广东省深圳市光明区某中学2023-2024学年高三年级下册5月模拟考试数学试题（含答案）

高三数学试题

考生注意：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0•毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作

答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.己知集合4={X|-1<%<3},3={]£]^|工2-3%,0},则Ac5=（）

A.{x|0„x<3}B.{乂一1<%,3}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

3.佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，它利用现

代设计手法令空间与其展示的艺术品无缝交融，形成一个统一的整体，气势恢宏，美轮美央.佛兰德现代艺术

中心的底面直径为8m,高为30m,则该建筑的侧面积为（）

A.lGChirn?B.4J’229兀m?C.8^22971m2D.240兀m?

4.已知向量a=（3,2）,b=（—l,x）,则"》=2行’是"（。+可，（。一耳"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

x2.V

5.己知。>0且若函数为偶函数，则实数。=（）

1

A.3B.9

6.已知直线初x-y+2m+l=0与圆（x+l）2+（y_2）2=16相交于监N两点，则当|肱V|取最小值时，实数

m的值为（）

A.2B.lC,-lD,-2

7.己知函数/（x）=2cos12x-三；把"％）的图象向左平移|1个单位长度可得到函数g（x）的图象，则

（）

A.g（x）是偶函数

B.g（%）的图象关于直线X=-Tl对称

8

C.g（x）在0,-|上的最大值为。

7T

D.不等式g（x）,,0的解集为kn+-,kTi+Ti，4eZ

8.古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度

货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第"日布施了％子

安贝（其中瓒h31,“eN*）,数列｛%｝的前"项和为若关于〃的不等式254<d+「3+i恒成立，

则实数/的取值范围为（）

A.（-oo,28）B.（-oo,30）C.（-00,31）D.（-oo,32）

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知数据%,％2,九3,…，%0的平均数为。，中位数为），方差为C，极差为d，由这数据得到新数据

%，%，为，，%，其中¥=2%—3«=1,2,3,,10），则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（）

A.平均数是2aB.中位数是2。—3

C.方差是4cD.极差是2d—3

22

10.已知直线/：y=—3%+帆（相00）与双曲线c：二—与=l（a>0,b〉0）交于两点，P为肱V的中点，

ab

O为坐标原点，若直线OP的斜率小于-1,则双曲线。的离心率可能为（）

A.2B.3C，2A/2D.A/10

2

11.已知函数“X)是定义域为R的可导函数，g(x)=/(x)—2%.若〃尤)是奇函数，且g(x)的图象关于直

线x=l对称，贝U()

A.〃2)=2

B.曲线y=f(x)在点(1,7⑴)处的切线的斜率为2

C.g'(4+x)=g，⑺(g〈x)是g(x)的导函数)

。.〃％)的图象关于点(2,2)对称

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知+的二项展开式中，/项的系数是18,则根的值为.

22

13.已知耳,%分别为椭圆土+乙=1的左、右焦点，P为椭圆上一点且归耳|=2归闾，则因用的面积为

14.在长方体—中，48="=4,4。=2,点p为侧面用4内一动点，且满足G。〃平

面ACD,,则QP的最小值为,此时点P到直线4G的距离为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知函数/(%)=(%-2度-2以2+4依(〃>0).

(1)若a=l,求曲线y=/(x)在点(o,7(o))处的切线方程；

(2)若/(%)恰有三个零点，求。的取值范围.

16.(15分)

随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健身运动中，成为

一道美丽的运动风景线.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调

查，得到如下表的统计数据：

周平均锻炼时间少于5小时周平均锻炼时间不少于5小时合计

50岁以下80120200

50岁以上(含

50150200

50)

合计130270400

3

(1)根据表中数据，依据£=0.01的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？

(2)现从50岁以上(含50)的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8人做进

一步访谈,再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为X，

求X的分布列和数学期望.

9n(ad—bcY

参考公式及数据："7―、/,一支，其中〃=a+b+c+d.

0.020.00

a0.010.001

55

5.026.637.8710.82

Xa

4598

17.（15分）

在如图所示的多面体"MWCD中，四边形A5CD是边长为行的正方形，其对角线的交点为平

^ABCD,DM//BN,DM=2BN=2,点P是棱的中点.

(2)求直线AN和平面所成角的正弦值.

18.(17分)

已知抛物线C:/=2px(0<p<3)的焦点为厂，点人1,1),归刊=乎.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点；刀］的动直线/与C交于两点，。上是否存在定点加使得上网+左皿=2(其中左"A，kMB

分别为直线M4,M3的斜率)？若存在，求出〃的坐标；若不存在，说明理由.

19.(17分)

已知集合人={<21M2，，%,•},5={4也，…，〃，}，{%}是公比为2的等比数列且出+3,%+1，%-3构成

等比数列.

4

(1)求数列｛与｝的通项公式；

(2)设｛2｝是等差数列，将集合的元素按由小到大的顺序排列构成的数列记为｛qj.

