湖南省长沙市长沙县2022-2023学年高二年级下册期末联考数学试题（解析版）

2023年高中二年二期期末检测试卷

数学试题

本试题卷共4页，分第I卷与第II卷两部分，全卷满分150分，考试用时120分钟

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.命题“VxeR,”的否定是（）

A.VxGR,%2+%<0B.VXGR,X2+X<0

C.3x0eR,+x0<0D.3x0eR,x：+x0<0

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可的解.

【详解】解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题，

所以“VxeR,M+XNO”的否定是七oeR,片+/<（）.

故选：D.

2.已知扇形的半径为1,面积为2,则这个扇形的圆心角的弧度数为（）

A.石B.273C.2D.4

【答案】D

【解析】

【分析】利用扇形面积的面积公式即可解得.

【详解】设扇形圆心角的弧度数为a,

因为扇形所在圆的半径为1,且该扇形的面积为2，

则扇形的面积为5=,二*12=2,

2

解得：a=4.

故选：D.

3.已知=10x9x8x7x6,则〃的值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用排列数公式计算作答.

„10!10!10!10!

【详解】因为AAlon；；；；-而10x9x8x7x6=——，即有―昼=不，于是1（）一〃=5,

（10-/?）!5!（10-n）!5!

所以”的值为5.

故选：C

4.已知离散型随机变量X服从二项分布且E（X）=4,O（X）=2,则〃=（）

A.16B.8C.4D.2

【答案】B

【解析】

【分析】利用二项分布的期望和方差公式可得出关于〃、P的方程组，即可解得"的值.

【详解】因为离散型随机变量X服从二项分布且E（X）=4,D（X）=2,

〃=8

E（X）=〃〃=4

,解得《1.

0（X）=〃〃（l_p）=2

P=3

故选：B.

5.下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清

明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨.某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率

是0.9,连续两天下雨的概率是0.63,若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（）

A.0.63B.0.7C.0.9D.0.567

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案.

【详解】记事件A表示“清明节当天下雨”，8表示“第二天下雨”，

由题意可知，P(A)=0.9,P(AB)=0.63,所以P(6|4)=多符=需=0.7.

故选：B.

【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生的计算能力和应用能力

6.某学校食堂对30名高三学生偏爱蔬菜与偏爱肉类进行了一次调查，将统计数据制成如下表格：

偏爱蔬菜偏爱肉类

男生/人48

女生/人162

则认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关的把握至少有()

附：k「5+以」州「c)e+d)，〃"+"c+心

2

P（K>kn）0.0100.0050.001

k。6.6357.87910.828

A.95%B.99%C.99.5%D.99.9%

【答案】C

【解析】

【分析】列出2x2列联表，根据公式计算出K?的观测值，对照临界值表可得出结论.

【详解】由已知，2x2列联表为

偏爱蔬菜偏爱肉类合计

男生/人4812

女生/人16218

合计201030

则非的观测值—笔篇翳37.879,

故至少有99.5%的把握认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关,

故选：c.

【点睛】本题考查了独立性检验，解题关键是计算出观测值，属于基础题.

7.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，

那么不同的停放方法的种数为

A.16B.18C.24D.32

【答案】C

【解析】

【分析】把剩余的4个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有3辆不同型号的车，共有四个不同

的元素，利用排列数公式，即可求解.

【详解】由题意知，剩余的4个车位连在一起，把剩余的4个车位看成一个元素，且只有一种排法，

再加上有3辆不同型号的车，所有共有四个不同的元素，

其中四个元素的排列共有用=24种，故选C.

【点睛】本题主要考查了排列的应用，其中解答中把剩余的4个车位看成一个元素，共有四个不同的元

素，利用排列数公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

8.若函数g(x)=lnx+gx2-0—i)x存在单调递减区间，则实数b的取值范围是()

A.[3,+00)B.(3,+oo)

C.(YO,3)D.(~3]

【答案】B

【解析】

【分析】首先计算出g'(x),由g(x)存在单调递减区间知g'(x)<0在(0,+8)上有解即可得出结果.

