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文档简介
海淀区2023—2024学年高三第二学期期中练习
数学试卷
本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无
效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
要求的一项.
1,已知全集"={X1I2WXW2},集合A={H-1«X<2},则第A=(I
A.(-2,-1)B.[-2,-1]C.(-2,-1){2}D.[-2,-1)1{2}
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件,利用补集的定义求解即得.
【详解】全集U={x|—2<x<2},集合A={XH<X<2},
所以许A=[—2,—1)1{2}.
故选:D
2.若复数z满足力=l+i,贝ijz的共根复数是()
A.-1-iB.l+iC.-1+iD.1-i
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数z即可求解结果.
【详解】解:复数z满足力=l+i,所以2=小=竺山=上=1一「
所以Z的共轨复数是l+i.
故选:B.
3.已知{4}为等差数列,S“为其前〃项和.若q=2%,公差dw0,S,“=0,则机的值为()
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式求出生和d的关系,代入S“=0计算可得加的值.
【详解】由已知q=2〃2=2(%+d),得q=-2d,
又5桃=maH--------d=-2mdH--------d=0,又dwO,
m1}22
YUXTYI-1)
所以-2〃2H——----=O,解得加=5或%=0(舍去)
2
故选:B.
4.已知向量a力满足|。|=2]=(2,0),且|。+切=2,则上》〉=()
兀兀2兀57r
A.-B.一C.—D.
633~6
【答案】C
【解析】
【分析】将|a+切=2两边同时平方,将条件带入计算即可.
【详解】由已知|。|=2,忖=2,
zrr、2r2rrr2rr
所以(a+6)=a+2b-a+b=4+2x2x2xcos〈。,》〉+4=4,
得cos〈a,b〉=—;,又〈〃,/?〉£[0,兀],
9IT
所以〈。力〉=1.
故选:c.
22
5.若双曲线=-1=l(a>0,6>0)上的一点到焦点(-J?,0)的距离比到焦点(正,0)的距离大6,则该双
ab
曲线的方程为(
2
X21
AA.---y=1B.---y2=1C./—Ji
4-2-2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意及双曲线的定义可知2a=b,c=石,再结合42+廿=02,求出即可求出结
果.
【详解】由题知c=际,根据题意,由双曲线的定义知2a=Z?,Xa2+b2=c2,
2
所以5a2=5,得至1]/=1,/=4,所以双曲线的方程为必一21=1,
4
故选:D.
6.设名厂是两个不同的平面,/,机是两条直线,且muc,Ua.则“/,尸”是//,”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】通过面面平行的性质判断充分性,通过列举例子判断必要性.
[详解】1±/3,且所以a//,,又mua,所以///分,充分性满足,
如图:满足力//,,但/,尸不成立,故必要性不满足,
所以“/,尸”是“m//尸”的充分而不必要条件.
故选:A.
x3,x<0
7.已知/(%)=<函数AM的零点个数为加,过点(0,2)与曲线y=/(x)相切的直线的条
lg(x+l),x>0
数为九,则以〃的值分别为()
A.1,1B,1,2C,2,1D.2,2
【答案】B
【解析】
【分析】借助分段函数性质计算可得加,借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得〃.
【详解】令/(%)=0,即x40时,尢3=o,解得%=0,
X>0时,lg(x+l)=0,无解,故772=1,
设过点(0,2)与曲线y=/(x)相切的直线的切点为(%%),
当x<0时,/'(%)=3x2,则有y_片=3片(1_/),
有2—芯=3片(一/),整理可得。=-1,即/=—1,
即当天<0时,有一条切线,
当尤>0时,/'(%)=配,则有y—IgGo+lN^^%—%),
''x+1x()+l
有2—lg(%+1)=(一/),整理可得(2+1ge)/+2-&+1)1g(xo+l)=O,
X。+1
4-g(x)=(2+lge)x+2-(x+l)lg(x+l)(x>0),
贝Ug'(x)=2—lg(x+l),
令g'(x)=0,可得x=99,
故当xe(O,99)时,g'(x)>0,即g(x)在(0,99)上单调递增,
当xe(99,+(»)时,g'(%)<0,即g(x)在(99,+“)上单调递减,
由g(99)=(2+lge)x99+2-200=991ge>0,
g(O)=2-0=2>0,故g(x)在x《0,99)上没有零点,
Xg(999)=(2+lge)x999+2-1000x3=9991ge-1000<0,
故g(%)在(99,999)上必有唯一零点,
即当%>。时,亦可有一条切线符合要求,
故〃=2.
