2025届江苏省江门中学数学高一下期末综合测试试题含解析

2025届江苏省江门中学数学高一下期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．过正方形的顶点，作平面，若，则平面和平面所成的锐二面角的大小是A． B．C． D．2．若正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．3．已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30~7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45~7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是（）A． B． C． D．4．在长方体中，，，，则异面直线与所成角的大小为()A． B． C． D．或5．已知随机事件和互斥，且,.则（）A． B． C． D．6．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．必然事件7．在△ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为（）A．3B．4C．5D．68．把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，则己知圆锥的母线长为（）.A． B． C． D．9．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A． B．或C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形10．若函数（）有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知数列的前项和，那么数列的通项公式为__________．12．在△ABC中，若，则△ABC的形状是____.13．若过点作圆的切线，则直线的方程为_______________.14．已知在中，，则____________.15．若满足约束条件，的最小值为，则________．16．在中，，点在边上，若，的面积为，则___________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列满足．证明数列为等差数列；求数列的通项公式．18．已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α，β∈(0，).求：(1)cos(α－β)的值；(2)β的值.19．在中，角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求的面积20．已知函数，，且是R上的奇函数，（1）求实数a的值；（2）判断函数）的单调性（不必说明理由），并求不等式的解集；（3）若不等式对任意的恒成立，求实数b的取值范围.21．等差数列的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数.求此数列的公差及前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】法一：建立如图(1)所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为＝，故所求的二面角的大小是45°.法二：将其补成正方体．如图(2)，不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角，其大小为45°.2、B【解析】

根据，结合基本不等式可求得，从而得到关于的不等式，解不等式求得结果.【详解】由题意知：，，（当且仅当，即时取等号），解得：本题正确选项：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值.3、D【解析】

根据甲、乙的到达时间，作出可行域，然后考虑甲、乙能同乘一辆公交车对应的区域面积，根据几何概型的概率求解方法即可求解出对应概率.【详解】设甲到起点站的时间为：时分，乙到起点站的时间为时分，所以，记事件为甲乙搭乘同一辆公交车，所以，作出可行域以及目标区域如图所示：由几何概型的概率计算可知：.故选：D.【点睛】本题考查利用线性规划的可行域解决几何概型中的面积模型问题，对于分析和转化的能力要求较高，注意几何概型中面积模型的概率计算方法，难度较难.4、C【解析】

平移CD到AB，则即为异面直线与所成的角，在直角三角形中即可求解.【详解】连接AC1，CD//AB，可知即为异面直线与所成的角，在中，，故选．【点睛】本题考查异面直线所成的角.常用方法：1、平移直线到相交；2、向量法.5、D【解析】

根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果.【详解】与互斥本题正确选项：【点睛】本题考查概率中的互斥事件、对立事件概率公式的应用，属于基础题.6、B【解析】试题分析：把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，是互斥事件，但除了事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”还有“丙分得红牌”，所以这两者不是对立事件，答案为B.考点：互斥与对立事件.7、A【解析】试题分析：在中，设，∵，，即，∴，∵，∴，即．∵，，∴，，∴．根据直角三角形可得，，，∴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系可得，为线段上的一点，则存在实数使得．设，，则，且，∴，可得则，即，解得，故所求的最大值为：，故选A．考点：三角形的内角和定理，两角和的正弦公式，基本不等式求解最值．8、B【解析】

设圆锥的母线长为，根据圆锥的轴截面三角形的相似性，通过圆台的上、下底面半径之比为来求解.【详解】设圆锥的母线长为，因为圆台的上、下底面半径之比为，所以，解得.故选：B【点睛】本题主要考查了旋转体轴截面中的比例关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9、C【解析】

由，化简可得，得到,又由四边形为平行四边形，即可得到答案.【详解】由，则，即，化简可得，所以，即,又由四边形为平行四边形，所以该四边形为矩形，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的基本运算，以及向量的垂直关系的应用，其中解答中熟记向量的基本运算，以及向量的垂直的判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10、A【解析】

函数（）有两个不同的零点等价于函数在均有一个解，再解不等式即可.【详解】解：因为，由函数（）有两个不同的零点，则函数在均有一个解，则，解得：，故选：A.【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，重点考查了分式不等式的解法，属中等题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

运用数列的递推式即可得到数列通项公式．【详解】数列的前项和，当时，得；当时，；综上可得故答案为：【点睛】本题考查数列的通项与前项和的关系，考查分类讨论思想的运用，求解时要注意把通项公式写成分段的形式．12、钝角三角形【解析】

由，结合正弦定理可得，，由余弦定理可得可判断的取值范围【详解】解：，由正弦定理可得，由余弦定理可得是钝角三角形故答案为钝角三角形．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础题13、或【解析】

讨论斜率不存在时是否有切线，当斜率存在时，运用点到直线距离等于半径求出斜率【详解】圆即①当斜率不存在时，为圆的切线②当斜率存在时，设切线方程为即，解得此时切线方程为，即综上所述，则直线的方程为或【点睛】本题主要考查了过圆外一点求切线方程，在求解过程中先讨论斜率不存在的情况，然后讨论斜率存在的情况，利用点到直线距离公式求出结果，较为基础。14、【解析】

根据可得，根据商数关系和平方关系可解得结果.【详解】因为，所以且，又，所以，所以，因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的符号法则，考查了同角公式中的商数关系和平方关系式，属于基础题.15、4【解析】

由约束条件得到可行域，取最小值时在轴截距最小，通过直线平移可知过时，取最小值；求出点坐标，代入构造出方程求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：取最小值时，即在轴截距最小平移直线可知，当过点时，在轴截距最小由得：，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查现行规划中根据最值求解参数的问题，关键是能够明确最值取得的点，属于常考题型.16、【解析】

由，的面积为可以求解出三角形，再通过，我们可以得出(两三角形等高)再利用正弦形式表示各自面积，即能得出的值.【详解】，的面积为，所以为等边三角形，又所以（等高），又所以填写2【点睛】已知三角形面积及一边一角，我们能把形成该角的另外一边算出，从而把三角形所有量都能计算出来（如果需要），求两角正弦值的比值，我们更多联想到正弦定理的公式，或面积公式.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】

（1）已知递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明.（2）由（1）可知数列为等差数列，确定数列的通项公式，即可求出数列的通项公式．【详解】证明：，且有，，又，，即，且，是首项为1，公差为的等差数列．解：由知，即，所以．【点睛】本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法，考查了运用取倒数法求数列的通项公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.18、（1）【解析】

（1）利用同角的平方关系求cos(α－β)的值；（2）利用求出，再求的值.【详解】（1）因为，所以cos(α－β).（2）因为cosα＝，所以，所以，因为β∈(0，)，所以.【点睛】本题主要考查同角的三角函数的关系求值，考查差角的余弦，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19、（1）；（2）.【解析】

(1)根据正弦定理把题设等式中的边换成相应角的正弦,化简整理可求得,进而求得;(2)根据余弦定理得,结合求得的值,进而由三角形的面积公式求得面积.【详解】（1）根据正弦定理,又,．（2）由余弦定理得:,代入得,故面积为【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.20、（1）0（2），（3）【解析】

（1）根据奇函数的性质可得．，由此求得值（2）函数在上单调递增，根据单调性不等式即可（3）不等式．．分离参数即可．【详解】（1），是上的奇函数．．即得：．即，得：．，．（2）由（1）得．函数在上单调递增，由不等式得不等式．所以，解得不等式的解集为，．（3