北京市海淀区2024届高三年级下册期中练习（一模）数学试题（解析版）

海淀区2023—2024学年高三第二学期期中练习

数学试卷

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无

效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

1,已知全集"={X1I2WXW2},集合A={H-1«X<2},则第A=（I

A.(-2,-1)B.[-2,-1]C.(-2,-1){2}D.[-2,-1)1{2}

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.

【详解】全集U={x|—2<x<2},集合A={XH<X<2},

所以许A=[—2,—1）1{2}.

故选：D

2.若复数z满足力=l+i,贝ijz的共根复数是（）

A.-1-iB.l+iC.-1+iD.1-i

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数z即可求解结果.

【详解】解：复数z满足力=l+i,所以2=小=竺山=上=1一「

所以Z的共轨复数是l+i.

故选：B.

3.已知{4}为等差数列，S“为其前〃项和.若q=2%,公差dw0,S,“=0,则机的值为（）

【答案】B

【解析】

【分析】利用等差数列的通项公式求出生和d的关系，代入S“=0计算可得加的值.

【详解】由已知q=2〃2=2（%+d）,得q=-2d,

又5桃=maH--------d=-2mdH--------d=0,又dwO,

m1}22

YUXTYI-1）

所以-2〃2H——----=O,解得加=5或%=0（舍去）

2

故选：B.

4.已知向量a力满足|。|=2]=（2,0）,且|。+切=2,则上》〉=（)

兀兀2兀57r

A.-B.一C.—D.

633~6

【答案】C

【解析】

【分析】将|a+切=2两边同时平方，将条件带入计算即可.

【详解】由已知|。|=2,忖=2,

zrr、2r2rrr2rr

所以（a+6）=a+2b-a+b=4+2x2x2xcos〈。,》〉+4=4,

得cos〈a,b〉=—；,又〈〃,/?〉£[0,兀],

9IT

所以〈。力〉=1.

故选：c.

22

5.若双曲线=-1=l（a>0,6>0）上的一点到焦点（-J?,0）的距离比到焦点（正,0）的距离大6,则该双

ab

曲线的方程为（

2

X21

AA.---y=1B.---y2=1C./—Ji

4-2-2

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意及双曲线的定义可知2a=b,c=石，再结合42+廿=02,求出即可求出结

果.

【详解】由题知c=际，根据题意，由双曲线的定义知2a=Z?,Xa2+b2=c2,

2

所以5a2=5,得至1]/=1,/=4,所以双曲线的方程为必一21=1,

4

故选：D.

6.设名厂是两个不同的平面，/,机是两条直线，且muc,Ua.则“/，尸”是//，”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.

［详解】1±/3,且所以a//，，又mua,所以///分，充分性满足，

如图：满足力//，，但/，尸不成立，故必要性不满足,

所以“/，尸”是“m//尸”的充分而不必要条件.

故选：A.

x3,x<0

7.已知/(%)=<函数AM的零点个数为加，过点(0,2)与曲线y=/(x)相切的直线的条

lg(x+l),x>0

数为九，则以〃的值分别为()

A.1,1B,1,2C,2,1D.2,2

【答案】B

【解析】

【分析】借助分段函数性质计算可得加，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得〃.

