2024高考数学椭圆与双曲线的性质50条

椭圆与双曲线的对偶性质一(必背的经典结论)

椭圆

1.点P处的切线PT平分△PFF2在点P处的外角.

2.PT平分△PBF2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两

个立而点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.以焦点半径PH为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

Xy

一=1上，则过凡的椭圆的切线方程是誓+理=1.

5.若片(后,%)在椭圆二b2

aab"

z2

X2

2

6.若此(%,%)在椭圆不人=1外,则过PO作椭圆的两条切线切点为Pl、P2,则切点弦P1P2的直线方程是

a

%%।%3二1

—1

a2十b72,

椭圆工的左右焦点分别为点为椭圆上任意一点鸟则椭圆的焦点角

7.+==1(a>b>0)Fi,F2,P=7,

ab

形的面积为SXF\P%=b1tan^.

22

椭圆二+当=的焦半径公式：

8.1(a>b>0)

ab

\MFl\=a+ex0,\MF2\=a-ex()(Fl(-c,Q),&(c,0)/(%,%)).

9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点

F的椭圆准线于M、N两点，则MFLNF.

10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,Al、A2为椭圆长轴上的顶点，A|P和A2Q交于点M,A2P和

AiQ交于点N,则MFLNF.

v2y2A2

11.AB是椭圆—+4=1的不平行于对称轴的弦，MO。，%)为AB的中点，贝”。加心=—.，

aba

2222

12.若用(%,方)在椭圆三+1=1内，则被P。所平分的中点弦的方程是邛+岑=鸟+”.

ab矿ba-b

2222

13.若玲(不,先)在椭圆=+与=1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是0+2=辫+芈.

a-b-abab

双曲线

1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2.PT平分△PFF?在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴

的两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4.以焦点半径PFi为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

22

5.若凡（%,为）在双曲线三—与=1（a>0,b>0）上，则过弓的双曲线的切线方程是誓—邛=1.

abab

22

6,若《（%,为）在双曲线A—与=1（a>0,b>0）外，则过P。作双曲线的两条切线切点为Pi、P2,则切

ab

点弦P1P2的直线方程是胃-誓=1.

a2b2

22

7.双曲线、—与=1（a>0,b>o）的左右焦点分别为B，F2，点P为双曲线上任意一点/耳「马=7，则

ab

双曲线的焦点角形的面积为SAFPF=b?cot匕.

z-iz11i2

22

8.双曲线二—与=1（a>0,b>o）的焦半径公式：（片（―c,0）,F,（c,O）

a"b~

当”（%,%）在右支上时，|加耳|=%hex0-a.

当”（七,%）在左支上时，|“片|=-ex。+a,|A/8|=-ex。一a

9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交

相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFLNF.

10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,Ai、A2为双曲线实轴上的顶点，AF和A?Q交于点

M,A2P和AiQ交于点N,则MF_LNF.

22

11.AB是双曲线「—与=1（a>0,b>0）的不平行于对称轴的弦，M（Xo，y（））为AB的中点，则

ab

12.若兄（七,先）在双曲线1=1（a>0,b>0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是

ab

22

x__2o_

xQxyQy=0

22

“2b—a?b,

2222

13,若《（Xo，先）在双曲线T-1=l（a>0,b>0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是5-==2-邛.

ababab

椭圆与双曲线的对偶性质一（会推导的经典结论）

椭圆

V22

y

1.椭圆T+=1（a>b>o）的两个顶点为4（-。,0）,4（。,0）,与y轴平行的直线交椭圆于P」2时AR

a

22

与A2P2交点的轨迹方程是5-3=1.

ab

2.过椭圆=+4=1(a>0,b>0)上任一点A(%,%)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则

ab

b2

直线BC有定向且即c=已3x(常数).

a%

22

3.若P为椭圆二+当=l(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,FI,F2是焦点，NPF、F,=a,NPg4=，，

ab

.a-caB

贝n!J-------二tan—c(7t-.