【详解】函数g(x)=lnx+gv一色—1卜的定义域为(0,+⑹，且其导数为

(x)=-+x-(fe-l).由g(x)存在单调递减区间知g'(x)<0在(0,+co)上有解，即L+X-S-1)有

解.因为函数g(x)的定义域为(0,+8),所以X+，N2.要使L+X—3—1)有解，只需要L+X的最

XXX

小值小于6-1,所以即>>3,所以实数力的取值范围是(3,+8).

故选:B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全对的得2分.

9.下列有关复数的说法正确的是()

A.若复数z=5,则zeRB.若Z+5=0,则z是纯虚数

C.若Z是复数，则一定有|z『=z2D.若Z1,Z2eC,则Z/Z2=Z「Z?

【答案】AD

【解析】

【分析】A由共辅复数概念及复数相等判断；B、C应用特殊值法，令z=N=O及z=l+i判断；D设

ZI=a+bi(a,beR),z2=m+ni(m,neR),利用共规复数概念及复数乘法分别求出zt-z2,■云判断.

【详解】A：az=a+Oi(a,beR),则三=“_抚，^z=z,即有/?=0,故zeR,正确；

B：当z=彳=0时，z+z^O,而z不是纯虚数，错误；

C：当z=l+i，则|z『=2,而z?=2i，显然|z『=z2不成立，错误；

D：令Z[=Q+Z?i(a,Z?£R),z2=m+ni(/n,/?GR),则•z2=++,故

4-z2=ma—nh—(jnb+na)i,

又zi=a-bi，Z2=m-tn»贝U4n2力一(〃而+〃a)i,

所以4•Z2=4•Z2，正确.

故选：AD

10

10.对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据&,y)(i=l,2,3,,10),已知»=20,

i=\

10

Zv=1°，则()

1=1

A.数据乙一2y+l(i=l,2,3,,10)的平均数为0

B.若变量的经验回归方程为$=2x+4,则实数4=一3

C.变量乂y的样本相关系数厂越大，表示模型与成对数据羽丁的线性相关性越强

D.变量x，y的决定系数R2越大，表示模型与成对数据x,y拟合的效果越好

【答案】BD

【解析】

【分析】对A：由平均数的性质即可求解；对B：根据回归直线必过样本中心即可求解；对C：根据相关

系数卜|越大，线性相关性越强即可判断；对D：变量的决定系数R?越大，数据拟合的效果越好

即可判断.

【详解】解：因为工士=20,>2y=1°，所以5=2,9=1.

对于选项A,乙一2%+1（/.=1,2,3,,10）的平均数为亍—2y+l=2—2+1=1,故选项A错误；

对于选项B,若变量尤,V的经验回归方程是9=2x+4,则4=y—25=1-4=一3,故选项B正确；

对于选项C,当变量X，）’为负相关时，相关性越强，相关系数〃越小（越接近于-1）,故选项C错误；

对于选项D,变量x，y的决定系数R2越大，残差平方和越小，则变量拟合的效果越好，故选项D正

确.

故选：BD.

的展开式中，下列结论正确的是（

A.展开式的二项式系数和是128B.只有第4项的二项式系数最大

C./的系数是一7D.展开式中的有理项共有3项

【答案】AC

【解析】

【分析】根据二项式展开式的通项特征即可判断CD,由组合数的性质即可判断B,由二项式系数和可判断

【详解】对于A,二项式系数和为27=128,故A正确,

对于B,由于C；=C；,所以第四项与第五项的二项式系数均为最大，故B错误,

对于C,的通项为

（-1/G（Vx）x-k=（-l）kC*=婷=（一1）"亍，丘{0,123,4,5,6,7},令

年=2=左=1,

所以产的系数是（_1）（；=一7,故C正确，

当％=1,3,5,7时，芋为整数，所以有理项有4项，故D错误，

故选：AC

12.在中，角A,B,C对边分别为“，h,c,对于dABC有如下命题，其中正确的是（）

A.若/+后>。2,则一ABC是锐角三角形

B.若A=1,a=6,则..ABC的外接圆的面积等于兀

C.若锐角三角形，则sinA>cosB

D.若acosA=Aos5,则_ABC是等腰直角三角形

【答案】BC

【解析】

兀71

【分析】根据余弦定理即可判断A；根据正弦定理，即可判断B；由题意可得一>A>--B>0,即可判

22

断C；根据正弦定理和二倍角的正弦公式计算化简，即可判断D.