【详解】令/(%)=0,即x40时，尢3=o,解得％=0,

X>0时，lg(x+l)=0,无解，故772=1,

设过点(0,2)与曲线y=/(x)相切的直线的切点为(%%)，

当x<0时，/'(%)=3x2,则有y_片=3片(1_/),

有2—芯=3片(一/)，整理可得。=-1,即/=—1,

即当天<0时，有一条切线，

当尤>0时，/'(%)=配，则有y—IgGo+lN^^%—%),

''x+1x()+l

有2—lg(%+1)=(一/)，整理可得(2+1ge)/+2-&+1)1g(xo+l)=O,

X。+1

4-g(x)=(2+lge)x+2-(x+l)lg(x+l)(x>0),

贝Ug'(x)=2—lg(x+l),

令g'(x)=0,可得x=99,

故当xe(O,99)时,g'(x)>0,即g(x)在(0,99)上单调递增，

当xe(99,+(»)时，g'(%)<0,即g(x)在(99,+“)上单调递减，

由g(99)=(2+lge)x99+2-200=991ge>0,

g(O)=2-0=2>0,故g(x)在x《0,99)上没有零点，

Xg(999)=(2+lge)x999+2-1000x3=9991ge-1000<0,

故g(%)在(99,999)上必有唯一零点，

即当%>。时，亦可有一条切线符合要求，

故〃=2.

故选：B.

8.在平面直角坐标系犬0y中，角。以。x为始边，终边在第三象限.则()

A.sina—cosa<tanaB.sina—cosa>tana

C.sinacosavtanaD.sincrcosa>tan。

【答案】C

【解析】

【分析】对A、B：举出反例即可得；对C、D：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.

详解】由题意可得sino<0、cosa<0,tana>0,

对A：当sino-0一时，cos。—一1,贝!jsin。一cos。-1,tanaf0,

此时sina—cosa>tana,故A错误；

,,57r...57r57r„5兀<..,„,

对B：当a=—时，sincc—cosa—sin----cos—=0<tan——1,故B?日沃；

4444

,.2sina2y八

对C、D：sina-cosa=cosa------=cosa-tana,由一IvcosovO,

cosa

故cos?ae(0,1),则cos2a•tana<tana，即sincr-cosa<tancr,

故C正确，D错误.

故选：C.

9.函数/(无)是定义在(-4,4)上的偶函数，其图象如图所示，/(3)=0.设/'(%)是“乃的导函数，则关于

尤的不等式/(X+I)•/■'(%)20的解集是()

A.[0,2]B.[-3,0][3,4)C.(-5,0][2,4)D.(-4,0][2,3)

【答案】D

【解析】

【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.

【详解】由/(3)=0,且/a)为偶函数，故/(—3)=0,

由导数性质结合图象可得当xe(-4,0)时，/'(%)＜0,

当xe(0,4)时，/(x)>0,当x=0时，即/'(0)=0,

-4<x+l<4

则由/(x+1)"'(九)》0,有..,解得T<xv3,

-4<x<4

/(x+l)>°T/(x+1)<0/、，/、

亦可得＜：(x)<0'或小+1)=°，或/(力=0，

I"》)〉。'I

l//((xx+)>1)0>0可得!-4<x+l<-33<x+l<4

由＜或＜，即2vxv3,

0<x<40<x<4

/(x+1)<0—3<%+1<3

由＜1/、八可得/八，即T<x<0,

[f(^)<0-4<x<0

由/(x+l)=0,可得％+1=±3,即x=2或1=-4(舍去，不在定义域内),

由/''(x)：。，可得尤=0,

综上所述，关于x的不等式/(%+1>/'(%)20的解集为(—4,0]"2,3).

故选：D.

10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下

规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉(分叉的角度约为60。)，再沿直线繁

殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁

殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心。开始，沿直线繁殖到41,然后分

叉向与42方向继续繁殖，其中N41A1142=60°,且AlAi与4I42关于。和所在直线对称，

441=4昌24n•…若%=4cm,为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半

径r(reN*，单位：cm)至少为()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在。4n方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算

公式，即可判断答案.

【详解】由题意可知，OAi=4cm,只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在。A”方向上距离的范

围，即可确定培养皿的半径的范围，

依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在。4n方向上前进的距离依次为:

42x有111义百

222482

则4+2邛+1+；邛=5+岁>5+}7,

黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在。Ai方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和,

X2+3+4百216+4A/316+8。

4+1+-+X-------1-----x------------------<--------=0

即44(281-12」33

44

综合可得培养皿的半径r（reN*，单位：cm）至少为8cm,

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖,解答的关键是理解题意，能明确黏

菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在。41方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知lnf=2,贝!Una?-In/??=.

b

【答案】4

【解析】

【分析】直接利于对数的运算性质求解.