①若么=5〃-1,数列｛cj的前”项和为S“，求使S,,,2024成立的”的最大值；

②若Ac5=0,数列｛%｝的前5项构成等比数列，且q=l,C9=8,试写出所有满足条件的数列｛2｝.

高三数学试题参考答案、提示及评分细则

1.C由集合3=｛尤wNlV-3谖0｝=｛尤wN|0*3｝=｛0,1,2,3｝,又因为A=｛x|-l<x<3｝,所以

AnB=｛0,l,2｝.

2.A因为复数z在复平面内对应的点的坐标是所以z=l-后，则

1_1_1+后_1叵

z1—^/3i(1-+44

3.C由题知该建筑的母线长为，4z+3()2=2j^m，则其侧面积为g兀x8x2j^=8@^im2.

4.A由已知得，a+Z?=(2,2+%),〃一/;=(4,2-X).(Q+5)_L(Q-力)。(〃+/?)•(〃一力)=0,即

2x4+4—Y=o,解得]=±26，所以"%=25'是"(a+b)“a—可〃的充分不必要条件.

5.B已知a>0且a#l,若函数为偶函数，则有/(—x)=/(x),即(-戈)[3'二三上

优+1

化简得工=31所以a=9.

3*

6.C由圆的方程(x+1)2+(丁一2)2=16,可知圆心4(—1,2),半径火=4,直线y—l=〃z(x+2)过定点

5(-2,1),因为(一2+1)2+(1—2)2=2<16,则定点5(—2,1)在圆内，则当上取最小值，因

为AB的斜率为1，故加=—1.

5兀।JC\7C।

(%+—I--=2cosI2%+—I=-2sin2x,由于g(%)的定义域为R,且

g(-x)=-2sin(-2x)=sin2x=-g(x),故g(%)为奇函数,A错误;又g1年卜-2sinf^j=0,故g(%)

5

的图象不关于直线％对称，B错误；因为xe0,£时，2龙«0,可，所以y=—2sinz在z«0,可上的

82

最大值为0,最小值为-2,故C正确；g(x)„0,贝!Jsin2%..0,则2%£[2E,2E+可，左6Z,故

X€ku.knH---,kwZ,D错误.

2

8.C由题意可知，数列｛a,J是以2为首项，2为公比的等比数列，故q=2"(啜%31,«eN*),所以

S=2(1—2")=2角—2•由S“一254<-柩向，得2向—256<22n+2-t-2n+1，整理得"冬+2n+1-1

"1-22

对任意掇女31,且〃eN*恒成立.又驾+2"M—L2,

—1=31,当且仅当2"+i=16,即〃=3时

2"+I

等号成立，所以/<31,即实数7的取值范围是(-8,31).

9.BC%,%，%-%)的平均数是2。一3,中位数是2/?-3,方差是4c,极差是2d.

y=-3x+m,

bI—

10.BC由题意知一一w—3,ewJ10,设/(5,%),?/(%，%)，由<X2y2>可得

a一序下1

仅2一912)元2+6相/九一12加2一。=0,八=(6松2『4^2一9a?)(

2b2+02ml+12b2)=4a2b之(疗+/_9a2)>0

212

mi、।6moi.、1Sma+2m{b-9a)2mb?

,可得

'所以9+%=—，y1+y2=-3(x1+x2)+2m=

b2-9a2b2-9a2

22

'3mamb、,所以左="二=_^<一i,即。2>3/2—/>3/,可得e>2且

P222

~b-9a"b-9a\—5ma—5a

ewV10

11.BC由题意有/(O)=O,/(x)=-/(-x),g(2-x)=g(x)^>/(2-x)-4+2x=/(x)-2x,令x=0,

有

/(2)-4=/(0)^/(2)=4,故A错误;

/(2-x)-4+2x=/(x)-2x^/,(2-x)+/,(x)=4,令x=l得/'(1)=2,故B正确；

g(%)为奇函数,即g(%)=—g(-％)=g'(%)=g'(-x)•，又因为g(2—％)=g(x)n—g'(2—x)=g'(x),

所以_g'(2_x)=g'(-x),所以_g'(2+x)=g'(x),所以g'(2-x)=g'(2+x),g'(_x)=g'(4+x),即

6

g'（4+x）=g［x）,故c正确;

因为g（2—x）=g（x）,g（%）=—g（—x）,所以g（2—x）=—g（—x）,g（2+x）=g（—x）,得

g（2-%）+g（2+x）=0,即g（x）关于（2,0）对称,所以〃2T）+/（2+X）=8,即/（x）=g（x）+2为关

于（2,4）对称，故D错误.

12.31+生］展开式的通项为之］=《％6七（生］=”二产2仙令6—2左=4,得左=1,所以/项的

系数为根C；=6m=18,所以根=3.