^,22_>2

【详解】A：由余弦定理，得cosB=U^~~—>0,得8为锐角，

2ac

不能判断ABC为锐角，故A错误；

2R=-CL-=6=2

B：设.ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理得sinA.石一，

T

得R=l，所以其外接圆的面积为兀R2=兀，故B正确；

C：若一ABC为锐角三角形，则A+B>四，且色>4>巴—8>0,

222

(71、

所以sinA>sin-BJ=cos8,故C正确：

D：acosA-hcosB,由正弦定理，得sinAcosA=sin8cos8,

即sin2A=sin2B,而A8,A+8e(O,兀)，所以2A=28或24=兀-23,

TT

即A=8或A+8=—,则一ABC为等腰三角形或直角三角形，故D错误.

2

故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设函数/(%)=卜—2x—3,xW2,贝7(/⑶)=___________.

7

log2(x-2),x>2

【答案】一3

【解析】

【分析】根据题意，由函数解析式求出八3)的值，进而计算可得答案.

%〜一2x—3x〈2

【详解】根据题意，函数/(幻=〈’—，

log2(x-2),x>2

则/⑶=log2(3-2)=0,则/(/(3))=/(0)=-3,

故答案为：—3.

14.某学校共1000人参加数学测验，考试成绩J近似服从正态分布N(110,cr2),若

P(110<^<130)=0.35,则估计成绩不及格(在90分以下)的学生人数为.

【答案】150

【解析】

【分析】根据正态分布曲线的性质即可求解.

【详解】由已知可得，〃=110,所以244110)=05

又P。10«4<130)=0.35,根据正态分布的对称性可得P(904J4110)=0.35,

所以P(4490)=尸©4110)-尸(90444110)=0.5-0.35=0.15.

所以，可估计成绩不及格(在90分以下)的学生人数为1000x0.15=150.

故答案为：150.

15.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中，则每一个盒子至少有1个小球的放法有种.

【答案】20

【解析】

【分析】利用隔板法即可得到答案.

【详解】7个小球之间有6个空位，插入3个隔板，便把7个小球分成4份，有C：种方法，

故使每个盒子至少有1个小球的不同分法共有C：=20种.

故答案为：20.

16.已知定义在R上的奇函数“X)满足〃4+x)+/(—x)=0,若/(2)=4,则曲线〉=/(%)在

x=-6处的切线方程为.

【答案】y=4x+24

【解析】

【分析】由〃4+x)+.f(—x)=0结合/(x)为奇函数，可得/(4+x)=〃x),进而可得〃-6)=0,对

〃4+x)=/(x)两边同时求导可得了'(4+x)=/'(x),求出尸(W)=4,结合导数的几何意义求解即

可.

【详解】由，(4+x)+/(—x)=0,

令x=—2,则〃2)+/(2)=2/(2)=0,即/(2)=0,

又/(x)为奇函数,则/(4+%)=—/(一%)=/(%)，

故/(x)是以4为周期的周期函数，则〃-6)="2)=0,

对〃4+x)=〃x),求导得/(4+x)=_f(x),

故「(可是以4为周期的周期函数,则r(-6)=r⑵=4,

即切点坐标为(-6,0),切线斜率攵=4,

故切线方程为y—0=4(x+6),即y=4x+24.

故答案为：y=4x+24.

四、解答题：本题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知函数/(x)=Gsin2x+cos2x；

(1)求“X)的最小正周期及对称中心；

(2)若XG-今。,求“X)的最大值和最小值.

【答案】(1)最小正周期)；对称中心为■——,0l,(Z:Gz)；(2)最小值为-1；最大值为2.

【解析】

【分析】(1)利用辅助角公式将函数化简为/(x)=2sin(2x+g],代入正弦型函数周期公式T=竺

I6JG)

及对称中心方程即可求解；

(2)由x的范围，求出2x+f的范围，根据正弦函数的图像与性质可得，当2x+3=W时，/(x)取

662

得最大值，当2x+5=-5时，/(%)取得最小值，即可得答案.

66

【详解】解：(1)/(x)=V^sin2x+cos2x=2sin(2x+小

・・・/("的最小正周期为7二券=万

令sin（2x+讣。，则x亭一9一）

•**f（x通对称中心为（日•-1,0）,（攵£z）

7171乃-乃/5%

(2)---XG----42xH—«—,

~6,1666

sinf2,x+—j<1,—1</(x)<2

6

.•.当2x+^=-Z,即*=一5•时，/（x）的最小值为-1；

666

当2%+巳=色，即x=9时，/（x）的最大值为2.