a+c22

22

4.设椭圆:+与=1(a>b>0)的两个焦点为Fi、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△PF1F2

ab

winnc

中，记NPF[F,=/3,NFF，P=y,则有一一―=-=e

sin/+sin7a

22

若椭圆三+与的左、右焦点分别为、左准线为则当时，可在

5.=1(a>b>0)FiF2,L,0<eWji—1

ab

椭圆上求一点P,使得PFi是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

22

为椭圆二+与(上任一点I为二焦点，为椭圆内一定点，则

6.P=1a>b>0),F,F2A

ab

2a-1AF21<|PA|+|P^|<2a+\A昂，当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

(x-%)2।(y-%)

7.椭圆一=1与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是

a1b2

A2a2+B2b2>(右+By。+C)2.

V22

8.已知椭圆+*=1(a>b>0),O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPLOQ.(1)

a

114a2b2a2b2

11=4+4；(2)|OPF+|OQ|2的最大值为考J；(3)SAGO的最小值是等号.

---------------------7

\OP\-|OQ『aba+ba+b

22

过椭圆二+与的右焦点作直线交该椭圆右支于两点，弦的垂直平分线交

9.=1(a>b>0)FM,NMNx

ab

轴于p,则

\MN\2

22

10.已知椭圆3+==1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点

ab

2122

nla-ba-b

P(x0,0),则--------<x<-----------.

a0a

22

设点是椭圆与上异于长轴端点的任一点,、为其焦点记。，则

11.Pj+=1(a>b>0)FiF2N£PE,=

a2b2

(D|Pf；||P^|=-^—.(2)S.FL4tan(

1+cos92

22

12.设A、B是椭圆A+斗=1（a>b>0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，ZPAB=a,

ab

2ab~|cosa\

ZPBA=J3,ZBPA=y,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有（1）|P4|=.(2)

a2-c2cos2y

tanetan，=1一e?.(3)S^AB=^^cot/.

b-a

22

j+=1a>b>0）xE,R

13.已知椭圆与（的右准线/与轴相交于点过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于

a2b2

A、B两点，点C在右准线/上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.

14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂

直.

15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.

（注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17.椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18.椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质一（会推导的经典结论）

双曲线

22

1.双曲线f—1=1（a>0,b>0）的两个顶点为4（—0）,4（。，0），与y轴平行的直线交双曲线于

ab

22

Pl、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是'+'=1.

ab

22

2.过双曲线二-3=1（a>0,b>o）上任一点A（Xo，%）任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于BC

ab

竺（常数）.

两点，则直线BC有定向且左pc

a%

22

3.若P为双曲线1=l(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,Fi,Fz是焦点，NPF[K=«,

a2b2

,allc皿。一。aB_c-aBa、

ZPFF.=B,贝!J----=tan—cot—(或-----=tan—cot—).

?一c+a22c-\-a22

22

4.设双曲线a=1(a>0,b>0)的两个焦点为Fi、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,

a

«in(~yc

在△PF1F2中,记/片根二°,APFF=P^FFP=Y，则有--------------=—=e

X2X2±(sin/-sin/3)a

5.若双曲线=-3=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi、F2,左准线为L,则当l<eW0+1时,

a"b"

可在双曲线上求一点P,使得PFi是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

6.P为双曲线「一与=1(a>0,b>0)上任一点,B,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则

ab

IAF2\-2aW|P41+1Pf；|,当且仅当A乙,尸三点共线且尸和A8在y轴同侧时，等号成立.

22

7.双曲线三—当=1(a>0,b>0)与直线Ac+互y+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2<C2.

ab

22

8.已知双曲线二—斗=1(b>a>0),0为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且

ab

111A.2人2272

⑴所+标声⑵QPF+QQF的最小值为釜r⑶的最小值是看.

|Czr||(.7^/|uDU-ClD-U

22

9.过双曲线二-2=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂

ab

直平分线交x轴于p,则人犯=工.

\MN\2

22

10.已知双曲线二-二=1(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交

ab

于点P(x,O),则九02"+"或不<一"十".

oaa

22

11.设P点是双曲线马—当=1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,Fi、F2为其焦点记/耳「凡