故选:B.
8.在平面直角坐标系犬0y中,角。以。x为始边,终边在第三象限.则()
A.sina—cosa<tanaB.sina—cosa>tana
C.sinacosavtanaD.sincrcosa>tan。
【答案】C
【解析】
【分析】对A、B:举出反例即可得;对C、D:借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.
详解】由题意可得sino<0、cosa<0,tana>0,
对A:当sino-0一时,cos。—一1,贝!jsin。一cos。-1,tanaf0,
此时sina—cosa>tana,故A错误;
,,57r...57r57r„5兀<..,„,
对B:当a=—时,sincc—cosa—sin----cos—=0<tan——1,故B?日沃;
4444
,.2sina2y八
对C、D:sina-cosa=cosa------=cosa-tana,由一IvcosovO,
cosa
故cos?ae(0,1),则cos2a•tana<tana,即sincr-cosa<tancr,
故C正确,D错误.
故选:C.
9.函数/(无)是定义在(-4,4)上的偶函数,其图象如图所示,/(3)=0.设/'(%)是“乃的导函数,则关于
尤的不等式/(X+I)•/■'(%)20的解集是()
A.[0,2]B.[-3,0][3,4)C.(-5,0][2,4)D.(-4,0][2,3)
【答案】D
【解析】
【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.
【详解】由/(3)=0,且/a)为偶函数,故/(—3)=0,
由导数性质结合图象可得当xe(-4,0)时,/'(%)<0,
当xe(0,4)时,/(x)>0,当x=0时,即/'(0)=0,
-4<x+l<4
则由/(x+1)"'(九)》0,有..,解得T<xv3,
-4<x<4
/(x+l)>°T/(x+1)<0/、,/、
亦可得<:(x)<0'或小+1)=°,或/(力=0,
I"》)〉。'I
l//((xx+)>1)0>0可得!-4<x+l<-33<x+l<4
由<或<,即2vxv3,
0<x<40<x<4
/(x+1)<0—3<%+1<3
由<1/、八可得/八,即T<x<0,
[f(^)<0-4<x<0
由/(x+l)=0,可得%+1=±3,即x=2或1=-4(舍去,不在定义域内),
由/''(x):。,可得尤=0,
综上所述,关于x的不等式/(%+1>/'(%)20的解集为(—4,0]"2,3).
故选:D.
10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹,如图1.通过观察发现,该黏菌繁殖符合如下
规律:①黏菌沿直线繁殖一段距离后,就会以该直线为对称轴分叉(分叉的角度约为60。),再沿直线繁
殖,…;②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是,该组同学将整个繁
殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型:黏菌从圆形培养皿的中心。开始,沿直线繁殖到41,然后分
叉向与42方向继续繁殖,其中N41A1142=60°,且AlAi与4I42关于。和所在直线对称,
441=4昌24n•…若%=4cm,为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁,则培养皿的半
径r(reN*,单位:cm)至少为()
A.6B.7C.8D.9
【答案】C
【解析】
【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在。4n方向上前进的距离,结合无穷等比递缩数列的和的计算
公式,即可判断答案.
【详解】由题意可知,OAi=4cm,只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去,在。A”方向上距离的范
围,即可确定培养皿的半径的范围,
依题意可知黏菌的繁殖规律,由此可得每次繁殖在。4n方向上前进的距离依次为:
42x有111义百
222482
则4+2邛+1+;邛=5+岁>5+}7,
黏菌无限繁殖下去,每次繁殖在。Ai方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和,
X2+3+4百216+4A/316+8。
4+1+-+X-------1-----x------------------<--------=0
即44(281-12」33
44
综合可得培养皿的半径r(reN*,单位:cm)至少为8cm,
故选:C
【点睛】关键点点睛:本题考查了数列的应用问题,背景比较新颖,解答的关键是理解题意,能明确黏
菌的繁殖规律,从而求出每次繁殖在。41方向上前进的距离的和,结合等比数列求和即可.