626

【点睛】本题考查正弦型函数的周期，对称中心及最值问题，考查辅助角公式的应用，考查计算化筒的

能力，属基础题.

18.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会.

（1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？

（2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？

【答案】（1）63；（2）31

【解析】

【分析】（1）对于去几人进行分类讨论，最后根据加法计数原理求解即可；（2）对甲和乙两位同学要么

都去，要么都不去进行分类讨论，分别计算去法种数，最后相加即可.

【详解】（1）一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，

去1人时，有C：=6种去法；去2人时，有点=15种去法；

去3人时，有=2（）种去法；去4人时，有C：=15种去法；

去5人时，有C；=6种去法；去6人时，有C：=1种去法；

根据分类计数原理得：共有C：+屐+C；+C：+C；+C：=63种去法；

（2）当甲和乙两位同学都去，则至少要去2人，

则有+C：+第+C：+C：=24=16种去法；

当甲和乙两位同学都不去，则有C：++C：+C：=15种去法；

根据分类计数原理得：共有16+15=31种去法：

19.已知函数/(用=学2。为常数)是定义在的奇函数，且〃1)=L

x+a2

(1)求函数/(x)的解析式：

(2)若“X)在定义域［—1,1］是增函数，解关于x的不等式/(x-l)+/(x)<0.

【答案】(1)/(x)=-^,xe［-l.l］

⑵陷

【解析】

【分析】(1)利用奇函数的性质，结合/(l)=g列方程组，解方程组求得。力的值，也即求得函数

“X)的解析式；

(2)利用奇函数的性质化简不等式/(X-1)<-f(x),在根据函数/(X)的定义域和单调性列不等式，

解不等式求得X的取值范围.

【小问1详解】

/(0)=0—=0f

由题意可知(,、1,即<a,,,,解得<b=0,,

川)=5\+b1a=\

T+a~2

所以函数/(x)的解析式为/(x)=Uj，x4T.f|；

【小问2详解】

不等式/(x-i)+/(1)<o可化为

因为/(X)是定义在［—1,1］的奇函数，所以

又因为/(x)在定义域卜1,1］是增函数，等价于「—IK—XVI,

九一1<-X

「

解之得0,-,故不等式/(x-l)+/(x)<0的解集为

20.在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成

绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为［40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分

数不低于90分为优秀.

“频率

组距

0.030-----------------------

a-------------------------------

0.020------------------

0.010---------------------------------

0.005——

405060708090分数

(1)从样本中随机选取一名学生，己知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优秀的概

率；

(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在[70,100]内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机

抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X,求X的分布列与数学期望.

【答案】(1)—

13

(2)分布列见解析；£(%)=—

【解析】

(分析】(1)先由频率直方图中频率之和为1求得a=0.025,从而求得不低于70分与不低于90分的人数，

由此求得这名学生成绩是优秀的概率；

(2)结合(1)中结论，求得成绩在[70,80],[80,90]与[90,100]内的人数，从而利用分层抽样比例相同

求得各区间所抽人数，由此利用组合数求得X各取值的概率，进而得到X的分布列与数学期望.

【小问1详解】

依题意，得(0.(X)5+0.010+0.020+0.030+a+0.010)xl()=l,解得a=0.025,

则不低于70分的人数为200x(0.030+().()25+0.010)xl()=130,

成绩在[90,100]内的，即优秀的人数为200x0.01()x10=20；

2

故这名学生成绩是优秀的概率为一；

13

【小问2详解】

成绩在［70,80］内的有200x0.030xl0=60（人）；

成绩在［80,90］内的有200x0.025x10=50（人）；成绩在［90,100］内的有20人；

故采用分层抽样抽取的13名学生中，成绩在［70,80）内的有6人，在［80,90）内的有5人，在［90,100］

内的有2人，

所以由题可知，X的可能取值为0,1,2,

贝厅*=。）=卷4，P（X=I）=等啜q,P（X=2）=等q,

C13ZoI32o13J?2o

所以X的分布列为：

X012

1551

P

26