22________

13.2后由椭圆土+乙=1可知〃=3上/=JT6,c=Ji/Td=2j5,故卢4|+|%|=2〃=6e，结

1810

合户耳|=2户闾，可得归耳|=40,归闾=2夜，而出闾=2c=4jL故刊祀为等腰三角形，其面积

为gX2/XJ（4&）2—（物2=2A

14,273（2分）2等（3分）如图所示，因为A3〃GA且AB=G。，故四边形A3GA为平行四边

形，则8G//AD,,因为5C］«平面AC2，AD］u平面ACR,所以BQ〃平面AC。，同理可证//

平面AC。，因为A^cBG=昆4比8。1u平面4BG，所以平面〃平面ACR,因为PG平面

AA.B.B,要使得G。〃平面AC。1，则GPu平面因为平面A&B/c平面=4台，故点p

的轨迹为线段当GP取最小值时，C^PLA.B,则P为48的中点，。］尸=26.以。为原点，

的方向分别为z轴建立空间直角坐标系，易知

A（2,0,4），G（0,4,4）,P（2,2,2），AG=（—2,4,0）,^^=（0,2,-2）,取

。=4P=（0,2,—2）,M=t（-L2,0）,则l=8,a.腐=勺5,所以点尸到直线4G的距离为

|AC1|°5

/T――不_2屈

yjci-（a•u）————•

7

15.解：(1)a=l时，/(x)=(x-2)ev-2x2+4%,所以/■'(%)=-4X+4,

所以/(O)=—2"'(O)=3,

所以曲线y=/(£)在点(0,〃0))处的切线方程为y+2=3x,即3x—y—2=0.

(2)因为/(x)=(x-2产-2G;2+4依=(尤-2)(6"-2汨,

所以％=2是"％)的一个零点，

因为/(九)恰有三个零点，

1Y

所以方程e，—2依=0有两个不为2实数根，即方程一=F有两个不为2实数根,

2ae

令/?(%)=j所以〃(%)=二^,

ee

令"(x)＜0,得x＞l,令得了＜1,

所以人⑴在区间(-a」)上单调递增，在区间(1,+a)上单调递减,

1

当时，人(4)的值域为—OO,—；当X£(l,+8)时，"(X)的值域为

e

所以＜工＜工I2e1

0且—w—,所以一，且—，

2ae2ae224

22

(ee^fe1

所以。的取值范围是—u—,+^.

(24八(44J

16.解：(1)零假设“°：周平均锻炼时长与年龄无关联-

400(120x50-150x80)2

由表格数据得：力?x10.256>6.635=x,

200x200x270x130001

根据小概率值。=0.01的独立性检验，我们推断“。不成立，即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯

错误的概率不大于0.01.

8

（2）抽取的8人中，周平均锻炼时长少于5小时的有8x51=2人，不少于5小时的有8x型=6人,

200200

则X所有可能的取值为1,2,3,

o1cc35

所以P（X=1）=^^=—;P（X=2）=^^=一;P（X=3）=V=一

、7C28v7C28v7d14

ooo

所以X的分布列为:

X123

3155

p

282814

31559

所以数学期望矶X）=lx—+2x—+3x—=—

',2828144

17.（1）证明：连接PN,QN.

因为DM，平面ABCD,AD,DC,DBu平面ABCD,所以。M，AD,PD1DC.

因为。M=2BN=2,尸是O暇中点，所以四边形P03N为矩形，PN=BD=2,PD=NB=1.

因为。是正方形A3CD的对角线交点，所以。为AC,中点，PQ=NQ=J5,

所以P£+NC=PN2,PQLQN.

因为PA=PC=J5,Q为AC中点，所以PQLAC.

又ACcNQ=Q,AC,NQu平面⑷V。，所以P。，平面⑷VC.

（2）解：由（1）知，两两垂直，以。为原点，以所在直线分别为羽y,z轴建立

空间直角坐标系，

则A（V2,0,0）,C（0,V2,0）,M（0,0,2）,N（也0,1）,则

CN=（0,0,1）,MN=（0,应,—1）,A7V=（0,点,1）,

设平面CMN的法向量为力=（x,y,z）,

fi-MN=0,A/2X+0y-z=Q,

所以由一得「

n-CN=0,[V2x+z=0,

令z=0，可得〃=卜1,2,0）,

9

限叫_3&_屈

设直线AN和平面CMN所成角为。，则sin。=

同石,不7

所以直线AN和平面CMN所成角的正弦值为叵.

7

解得p=l或p=3(舍去),

所以抛物线C的方程为/=2x.

(2)假设在C上存在定点”(%),%),使得上“4+匕《；=2.

当直线/的斜率不存在或斜率为0时，不合题意；

设直线/的方程为>=左x+；,与>2=2x联立方程组，消去了并整理

,2

得y—y+l=0,

k一

4,,

由A=万一4>0,得网<1且左二O

2

设A(%，%)，5(%2，%)，则%+%