【详解】因为ln@=2,

b

所以Ina?-In/??=ln二==21n0=4.

b-^b）b

故答案为：4•

12.已知（C:（x—1）2+丁=3,线段A5是过点（2,1）的弦，贝14回的最小值为.

【答案】2

【解析】

【分析】借助直径与弦垂直时，固有最小，计算即可得.

【详解】由（2—ly+V=2<3,故点（2,1）在圆的内部，

且该圆圆心为（1,0）,半径为也,

设圆心到直线AB的距离为d,

由垂径定理可得［网］=/一储，即|A用=26彳，

I2J

故当d取最大值时，|4耳有最小值，

又dmax=J（l—2）?+（0—1）2=0，

故|蝴=213-屋22后三=2.

故答案为：2.

%+“3

13.石，（X—2）4=+/三+4入2+Cl^X+Q0,贝！j—；—

40

【答案】①.16②.——

41

【解析】

【分析】借助赋值法，分别令I=0、x=l,x=—1计算即可得.

【详解】令X=0,可得（0-2）4=g,即旬=24=16,

令x=1,可得（1—2）4=a&+4+4,+4+a。，即a4+%+a。+4+4=（-1）=1,

令X=—1,可得(―1—2)4=%—%+g—4+%，即%—%+%—％+%=(―3)=81,

贝[](%+/+a>+a[+a。)+(a4-q+。*—4+a。)=2(%+a,+&)=1+81=82,

82

即a4+a2+a0=—=41,则％+g=]—(%+。2+。0)=]—41=-40,

q+%_40

故-------:——-----.

%+%+〃441

40

故答案为：16；

41

14.已知函数/(x)=sin卜+(Jsin2x,则/函数/（*）的图象的一个对称中心的坐

标为

JT

【答案】①.」②.（-了。）（答案不唯一）

【解析】

的函数值，根据条件，先求出使/（无）=。的一个取值

【分析】根据函数表达式，代入即可求出了|TT

TTJT

x=--,再证明（——,0）是/（X）的一个对称中心即可.

44

【详解】因为/(x)=sin(x+；]sin2x,所以/信兀)=sin(孚+1)sin(2xf)=—1,

(4)444

因f(x)定义域为R,当尤=-/时，/(—；)=sinsin(—g)=0,

44(44)2

IT

下证(——,0)是fM的一个对称中心，

4

在/。)=5由｝+；)[112%上任取点。(40，%),其关于(_弓,0)对称的点为p(_1一x(p—%),

巾£(兀\•(兀兀)•c/兀兀、/C\•/兀、.

又了(一不一/)=sin---x+—sin2(---xX)=s•in/(-x-—)s♦in(-7t-2x)=-sin(x+—)sin(x2r\x\)二-y,

乙V41J040I001000

IT

所以函数/(龙)的图象的一个对称中心的坐标为(-一,0),

4

JT

故答案为：-1；(——,0)(答案不唯一)

4

15.已知函数/(x)=Jd—%，给出下列四个结论：

①函数是奇函数；

②VkeR,且左W0,关于x的方程/(x)—履=。恰有两个不相等的实数根；

③己知P是曲线y=/(x)上任意一点，《一3，°]，则|AP|2；；

④设M(X，K)为曲线y=/Cx)上一点，"(％,%)为曲线3;=一/(£)上一点.若归+%|=1，则

\MN\＞1.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对左＞0与左＜0分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得;

对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.