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
11.已知lnf=2,贝!Una?-In/??=.
b
【答案】4
【解析】
【分析】直接利于对数的运算性质求解.
【详解】因为ln@=2,
b
所以Ina?-In/??=ln二==21n0=4.
b-^b)b
故答案为:4•
12.已知(C:(x—1)2+丁=3,线段A5是过点(2,1)的弦,贝14回的最小值为.
【答案】2
【解析】
【分析】借助直径与弦垂直时,固有最小,计算即可得.
【详解】由(2—ly+V=2<3,故点(2,1)在圆的内部,
且该圆圆心为(1,0),半径为也,
设圆心到直线AB的距离为d,
由垂径定理可得[网]=/一储,即|A用=26彳,
I2J
故当d取最大值时,|4耳有最小值,
又dmax=J(l—2)?+(0—1)2=0,
故|蝴=213-屋22后三=2.
故答案为:2.
%+“3
13.石,(X—2)4=+/三+4入2+Cl^X+Q0,贝!j—;—
40
【答案】①.16②.——
41
【解析】
【分析】借助赋值法,分别令I=0、x=l,x=—1计算即可得.
【详解】令X=0,可得(0-2)4=g,即旬=24=16,
令x=1,可得(1—2)4=a&+4+4,+4+a。,即a4+%+a。+4+4=(-1)=1,
令X=—1,可得(―1—2)4=%—%+g—4+%,即%—%+%—%+%=(―3)=81,
贝[](%+/+a>+a[+a。)+(a4-q+。*—4+a。)=2(%+a,+&)=1+81=82,
82
即a4+a2+a0=—=41,则%+g=]—(%+。2+。0)=]—41=-40,
q+%_40
故-------:——-----.
%+%+〃441
40
故答案为:16;
41
14.已知函数/(x)=sin卜+(Jsin2x,则/函数/(*)的图象的一个对称中心的坐
标为
JT
【答案】①.」②.(-了。)(答案不唯一)
【解析】
的函数值,根据条件,先求出使/(无)=。的一个取值
【分析】根据函数表达式,代入即可求出了|TT
TTJT
x=--,再证明(——,0)是/(X)的一个对称中心即可.
44
【详解】因为/(x)=sin(x+;]sin2x,所以/信兀)=sin(孚+1)sin(2xf)=—1,
(4)444
因f(x)定义域为R,当尤=-/时,/(—;)=sinsin(—g)=0,
44(44)2
IT
下证(——,0)是fM的一个对称中心,
4
在/。)=5由}+;)[112%上任取点。(40,%),其关于(_弓,0)对称的点为p(_1一x(p—%),
巾£(兀\•(兀兀)•c/兀兀、/C\•/兀、.
又了(一不一/)=sin---x+—sin2(---xX)=s•in/(-x-—)s♦in(-7t-2x)=-sin(x+—)sin(x2r\x\)二-y,
乙V41J040I001000
IT
所以函数/(龙)的图象的一个对称中心的坐标为(-一,0),
4
JT
故答案为:-1;(——,0)(答案不唯一)
4
15.已知函数/(x)=Jd—%,给出下列四个结论:
①函数是奇函数;
②VkeR,且左W0,关于x的方程/(x)—履=。恰有两个不相等的实数根;
③己知P是曲线y=/(x)上任意一点,《一3,°],则|AP|2;;
④设M(X,K)为曲线y=/Cx)上一点,"(%,%)为曲线3;=一/(£)上一点.若归+%|=1,则
\MN\>1.
其中所有正确结论的序号是.
【答案】②③④
【解析】
【分析】对①:计算定义域即可得;对②:对左>0与左<0分类讨论,结合二次函数求根公式计算即可得;
对③:借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得;对④:结合函数性质与③中所得结论即可得.
