(40),贝!)CP=5,

cP=cu：4门广，即P(-4,0)成立，若要=%.由图可判断不成

立；..................................................................10分

②当NPCM=90。时，CM=,1=_]：=,若黑-PC-2，可求出

P(-3,0),贝!|PM="0,显然不成立，若喘-立则改=岑，更不可能成立……U分

综上所述，存在以P、C、M为顶点的三角形与AAOM相似，点P的坐标为(-4,0)12分

【解析】

⑴直接利用三点式求出二次函数的解析式；

(2)若四边形DFHG的周长最小，应将边长进行转换，利用对称性，要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一

个定值，只要使DG+GH+HI最小即可，

由图形的对称性和，可知，HF=HLGD=GE,

DG+GH+HF=EG+GH+HI

只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小，即

|二n=J（一：-0仃+〃'==入&DF+EI=：+：、3

即边形DFHG的周长最小为-二

（3）要使△AOM与△PCM相似，只要使APCM为直角三角形，且两直角边之比为1:2即可，设P（B,O）,

CM=上_,且NCPM不可能为90。时，因此可分两种情况讨论，①当NCMP=90。时，CM=,_-「=,

若,可求的p（_4,0）,则CP=5,C尸=CV：-尸I/：，即P（-4,0）成立，若独_=%,由

鞫胪皆、■国渺

图可判断不成立;②当NPCM=90。时,CM=、J「_:小，若'警=[・则-：，可求出P（-3,0）,则PM=、/H，

显然不成立，若士=兮.则一一上，更不可能成立.即求出以P、C、M为顶点的三角形与AAOM相似的P的坐

中2

标（-4,0）

23、（1）见解析；（2）点41的坐标为：（-1,3）,点42的坐标为：（2,-6）.

【解析】

（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）利用（1）中所画图形进而得出答案.

【详解】

（1）如图所不：△OAiBi,AOA2B2,即为所求；

（2）点4的坐标为：（-1,3）,点4的坐标为：（2,-6）.

【点睛】

此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键.

o

24、(1)ZA(9£)=150-2a；(2)AD=币；(3)^H±LorbHzl

22

【解析】

(1)连接OB、OC,可证△OBC是等边三角形，根据垂径定理可得NDOC等于30。，OA=OC可得NACO=NCAO=a,

利用三角形的内角和定理即可表示出/AOD的值.

(2)连接OB、OC,可证△OBC是等边三角形，根据垂径定理可得NDOB等于30。，因为点D为BC的中点，则

ZAOB=ZBOC=60°,所以NAOD等于90。，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD、

AD的长.

(3)分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD的长，再过O点

作AE的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解.

【详解】

(D如图1：连接OB、OC.

VBC=AO

/.OB=OC=BC

/.△OBC是等边三角形

:.ZBOC=60°

••,点D是BC的中点

•,.ZBOD=-ZBOC=30°

2

VOA=OC

ZOAC=ZOCA=a

/.ZAOD=180°-a-a-30°=150°-2a

(2)如图2：连接OB、OC,OD.

由（1）可得：AOBC是等边三角形，NBOD=L/30C=30°

2

；OB=2,

.*.OD=OBcos30°=V3

；B为A。的中点，

，ZAOB=ZBOC=60°

:.ZAOD=90°

根据勾股定理得：AD=JAO2+O£>2=币

图2

(3)①如图3.圆O与圆D相内切时：

连接OB、OC,过O点作OFLAE

：BC是直径，D是BC的中点

**.以BC为直径的圆的圆心为D点

由(2)可得：OD=若，圆D的半径为1

**•AD=-^3+1

设AF=x

在RtAAFO和RtADOF中，

O^-AF2=OD2-DF2

即22-%2=3-(V3+l-x)2

解得：x="以

4

.-.AE=2AF=3^+1

图3

②如图4.圆O与圆D相外切时:

连接OB、OC,过O点作OFLAE

•••BC是直径，D是BC的中点

/.以BC为直径的圆的圆心为D点

由（2）可得：OD=若，圆D的半径为1

-,.AD=V3-1

在RtAAFO和RtADOF中，

OAI-AF2=OD?—DF?

2

即2?-必=3_卜_百+1)

解得.浮

.•.AE=2AF=3^-1

2

图4

【点睛】

本题主要考查圆的相关知识：垂径定理，圆与圆相切的条件，关键是能灵活运用垂径定理和勾股定理相结合思考问题,

另外需注意圆相切要分内切与外切两种情况.

25、(1),；(2)见解析.

1i

【解析】

(1)根据四只鞋子中右脚鞋有2只，即可得到随手拿出一只恰好是右脚鞋的概率；

(2)依据树状图即可得到共有12种等可能的结果，其中两只恰好为一双的情况有4种，进而得出恰好为一双的概率.

【详解】

解：(1)•••四只鞋子中右脚鞋有2只，

,随手拿出一只，恰好是右脚鞋的概率为=.,

J1

＜三

故答案为：.；

(2)画树状图如下：

左1右1左2右2

/K/\/K/K

右1左2右2左1左2右2左1右1右2左1右1

共有12种等可能的结果，其中两只恰好为一双的情况有4种,

.•.拿出两只，恰好为一双的概率为.=..

♦1

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法

适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数

之比.