3

【详解】对①：4x-x＞0.即有Mx+l)(xT)»0,BPxe[-l,0]o[l,+^],故函数/⑺不是奇函

数，故①错误；

对②：f(x)-kx=yJxi-x-kx=0＞即Jx3-4=kx，

当x=0时，有血一0=0,故0是该方程的一个根；

当XK0,左＞0时，由&_%=去,故无＞0,结合定义域可得尤e[l,+8],

有％3一%=左2%2,即一女2%-])=0,

令炉—产％—1=0，A=/+4>0,有_¥=.2+.左上或彳=>2—'左2+4(负值舍去)，则

22

k2+yJk-+40+V0+4,

x=---------->--------=1，

22

故/_/工_J=0必有一个大于1的正根，即f(x)-kx=0必有一个大于1的正根；

当xwO,左<0时，由Jv-X=kx，故x<0，结合定义域有xe[—1,0),

有％3一%=左2%2,即一左2%一])=0,

令M一左2%_i=o，A=/+4〉O，有X=F_J」2把或X=-2+JK+4(正值舍去)，

22

令左2+4=f>4，即左2="4，贝U

即X=K_'勺,故三—42%—1=0在定义域内亦必有一根,

2

综上所述，V左GR,且左/0,关于x的方程/(%)-依=0恰有两个不相等的实数根，故②正确;

对③：令尸(x,y),则有y=1X?一X，|AP[=[%+；[+(_%)=%3+%2+,

r2

令g(x)=d+尤2+：,%e[-l,0]u[l,+oo],g(x)=3x+2x=x(3x+2),

当xe，L—11u(l,+")时，g'(x)>0,当时，g'(x)<0,

故g(x)在(L+")上单调递增，在，g,o]上单调递减，

又g(—1)=—1+1+；=:,g(0)=0+1=1,故g(x)2；恒成立，BP|AP|2>|,故|AP|2g,故③

正确；

对④：当工1=》2时，由工目一1,0]口[1,+8]，忖+々|=1，故玉=々=一g,

当石彳々时，由>=/（尤）与y=—/（x）关于x轴对称，不妨设药<々，则有一1<%M0或

-1<<0<1<x2<2,

当一1«再<0<1<九2<2时，由九2一石2尤221，有

MM=J（九1—%2）2+（_X]_{X；-九2）>|Xj-x2|>B故成立;

当一14%<%240时，即有％2=1一百，

由③知，点M与点N在圆A：（x+（]+y2=:上或圆外，

设点”（为m）与点M（天川在圆上且位于无轴两侧，则|〃汽1=1,

故闫MN[=1；

综上所述，|肱V|»l恒成立，故④正确.

故答案为：②③④.

【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当巧、巧都小

于零时，的情况.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.在A8C中，bsinC+y/3ccosB-2c-

（1）求4；

（2）若a=26,b+c=4,求-ABC的面积.

jr

【答案】（1）-

6

（2）旧

【解析】

【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到sin3+6^053=2,再利用辅助角公式及特殊角的

三角函数值，即可求出结果；

7T

（2）根据（1）中3=2及条件，由余弦定理得到12+C2—^=6c，再结合Z?+C=4,即可求出

c=2,再利用三角形面积公式，即可求出结果.

【小问1详解】

因为bsinC+j3ccosB=2c，由正弦定理可得5111_85111。+65111。（：055=2sinC，

又Cc（0,7i）,所以sinCwO,得到sin3+百cos3=2，BP2sin（B+|）=2,

所以sin（3+工）=1,又因为8©（0,兀），所以§+巴=巴，得到3=工.

3326

【小问2详解】

由（1）知3=2,所以cos5，+「*=B,又a=26，得至心2+c?—〃=6。①,

6lac2

又Z?+c=4,得到Z?=4—c代入①式，得到c=2,

所以ABC的面积为SMC=-«csinJB=-x2V3x2xsin—=73.

17.如图，在四棱锥P—A5CD中，AD//3CM为5P的中点，A"//平面COP.

(1)求证：BC=2AD；

(2)若PA，A5,AB=AP=AD=C£)=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为

已知，使四棱锥P-ABCD存在且唯一确定.