3
【详解】对①:4x-x>0.即有Mx+l)(xT)»0,BPxe[-l,0]o[l,+^],故函数/⑺不是奇函
数,故①错误;
对②:f(x)-kx=yJxi-x-kx=0>即Jx3-4=kx,
当x=0时,有血一0=0,故0是该方程的一个根;
当XK0,左>0时,由&_%=去,故无>0,结合定义域可得尤e[l,+8],
有%3一%=左2%2,即一女2%-])=0,
令炉—产%—1=0,A=/+4>0,有_¥=.2+.左上或彳=>2—'左2+4(负值舍去),则
22
k2+yJk-+40+V0+4,
x=---------->--------=1,
22
故/_/工_J=0必有一个大于1的正根,即f(x)-kx=0必有一个大于1的正根;
当xwO,左<0时,由Jv-X=kx,故x<0,结合定义域有xe[—1,0),
有%3一%=左2%2,即一左2%一])=0,
令M一左2%_i=o,A=/+4〉O,有X=F_J」2把或X=-2+JK+4(正值舍去),
22
令左2+4=f>4,即左2="4,贝U
即X=K_'勺,故三—42%—1=0在定义域内亦必有一根,
2
综上所述,V左GR,且左/0,关于x的方程/(%)-依=0恰有两个不相等的实数根,故②正确;
对③:令尸(x,y),则有y=1X?一X,|AP[=[%+;[+(_%)=%3+%2+,
r2
令g(x)=d+尤2+:,%e[-l,0]u[l,+oo],g(x)=3x+2x=x(3x+2),
当xe,L—11u(l,+")时,g'(x)>0,当时,g'(x)<0,
故g(x)在(L+")上单调递增,在,g,o]上单调递减,
又g(—1)=—1+1+;=:,g(0)=0+1=1,故g(x)2;恒成立,BP|AP|2>|,故|AP|2g,故③
正确;
对④:当工1=》2时,由工目一1,0]口[1,+8],忖+々|=1,故玉=々=一g,
当石彳々时,由>=/(尤)与y=—/(x)关于x轴对称,不妨设药<々,则有一1<%M0或
-1<<0<1<x2<2,
当一1«再<0<1<九2<2时,由九2一石2尤221,有
MM=J(九1—%2)2+(_X]_{X;-九2)>|Xj-x2|>B故成立;
当一14%<%240时,即有%2=1一百,
由③知,点M与点N在圆A:(x+(]+y2=:上或圆外,
设点”(为m)与点M(天川在圆上且位于无轴两侧,则|〃汽1=1,
故闫MN[=1;
综上所述,|肱V|»l恒成立,故④正确.
故答案为:②③④.
【点睛】关键点点睛:结论④中的关键点在于借助结论③,结合函数的对称性,从而得到当巧、巧都小
于零时,的情况.
三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16.在A8C中,bsinC+y/3ccosB-2c-
(1)求4;
(2)若a=26,b+c=4,求-ABC的面积.
jr
【答案】(1)-
6
(2)旧
【解析】
【分析】(1)根据条件,利用正弦定理边转角得到sin3+6^053=2,再利用辅助角公式及特殊角的
三角函数值,即可求出结果;
7T
(2)根据(1)中3=2及条件,由余弦定理得到12+C2—^=6c,再结合Z?+C=4,即可求出
c=2,再利用三角形面积公式,即可求出结果.
【小问1详解】
因为bsinC+j3ccosB=2c,由正弦定理可得5111_85111。+65111。(:055=2sinC,
又Cc(0,7i),所以sinCwO,得到sin3+百cos3=2,BP2sin(B+|)=2,
所以sin(3+工)=1,又因为8©(0,兀),所以§+巴=巴,得到3=工.
3326
【小问2详解】
由(1)知3=2,所以cos5,+「*=B,又a=26,得至心2+c?—〃=6。①,
6lac2
又Z?+c=4,得到Z?=4—c代入①式,得到c=2,
所以ABC的面积为SMC=-«csinJB=-x2V3x2xsin—=73.
17.如图,在四棱锥P—A5CD中,AD//3CM为5P的中点,A"//平面COP.
(1)求证:BC=2AD;
(2)若PA,A5,AB=AP=AD=C£)=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为
已知,使四棱锥P-ABCD存在且唯一确定.
(i)求证:上4,平面ABCD;
(ii)设平面CDPc平面衣4尸=/,求二面角C—/—8的余弦值.