(i)求证：上4,平面ABCD；

(ii)设平面CDPc平面衣4尸=/,求二面角C—/—8的余弦值.

条件①：BP=DP；

条件②：ABLPC-,

条件③：ZCBM=ZCPM.

注：如果选择的条件不符合要求，第(1)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

【答案】(1)证明见解析

(2)(i)证明见解析；(ii)立

7

【解析】

【分析】(1)借助线面平行的性质定理与中位线的性质即可得；

(2)(i)借助线面垂直的判定定理即可得；(ii)结合所给条件建立适当的空间直角坐标系后借助空间向

量计算即可得.

【小问1详解】

取PC的中点N,连接

因为M为5P的中点，^^MN=LBC,MN//BC,

2

因为AD/ABC,所以AD//MN,所以M,N,D,A四点共面，

因为AM//平面CDP,平面ACVDA平面CDP=£>N,AA/u平面初VDA,

所以AM//DV,所以四边形AAWD为平行四边形，所以MN=AT>,所以6c=2A£>；

(i)取的中点E,连接AE,AC,

由(1)知6C=2AD,所以£C=AD,

因为EC//AT),所以四边形AECD是平行四边形,

所以EC=AD=1,AE-CD,

因AB=CD=1,所以AE=1=43C,

2

所以NR4c=90，即AB1AC,

选条件①：BP=DP,

因为A5=AD=LPA=PA,所以..Q45与，Q4D全等,

所以445=々4£>,因为A3LQ4，所以NPAB=90°，

所以NH4D=90，即AP_LA£>,又因为A5cAC=A,

AB，ACu平面ABCD,所以AP1平面ABC。；

(ii)由(i)知API平面ABC。，而ACu平面ABCD,

所以AFLAC,因为PA，AB,AP=1,

建立如图所示空间直角坐标系A-孙z,

则p（o,o」）,c（o,G,o），d—：,q,o],

I22）

所以CD=—.PD=―万,、^,—1,AC=（0,6,0）,

16

—X-y----=---0-

/、n-CD-0

设平面尸£>。的法向量为〃=(x,y,z),贝卜一

n-PD=Q

y-z=0

令x=6，则y=_1,z=于是为=（也,-1,一6）,

ACn

因为AC为平面的法向量，且cosAC,〃二

mH43+1+3・退-7

所以二面角C-1-B的余弦值为叵.

7

选条件③：ZCBM=Z.CPM,

⑴因为NCBM=NCPM,所以CB=CP,

因为A3=AP=1,C4=C4,所以与△APC全等,

所以NPAC=/BAC=90，即B4LAC,

因为又因为ABcAC=A,AB、ACu平面ABC。，

所以上4_L平面ABCD；

(ii)同选条件①.

不可选条件②，理由如下：

由(i)可得A31AC,又E4LA5,

PAAC=A,PA，ACu平面PAC,

所以平面？AC,又因为PCu平面PAC,

所以AB，PC,即AB，PC是由已知条件可推出的条件，

故不可选条件②.

18.某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积

分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩(百分制，且均为整数)及相应过程性积分数

据，整理如下表：

科普测试成绩X科普过程性积分人数

90<x<100410

80<x<903a

70<%<802b

60<x<70123

0<%<6002

(1)当。=35时，

(i)从该校随机抽取一名学生，估计这名学生科普过程性积分不少于3分的概率；

(ii)从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之

和，估计X的数学期望E(X)；

(2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为工，上述100名学

生科普测试成绩的平均值记为Y2.若根据表中信息能推断X<E恒成立，直接写出。的最小值.

CQ

【答案】⑴⑴0.45；(ii)—；

9

(2)7.

【解析】

【分析】(1)(i)求出科普过程性积分不少于3分的学生数，再求出频率，并用频率估计概率即得；(ii)

求出X的所有可能值，由(i)的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率，再求出期望即得.

(2)求出X的最大值，再求出100名学生科普测试成绩的平均值八的最小值，由题设信息列出不等式求

解即得.