条件①:BP=DP;
条件②:ABLPC-,
条件③:ZCBM=ZCPM.
注:如果选择的条件不符合要求,第(1)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个
解答计分.
【答案】(1)证明见解析
(2)(i)证明见解析;(ii)立
7
【解析】
【分析】(1)借助线面平行的性质定理与中位线的性质即可得;
(2)(i)借助线面垂直的判定定理即可得;(ii)结合所给条件建立适当的空间直角坐标系后借助空间向
量计算即可得.
【小问1详解】
取PC的中点N,连接
因为M为5P的中点,^^MN=LBC,MN//BC,
2
因为AD/ABC,所以AD//MN,所以M,N,D,A四点共面,
因为AM//平面CDP,平面ACVDA平面CDP=£>N,AA/u平面初VDA,
所以AM//DV,所以四边形AAWD为平行四边形,所以MN=AT>,所以6c=2A£>;
(i)取的中点E,连接AE,AC,
由(1)知6C=2AD,所以£C=AD,
因为EC//AT),所以四边形AECD是平行四边形,
所以EC=AD=1,AE-CD,
因AB=CD=1,所以AE=1=43C,
2
所以NR4c=90,即AB1AC,
选条件①:BP=DP,
因为A5=AD=LPA=PA,所以..Q45与,Q4D全等,
所以445=々4£>,因为A3LQ4,所以NPAB=90°,
所以NH4D=90,即AP_LA£>,又因为A5cAC=A,
AB,ACu平面ABCD,所以AP1平面ABC。;
(ii)由(i)知API平面ABC。,而ACu平面ABCD,
所以AFLAC,因为PA,AB,AP=1,
建立如图所示空间直角坐标系A-孙z,
则p(o,o」),c(o,G,o),d—:,q,o],
I22)
所以CD=—.PD=―万,、^,—1,AC=(0,6,0),
16
—X-y----=---0-
/、n-CD-0
设平面尸£>。的法向量为〃=(x,y,z),贝卜一
n-PD=Q
y-z=0
令x=6,则y=_1,z=于是为=(也,-1,一6),
ACn
因为AC为平面的法向量,且cosAC,〃二
mH43+1+3・退-7
所以二面角C-1-B的余弦值为叵.
7
选条件③:ZCBM=Z.CPM,
⑴因为NCBM=NCPM,所以CB=CP,
因为A3=AP=1,C4=C4,所以与△APC全等,
所以NPAC=/BAC=90,即B4LAC,
因为又因为ABcAC=A,AB、ACu平面ABC。,
所以上4_L平面ABCD;
(ii)同选条件①.
不可选条件②,理由如下:
由(i)可得A31AC,又E4LA5,
PAAC=A,PA,ACu平面PAC,
所以平面?AC,又因为PCu平面PAC,
所以AB,PC,即AB,PC是由已知条件可推出的条件,
故不可选条件②.
18.某学校为提升学生的科学素养,要求所有学生在学年中完成规定的学习任务,并获得相应过程性积
分.现从该校随机抽取100名学生,获得其科普测试成绩(百分制,且均为整数)及相应过程性积分数
据,整理如下表:
科普测试成绩X科普过程性积分人数
90<x<100410
80<x<903a
70<%<802b
60<x<70123
0<%<6002
(1)当。=35时,
(i)从该校随机抽取一名学生,估计这名学生科普过程性积分不少于3分的概率;
(ii)从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名,记X为这2名学生的科普过程性积分之
和,估计X的数学期望E(X);
(2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名,其科普测试成绩记为工,上述100名学
生科普测试成绩的平均值记为Y2.若根据表中信息能推断X<E恒成立,直接写出。的最小值.
CQ
【答案】⑴⑴0.45;(ii)—;
9
(2)7.
【解析】
【分析】(1)(i)求出科普过程性积分不少于3分的学生数,再求出频率,并用频率估计概率即得;(ii)
求出X的所有可能值,由(i)的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率,再求出期望即得.
(2)求出X的最大值,再求出100名学生科普测试成绩的平均值八的最小值,由题设信息列出不等式求
解即得.
【小问1详解】
当。=35时,
(i)由表知,科普过程性积分不少于3分的学生人数为10+35=45,
45
则从该校随机抽取一名学生,这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为——=0.45,
100
所以从该校随机抽取一名学生,这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45.
(ii)依题意,从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名,这名学生的科普过程性积分为3分的
所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名,这名学生的科普过程性积分为3分的
7
概率估计为一,
9
同理,从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名,这名学生的科普过程性积分为4分
的概率估计为《2,
X的所有可能值为6,7,8,
77497228224
P(X=6)=-x-=——,P(X=7)=2x-x-=—,P(X=8)=-x-=—,
998199819981
4928458
所以X的数学期望颐X)=6x」+7x、+8x—=e.
8181819
【小问2详解】
由表知,10+a+Z?+23+2=100,则〃=65—a,
从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名,其科普测试成绩记为X,则X的最大值为
69,
100名学生科普测试成绩的平均值记为y2,要工<X恒成立,当且仅当区)3N69,
显然为的最小值为各分数段取最小值求得的平均分,
1
因此(i9mi„=一-[90*l°+80a+70(65-a)+60*23+0x2]=^^,则豌+匕69,解得
1001010
所以根据表中信息能推断乂〈玉恒成立的a的最小值是7.
19.己知椭圆G:%2+/冲2=机的离心率为三,4,4分别是G的左、右顶点,歹是G的右焦点.
(1)求机的值及点尸的坐标;
(2)设P是椭圆G上异于顶点的动点,点。在直线x=2上,且尸尸,尸Q,直线尸。与x轴交于点设
比较阿P「与|航41HM|的大小.
【答案】(1)m=2,F(1,O)
(2)<|肠4小眼4|
【解析】
【分析】(1)借助离心率计算即可得;
(2)设0(毛,%),表示出/与。点坐标后,可得借助作差法计算即可得.
【小问1详解】
丫2
由G:X?+my2-m,即G:—+y?=1,
m
由题意可得力>1,故也=虫2,解得机=2,
2际
故G:5+y2=i,则而斤=1,故尸(1,0);
【小问2详解】
设尸(七,%),Jr。,%*。,—A/2<%0<A/2,有节+y;=l,
由尸尸-LFQ,则有(乙)—1),(2—+=。,即>0=
~%
由蜃2/0,故有/一♦二也,
2ToX0~XM
y0(2-x0)_y0(2-x0)_yl(2-x0)
即有〃「『r「「k?
%
(2)令/z(x)=/(x)+e-2q,对/?(x)求导,利用导数与函数单调性间的关系,求出力(无)的单调区间,
进而得出心)在(0,+8)上取值范围,从而将问题转化成悭5+6%闫成立,构造函数
m(x)=e-+Jx,再利用加(无)的单调性,即可求出结果.
【小问1详解】
]11111
1a—xIa—xa—xi
易知定义域为R,因为〃曲=犹"「T,所以/'(x)=e2—二丘2'=e2
八,22
由/'(%)=。,得到x=2,当无<2时,f'(x)>0,当x>2时,f\x)<0,
所以,函数/a)的单调递增区间为2),单调递减区间为(2,+“).
【小问2详解】
令h(x)=f(x)+e~2a,则h'(x)-f'(x),
由(1)知,函数的单调递增区间为(—8,2),单调递减区间为(2,+8),
所以h(x)在X=2时取得最大值A(2)=2e"T+e_2a,
所以当天>2时,丸(%)=疑"5*+e%〉}2a=丸(0),当0<x<2时,h(x)>h(0),
即当xc(0,+8)时,/z(%)e(/z(0),/z(2)],
所以函数g(x)=xe"3'+e—2a在(0,+s)存在最大值的充要条件是快1+e-,
2ea-l+e2a+e2a_._
即Hn-----------------J+eaa>02,
2
令m(x)=e"T+e-2x,则mr(x)=e*"4+e4〉0恒成立,
所以加(%)=ex-1+e~2x是增函数,又因为根(-1)=e-2-e-2=0,
所以加(〃)=e"T+e_2a20的充要条件是,
所以。的取值范围为[—1,+8).
1
【点睛】关键点点晴:本题的关键在于第(2)问,构造函数以利用函数单调性得到
xe
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