【小问1详解】

当。=35时,

(i)由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为10+35=45,

45

则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为——=0.45,

100

所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45.

(ii)依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的

所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的

7

概率估计为一，

9

同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分

的概率估计为《2，

X的所有可能值为6,7,8,

77497228224

P(X=6)=-x-=——，P(X=7)=2x-x-=—,P(X=8)=-x-=—,

998199819981

4928458

所以X的数学期望颐X)=6x」+7x、+8x—=e.

8181819

【小问2详解】

由表知，10+a+Z?+23+2=100,则〃=65—a,

从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为X,则X的最大值为

69,

100名学生科普测试成绩的平均值记为y2,要工＜X恒成立，当且仅当区)3N69,

显然为的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，

1

因此(i9mi„=一-[90*l°+80a+70(65-a)+60*23+0x2]=^^，则豌+匕69,解得

1001010

所以根据表中信息能推断乂〈玉恒成立的a的最小值是7.

19.己知椭圆G：%2+/冲2=机的离心率为三，4，4分别是G的左、右顶点，歹是G的右焦点.

（1）求机的值及点尸的坐标；

（2）设P是椭圆G上异于顶点的动点，点。在直线x=2上，且尸尸，尸Q,直线尸。与x轴交于点设

比较阿P「与|航41HM|的大小.

【答案】（1）m=2,F（1,O）

（2）<|肠4小眼4|

【解析】

【分析】（1）借助离心率计算即可得；

（2）设0（毛,%）,表示出/与。点坐标后，可得借助作差法计算即可得.

【小问1详解】

丫2

由G:X?+my2-m,即G:—+y?=1,

m

由题意可得力>1,故也=虫2,解得机=2,

2际

故G:5+y2=i,则而斤=1，故尸（1,0）；

【小问2详解】

设尸（七,%），Jr。,%*。，—A/2<%0<A/2,有节+y；=l,

由尸尸-LFQ,则有（乙）—1）,（2—+=。，即>0=

~%

由蜃2/0,故有/一♦二也，

2ToX0~XM

y0（2-x0）_y0（2-x0）_yl（2-x0）

即有〃「『r「「k?

%

(2)令/z(x)=/(x)+e-2q,对/?(x)求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出力(无)的单调区间，

进而得出心)在(0,+8)上取值范围，从而将问题转化成悭5+6%闫成立，构造函数

m(x)=e-+Jx,再利用加(无)的单调性，即可求出结果.

【小问1详解】

]11111

1a—xIa—xa—xi

易知定义域为R,因为〃曲=犹"「T，所以/'(x)=e2—二丘2'=e2

八,22

由/'(%)=。，得到x=2,当无<2时，f'(x)>0,当x>2时，f\x)<0,

所以，函数/a)的单调递增区间为2),单调递减区间为(2,+“).

【小问2详解】

令h(x)=f(x)+e~2a,则h'(x)-f'(x),

由(1)知，函数的单调递增区间为(—8,2),单调递减区间为(2,+8),

所以h(x)在X=2时取得最大值A(2)=2e"T+e_2a,

所以当天>2时，丸(％)=疑"5*+e%〉｝2a=丸(0)，当0<x<2时，h(x)>h(0),

即当xc(0,+8)时，/z(%)e(/z(0),/z(2)],

所以函数g(x)=xe"3'+e—2a在(0,+s)存在最大值的充要条件是快1+e-,

2ea-l+e2a+e2a_._

即Hn-----------------J+eaa>02,

2

令m(x)=e"T+e-2x,则mr(x)=e*"4+e4〉0恒成立，

所以加(％)=ex-1+e~2x是增函数，又因为根(-1)=e-2-e-2=0,

所以加(〃)=e"T+e_2a20的充要条件是,

所以。的取值范围为[—1,+8).

1

【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第(2)问，构造函数以利用函数单调性得到

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